Bài tập rèn luyện tổng hợp Hình học Lớp 9

Nội dung text: Bài tập rèn luyện tổng hợp Hình học Lớp 9

1. BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Gọi E là giao điểm của AB,CD . F là giao điểm của AC và BD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC tại điểm K khác D . Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại M . a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp b) Chứng minh E,M ,F thẳng hàng. 2) Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm C. Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm giữa 2 tia CA,CO , D,E Î (O), D nằm giữa C,E ). Gọi M là giao điểm của CO và BD , F là giao điểm của AM và (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN của (O) . Chứng minh CNMD là tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC tại H . Chứng minh ADMH là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh E,O,F thẳng hàng. 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD AC) . Đường tròn (I ) đường kính BC cắt AB,AC tại F,E . BE cắt CF tại H . AH cắt BC tại D . Chứng minh các tứ giác BFHD,IFED nội tiếp. 5) Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Vẽ HI ^ EF tại I ,HK ^ DE tại K , IK Ç AD = M ,FM Ç DE = N . Gọi S là điểm đối xứng của B qua D . Chứng minh tứ giác FIMH,HMNK nội tiếp và M·AN = D·AS 6) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC B,C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến ADE đến (O) sao cho ( 330
2. ADE nằm giữa 2 tia AO,AB , D,E Î (O),Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC,AB lần lượt tại P,Q . Gọi K là điểm đối xứng với B qua E . Gọi H,I là giao điểm của BC với OA,DE a) Chứng minh OEDH là tứ giác nội tiếp. b) Ba điểm A,P,K thẳng hàng. 7) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC ( B,C là hai tiếp điểm). Từ điểm K nằm trên cung BC (K ,A nằm cùng phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB,AC tại M ,N . BC cắt OM ,ON tại P,Q . Gọi I là giao điểm của MQ,NP . Chứng minh MBOQ,NCOP là các tứ giác nội tiếp. 8) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) . Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB,AC tại E,D . BD cắt CE tại H , các tiếp tuyến của (O) tại B,D cắt nhau tại K ,AK Ç BC = M ,MH Ç BK = N . Vẽ tiếp tuyến AS của (O) với (S thuộc cung nhỏ CD) , KD Ç AH = I , MH ÇOA = L . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK tại T . a) Chứng minh các tứ giác TKDB,BELO nội tiếp b) Ba điểm N, E, I thẳng hàng. c) Ba điểm M , E, D thẳng hàng. d) Ba điểm M , S, H thẳng hàng. 9) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE,CD cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC . Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED tại N . a) Chứng minh N, H, M thẳng hàng. b) Giả sử AN cắt BC tại K . Chứng minh K, E, D thẳng hàng. 10) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) . Gọi Q, R là tiếp điểm của (O) với AB, AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC,CA. Đường thẳng BO cắt MN tại P . a) Chứng minh ORPC là tứ giác nội tiếp b) Ba điểm P,Q, R thẳng hàng. 331
3. 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . Từ A ta dựng các tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính BC . a) Chứng minh các tứ giác AMDN, MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H, M , N thẳng hàng. 12) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại điểm H . Gọi M , N là trung điểm của AH, BC . Các phân giác của góc ·ABH, ·ACH cắt nhau tại P . a) Chứng minh 5 điểm B,C, E, P, F nằm trên một đường tròn. Điểm P là trung điểm cung nhỏ EF . b) Ba điểm M , N, P thẳng hàng. 13) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại điểm H .Đường thẳng EF cắt nhau tại điểm M . Gọi O là trung điểm BC . Giả sử các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBF,OCE cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là P . a) Chứng minh các tứ giác EFPH, BCHP, MEPB là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh OPM là tam giác vuông. 14) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là điểm H . Gọi M , N là chân các đường cao hạ từ B,C của tam giác ABC .Gọi D là điểm trên cạnh BC . Gọi w1 là đường tròn đi qua các điểm B, N, D gọi w2 là đường tròn đi qua các điểm C, D, M . DP, DQ lần lượt là đường kính của w1 , w2 . Chứng minh P,Q, H thẳng hàng. IMO 2013 15) Cho tam giác ABC có B· AC là góc lớn nhất. Các điểm P,Q thuộc cạnh BC sao cho Q· AB B· CA,C· AP ·ABC . Gọi M , N lần lượt là các điếm đối xứng của A qua P,Q . Chứng minh rằng: BN,CM cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (IMO 2014) 16) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy một điểm P trên cung BC không chứa điểm A của (O) . Gọi K là đường tròn đi qua A, P tiếp xúc với AC . (K) cắt PC tại S khác P . Gọi L là 332
4. đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB . (L) cắt PB tại T khác P .Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC . a) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC . b) Ba điểm S, D,T thẳng hàng. 17) Cho tam giác ABC , trên hai cạnh AB,AC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho ·ABD ·ACE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE tại M , N .Gọi H là giao điểm của BD,CE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I, K a) Chứng minh 4 điểm M , I, N, K cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi F là giao điểm thứ 2 của các đường tròn ABD ,(AEC) . Chứng minh A, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh : Tam giác AMN cân tại A . 18) Cho tam giác ABC có (O),(I),(Ia ) theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác. Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC; P điểm chính ¼ giữa cung BAC của (O) , PIa cắt O tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC a) Chứng minh: IBIaC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP · · c) Chứng minh: DAI KAIa . 19) Cho đường tròn tâm O bán kính R và một dây cung BC cố định có độ dài BC R 3 . Điểm A thay đổi trên cung lớn BC . Gọi E, F là điểm đối xứng của B,C lần lượt qua AC, AB . Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là K . a) Chứng minh điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R 333
5. BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Gọi E là giao điểm của AB,CD . F là giao điểm của AC và BD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC tại điểm K khác D . Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại M . a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp b) Chứng minh E,M ,F thẳng hàng. 2) Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm C. Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm giữa 2 tia CA,CO , D,E Î (O), D nằm giữa C,E ). Gọi M là giao điểm của CO và BD , F là giao điểm của AM và (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN của (O) . Chứng minh CNMD là tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC tại H . Chứng minh ADMH là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh E,O,F thẳng hàng. 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD AC) . Đường tròn (I ) đường kính BC cắt AB,AC tại F,E . BE cắt CF tại H . AH cắt BC tại D . Chứng minh các tứ giác BFHD,IFED nội tiếp. 5) Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Vẽ HI ^ EF tại I ,HK ^ DE tại K , IK Ç AD = M ,FM Ç DE = N . Gọi S là điểm đối xứng của B qua D . Chứng minh tứ giác FIMH,HMNK nội tiếp và M·AN = D·AS 6) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC B,C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến ADE đến (O) sao cho ( 330