Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 12: Phép trừ các phân thức đại số

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 12: Phép trừ các phân thức đại số

1. CHỦ ĐỀ 12: PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1) Phân thức đối: - Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. A A A A - Công thức: và . B B B B 2) Phép trừ: - Quy tắc: Muốn trừ phân thức A cho phân thức C , ta cộng A với phân thức đối của C B D B D A C A C - Công thức: B D B D B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Làm tính trừ các phân thức: 3x 2 7x 4 3x 5 5 15x a) ; b) ; 2xy 2xy 4x3 y 4x3 y 4x 7 3x 6 9x 5 5x 7 c) ; d) ; 2x 2 2x 2 2(x 1)(x 3)2 2(x 1)(x 3)2 xy x2 5x y2 5y x2 e) ; f) ; x2 y2 y2 x2 x2 y xy2 x x x 9 3 g) ; h) ; 5x 5 10x 10 x2 9 x2 3x 3 x 6 x4 3x2 2 i) ; j) x2 1 ; 2x 6 2x2 6x x2 1 x 1 1 x 2x(1 x) 3x 1 1 x 3 k) ; l) ; x 3 x 3 9 x2 (x 1)2 x 1 1 x2 5 4 3x2 3x 2 6 3x 2 n) 3 ; m) . 2x2 6x x2 9 x2 2x 1 x2 1 x2 2x 1 Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết A C E A C E . B D F B D F Áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
2. 1 1 3x 6 18 3 x a) ; b) . 3x 2 3x 2 4 9x2 (x 3)(x2 9) x2 6x 9 x2 9 Bài 3. Rút gọn các biểu thức : 3x2 5x 1 1 x 3 1 x2 2 a) ; b) 1 ; x3 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 7 x 36 c) . x x 6 x2 6x Bài 4. Thực hiện phép tính: 1 2 3 a) ; (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 1) 1 1 1 b) A . a(a b)(a c) b(b a)(b c) (a c)(c b) Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức: 1 x2 2 a) A = 1 với x = 99; x2 x 1 x3 1 2x 1 1 2x 2 1 b) B = với x = . 4x 2 4x 2 1 4x2 4 C/ CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 6. Rút gọn các biểu thức : a a a 1 a) A = ; x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) x 3a 1 1 1 1 b) B = ; 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) HD: 3 3 3 3 b) Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B = 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 3 1 1 Từ đó ta có (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5 3 1 1 3 1 1 3 1 1 Xét từng số hạng cụ thể : ; ; ; 2.5 2 5 5.8 5 8 (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5 3 3 3 3 1 1 3n 5 2 3(n 1) = 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 2 3n 5 2(3n 5) 2(3n 5)
3. 3(n 1) n 1 Hay 3.B = B 2(3n 5) 2(3n 5) 1 1 1 1 c) C = . 1.2 2.3 3.4 n(n 1) HD : Thực hiện như phần trên Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z. x z x y y z . (x y)(y z) (x z)(y z) (x y)(x z) Bài 8. Thực hiện phép tính : 1 1 1 a) A ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1 1 1 b) B ; a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) bc ac ab c) C ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 d) D ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho: 1 ax b c a) ; (x2 1)(x 1) x2 1 x 1 1 1 1 Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = , c = , b = . 2 2 2 1 a b c b) ; x(x 1)(x 2) x x 1 x 2 1 1 ĐS : a ;b 1;c 2 2 1 a b c c) . (x 1)2 (x 2) x 1 (x 1)2 x 2 ĐS: a = -1; b = 1; c = 1) Bài 10. Cho abc = 1 (1) 1 1 1 a b c (2) a b c Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
4. HD bc ac ab Từ (2) : a b c abc Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca (3) Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0 Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1) = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca) Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1. x 2x 3y Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A = . y 2 x 6 3y 6 2x (x 6) HD : A = 3 1 4 . y 2 x 6 x2 y2 z2 x2 y2 z2 Bài 12. Tìm x, y, z biết : . 2 3 4 5 HD: x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 Từ suy ra : 0 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 3 2 1 x2 y2 z2 0 x y z 0. 10 15 20 1 1 Bài 13. Tìm x, y biết: x2 y2 4 . x2 y2 HD 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 Ta có x 2 y 2 4 x 2 2 y 2 2 0 x y 0 x y x y x y 1 x x x2 1 => Có bốn đáp số như sau: 1 2 y y 1 y x 1 1 -1 -1 y 1 -1 1 -1
5. 1 1 1 1 1 1 Bài 14. Cho biết : 2 (1), 2 (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc. a b c a2 b2 c2 HD 1 1 1 1 1 1 Từ (1) suy ra : 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc 1 1 1 a b c Do (2) nên : 1 1 a b c abc ab ac bc abc x y z a b c a2 b2 c2 Bài 15. Cho 0 (1) , 2 (2). Tính giá trị biểu thức: . a b c x y z x2 y2 z2 HD Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3) a2 b2 c2 ab ac bc Từ (2) suy ra : 2 2 2 2 4 x y z xy xz yz a2 b2 c2 abz acy bcx Do đó : 4 2 4 x2 y2 z2 xyz 1 1 1 3 Bài 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. CMR: . a3 b3 c3 abc HD Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0. ab bc ca 1 1 1 Do đó : 0 0 abc a b c Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz. a b c b c a Bài 17. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. b c a a b c HD Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a2 (c b) a(c2 b2 ) bc(c b) 0 (c b)(a2 ac ab bc) 0 (c b)(a b)(a c) 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên : 2x3 6x2 x 8 5 a) A ;ĐS : A 2x2 1 x 2;2;4;8 x 3 x 3
6. x4 2x3 3x2 8x 1 3 b) B ; ĐS : B x2 4 x 0;2 x2 2x 1 (x 1)2 x4 3x3 2x2 6x 2 2 c) C . ĐS : C x2 3x x 0 x2 2 x2 2 1 1 2 4 8 Bài 19. Rút gọn biểu thức : A 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8 8 8 16 = 1 x8 1 x8 1 x16 Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa. Bài 20. Rút gọn biểu thức : 3 5 2n 1 B = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 HD Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta 2k 1 (k 1)2 k 2 1 1 được : k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 1 1 1 1 1 1 1 n(n 2) Do đó B = 1 12 22 22 32 n2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2