Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1. CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau: HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH * Bình phương của tổng * Hiệu hai bình phương (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) * Bình phương của hiệu * Tổng hai lập phương (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) * Lập phương của tổng * Hiệu hai lập phương (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) * Lập phương của hiệu (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 *Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) (A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C) A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3) A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3) A n + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 + +(-1)n-1 B n-1) An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 + + B n-1) - 1 -
2. BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 2 HẲNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ DẠNG 1: Khai triển biểu thức. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức. I/ Phương pháp. - Nhận diện số A và số B trong hẳng đẳng thức. - Viết khai triển theo đúng công thức của hằng đẳng thức đã học. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng. 1) (5x + 3yz)2 2) (y2x – 3ab)2 3) (x2 – 6z)(x2 + 6z) 4) (2x – 3)3 2 3 2 2 2 1 5) (a + 2b) 6) (5x + 2y) 7) (-3x + 2) 8) x y 3 3 2 2 2 3 5 4 2 2 5 1 9) 2x y 10) x y 11) 2x y 12) x 2 3 3 2 3 3 3 3 1 13) 2x 1 14) 2x 3y 15) 0,01 xy 16) x 2 17) 2x 1 3 18) 2x 3y 3 19) 0,01 xy 3 Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng. 1) x y z 2 2) x y z 2 3) (x – 2y + z)2 4) (2x – y + 3)2 Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu: 1) x2 + 2x + 1 2) x2 + 5x + 25 3) 16x2 – 8x + 1 4) 4x2 + 12xy + 9y2 4 2 2 5) x2 + x + 1 6) x2 - 3x + 9 7) x + x + 1 8) x - 1 x + 1 4 4 4 4 2 4 Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + 1 b) 27y3 – 9y2 + y - 1 27 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 d) (x + y)3(x – y)3 Bài 5: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 1 1 1 a) 1,242 0,242 b) 8x3 c) x2 x d) x2 x 8 4 4 Bài 7 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích - 2 -
3. a) x4 4x2 4;9a4 24a2b2 16b4 b) 4a2b2 c2d 2;a3 27; x16 y16 1 c) x3 125; 64 x3 d) 8x3 60x2 y 150xy2 125y3 8 Bài 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích 4 12 4 a) 9x2 30x 25; x4 16x2 b) x2 y2 9x4 y4 9 5 25 c) a2 y2 b2 x2 2axby d) 64x2 8a b 2 e) 100 3x y 2 g) 27x3 a3b3 Bài 9 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích a) 27x3 27x2 3x 1 b) x3 3x2 3x 1 1 c) x3 27 d) 0,001 1000x3 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức I/ Phương pháp. - Khai triển các hằng đẳng thức có trong biểu thức. - Rút gọn các đơn thức đồng dạng. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 Bài 2: Rút gọn biểu thức a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 Bài 3: Rút gọn biểu thức. a) A = (x + y)2 - (x - y)2 b) B = (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) C = 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) - 3 -
4. DẠNG 3: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * trong đẳng thức. I/ Phương pháp. - Quan sát 2 vế cửa đẳng thức, xem đẳng thức thuộc hằng đẳng thức nào đã học. - Từ vị trí số hạng đã biết trong hằng đẳng thức, xác định số hạng cần điền vào dấu * II/ Bài tập vận dụng. 1) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 2) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 3) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 4) (* – 2)(3x + *) = 9x2 – 4 5) 27x3 – 1 = (3x – *)(* + 3x + 1) 6) * + 1 = (3x + 1)(9x2 - * + 1) 7) (2x + 1)2 = * + 4x + * 8) (* - 1)2 = 4x2 - * + 1 9) 9 - * = (3 – 4x)(3 + 4x) 10) (4x2 – 3) = (2x - *)(* + 3 ) DẠNG 4: Tính nhanh: I/ Phương pháp. - Đưa tổng, hiệu, tích các số về dạng hằng đẳng thức - Thực hiện phép tính trong hằng đẳng thức. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tính nhanh 1) 1532 + 94 .153 + 472 2) 1262 – 152.126 + 5776 3) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) 4) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 Bài 2: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh a. 252 - 152 b. 2055 - 952 c. 362 - 142 d. 9502 - 8502 e. 1,242 2,48.0,24 0,242 Bài 3. Tính: a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 - 4 -
5. DẠNG 5: Chứng minh biểu thức dương hoặc âm với mọi giá trị của biến x. I/ Phương pháp. - Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức, khi đó nếu : + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 thì A ≥ 0 + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 + c (c là hằng số dương) thì A > 0 + Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 thì A ≤ 0 + Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 - c (c là hằng số dương) thì A 0 với mọi x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến: a) A = x2 – x + 1 b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5 DẠNG 6: Chứng minh đẳng thức. I/ Phương pháp. - Dùng hằng đẳng thức biến đổi một vế của đẳng thức sao cho bằng vế còn lại II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Bài 2: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) - 5 -
6. DẠNG 7: Tìm x trong phương trình f(x) = 0. I/ Phương pháp Cách 1: - Đưa f(x) về một trong các dạng hằng đẳng thức sau: A2 – B2 ; A3 + B3 ; A3 - B3 ; A4 - B4 H(x) 0 - Khai triển các hằng đẳng thức trên ta được: f(x) = 0 H(x).K(x) 0 K(x) 0 H(x) và K(x) là các đa thức đơn giản chứa x. Cách 2: - Nếu f(x) không đưa được về dạng các hằng đẳng thức như Cách 1 thì ta khai triển f(x) thành tổng các đơn thức - Rút gọn các đơn thức đồng dạng sao cho chỉ còn lại a.x = c c => x a A1 0 2 2 2 Chú ý: Nếu f(x) = A1 A2 A3 => f(x) = 0  A2 0 0 II/ Bài tập vận dụng. Bài 1 : Tìm x. a) 9x2 – 6x – 3 = 0 b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3 Hướng dẫn a) 9x2 – 6x – 3 = 0  9x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0  (3x – 1)2 – 4 = 0 (Hiệu của hai bình phương)  (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0  (3x + 1)(3x – 3) =0 1 3x 1 0 3x 1 x  3 3x 3 0 3x 3 x 1 b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0  x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0 - 6 -
7.  (x + 3)3 – 8 = 0  (x + 3)3 – 23 = 0 (Hiệu của hai lập phương)  (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0  (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0  (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0  (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0  (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0  x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.  x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3  x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0  x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 (Thu gọn đồng dạng)  - 25x = 11  x = - 11 25 Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0 Hướng dẫn x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0  (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0  (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 (Tổng các bình phương) x 1 0 x 1 y 3 0 y 3 2z 1 0 1 z 2 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) x2 – 4x + 4 = 25 b) (5 – 2x)2 – 16 = 0 c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 Bài 4. Tìm x, biết: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9 b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1 c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36 - 7 -
8. d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. DẠNG 8: Dùng hằng đẳng thức so sánh hai số. I/ Phương pháp. - Vận dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) - Biến đổi số phức tạp về dạng: kN – 1 => Khi đó số kN – 1 (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài 2: So sánh hai số A và B biết : A = 20162 và B = 2015 . 2017 Bài 3: So sánh hai số M và N biết : M = 216 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) Hướng dẫn Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (28 + 1) = (24 – 1) (24 + 1) (28 + 1) = (28 – 1)(28 + 1) = 216 – 1 Suy ra : N = 216 – 1 < 216 Vậy : N < M Bài 4: So sánh hai số M và N biết : - 8 -
9. M = 22016 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (21008 + 1) Hướng dẫn Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (21008 + 1) = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (21008 + 1) = (24 – 1) (24 + 1) (21008 + 1) = (28 – 1) (21008 + 1) = 22016 – 1 Suy ra : N = 22016 – 1 1 .(3128 – 1) A đạt GTLN = m khi x = xo * Nếu biểu thức A ≥ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m => A đạt GTNN = m khi x = xo * Dùng hằng đẳng thức biến đổi A về dạng: 2 - Nếu A = (kx + c) + d ≥ d => Amin = d  kx + c = 0 2 - Nếu A = - (kx + c) + d ≤ d => Amax = d  kx + c = 0 II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau: - 9 -
10. a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Hướng dẫn a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra x – 4 = 0 x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 Hướng dẫn a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3 Hay GTNN của M bằng 3 Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 = (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49 = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72 = (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0 Hay GTNN của N bằng 0 Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 ; hoặc x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2 - 10 -
11. Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2 Hay GTNN của P bằng 2 Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0 x = 3 và y = 1 Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có. Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = 1 (x – y)2 + 2 nếu 2 có. Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + 9 b) B = x2 – x + 1 c) C = 2x2 – 6x Hướng dẫn a) A = x2 – 4x + 9 Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5 Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) B = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 Ta có: B = x2 – 2. x + = (x - )2 + 2 4 4 2 4 Vậy GTNN của B bằng 3 , giá trị này đạt được khi x = 1 4 2 3 9 9 3 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2. x + ) ] = 2(x - )2 - 2 4 4 2 2 Vậy GTNN của C bằng - 9 , giá trị này đạt được khi x = 3 2 2 Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức: 2 a) M = 4x – x + 3 b) N = x – x2 c) P = 2x – 2x2 – 5 Hướng dẫn 2 2 2 2 a) M = 4x – x + 3 = - x + 4x – 4 + 7 = 7 – (x – 4x + 4) = 7 – (x – 2) - 11 -
12. Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 . Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7 Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2 1 1 1 1 1 b) N = x – x2 = - x2 + 2. x - = (x ) 2 2 4 4 4 2 Vậy GTLN của N bằng 1 , giá trị này đạt được khi x = 1 4 2 c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + 2. 1 x – 1 ) – 19 ] = - 19 - (x - 1 )2 ≤ - 19 2 4 4 2 2 2 Vậy GTLN của biểu thức P bằng - 19 , giá trị này đạt được khi x = 1 2 2 - 12 -