Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 3.4: Phân tích đa thức thành nhân tử - Các phương pháp khác

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 3.4: Phân tích đa thức thành nhân tử - Các phương pháp khác

1. CHỦ ĐỀ 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC I/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ (Thường dùng cho đa thức bậc 2) Phương pháp giải Nếu đa thức đã cho là đa thức bậc hai có 3 hạng tử: ax 2 + bx + c = 0 nhưng không có dạng hằng đẳng thức (a ± b)2 thì ta phải tiến hành tách hạng tử như sau: Đặt a + b = c và a.b = d rồi nhẩm các giá trị a, b thỏa mãn. (Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh bằng cách bấm máy tìm ra a và b) Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 6x + 5 b) x2 – x -12 c) x2 + 8x + 15 d) x2 + 7x + 12 e) x2 – 13x + 36 f) x2 – 5x – 24 g) 3x2 + 13x -10 h) 2x2 – 7x + 3 i) 3x2 – 16x + 5 j) 2x2 – 5x – 12 k) x4 – 7x2 + 6 l) x4 + 2x2 -3 m) 4x2 -12x2 -16 n) x4 + x2 + 1 Giải a) x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 5)(x – 1) b) x2 – x – 12 = x2 + 3x – 4x – 12 = x(x + 3) – 4(x + 3) = (x – 4)(x + 3) c) x2 + 8x + 15 = x2 + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 5)(x + 3) d) x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 4)(x + 3) e) x2 – 13x + 36 = x2 – 4x – 9x + 36 = x(x – 4) – 9(x – 4) = (x – 4)(x – 9) f) x2 – 5x – 24 = x2 + 3x – 8x – 24 = x(x + 3) – 8(x + 3) = (x – 8)(x + 3) g) 3x2 + 13x -10 = 3x2 – 2x + 15x – 10 = x(3x – 2) + 5(3x – 2) = (x + 5)(3x – 2) h) 2x2 – 7x + 3 = 2x2 – 6x – x + 3 = 2x(x – 3) – (x – 3) = (2x – 1)(x – 30) i) 3x2 – 16x + 5 = 3x2 – x – 15x + 5 = x(3x – 1) – 5(3x – 1) = (x – 5)(3x – 1) 1
2. j) 2x2 – 5x – 12 = 2x2 – 8x + 3x – 12 = 2x(x – 4) + 3(x – 4) = (2x + 3)(x – 4) k) x4 – 7x2 + 6 = x4 – x2 – 6x2 + 6 = x2(x2 – 1) – 6(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 6) = (x – 1)(x + 1)(x - 6 )(x + 6 ) l) x4 + 2x2 -3 = x4 – x2 + 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) m) 4x2 -12x2 -16 = 4(x2 – 3x – 4) = 4(x2 + x – 4x – 4) = 4[x(x + 1) – 4(x + 1)] = 4(x – 4)(x + 1) n) x4 + x2 + 1 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) q) x3 – 2x2 + 5x – 4 = x3 – x2 – x2 + x + 4x – 4 = x2(x – 1) – x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)(x2 –x + 4) II/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp giải Khi gặp đa thức nhiều ẩn hoặc một ẩn nhưng phức tạp ta dùng cách đặt ẩn phụ rồi phối hợp các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, tách và thêm bớt số hạng để phân tích ra thừa số. Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 a) x2 x 3 x2 x 2 b) x x 1 x 2 x 3 1; c) x2 x 1 x2 3x 1 x2. Giải a) Đặt y x2 x ta có: 2 x2 x 3 x2 x 2 y2 3y 2 y2 y 2y 2 y y 1 2 y 1 y 1 y 2 . Thay y x2 x vào ta được y 1 y 2 x2 x 1 x2 x 2 . b) Ta có: x x 1 x 2 x 3 x x 3 x 1 x 2 1 x2 3x x2 3x 2 1 Đặt x2 3x y, ta có: 2 x2 3x x2 3x 2 1 y y 2 1 2 2 2 y 2y 1 y 1 x 3x 1 2
3. c) Đặt y x2 x 1 ta có: x2 x 1 x2 3x 1 x2 y y 2x x2 y2 2yx x2 2 y x 2 x2 2x 1 x 1 4 . III/ PHƯƠNG PHÁP HẸ SỐ BẤT ĐỊNH Phương pháp giải * Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai đa thức khác. Ta cần xác định hệ số của hai đa thức phân tử. * Thực hiện phép nhân hai đa thức rồi cho đồng nhất các hệ số tương ứng. Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 6x3 11x2 6x 1; b) 3x2 22xy 4x 8y 7y2 1. Giải a) Giả sử đa thưc được phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng: x2 ax 1 x2 bx 1 Thực hiện phép nhân đa thức ta được: x2 ax 1 x2 bx 1 x4 a b x3 2 ab x2 a b x 1. Đồng nhất với đa thức đã cho được: a b 6,ab 9. Ta tìm được a b 3. 2 Vậy x4 6x3 11x2 6x 1 x2 3x 1 . Cách khác: x2 6x3 11x2 6x 1 x4 2x 3x 1 9x2 6x 1 x4 2x2 3x 1 3x 1 2 2 x2 3x 1 . b) Ta tìm a,b,c,d sao cho 3x2 22xy 4x 8y 7y2 1 3x ay b x cy d 2 2 3x 3c a xy 3d b x ad bc y acy bd. Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai vế ta được: 3c a 22;3d b 4;ad bc 8;ac 7;bd 1. Từ bd 1, chọn b d 1 (vì 3d b 4 ). 3
4. Ta có a c 8 , kết hợp với 3c a 22 ta được a 1,c 7. Vậy 3x2 22xy 4x 8y 7y2 1 3x y 1 x 7y 1 . 4