Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 6: Phân thức đại số

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số Lớp 8 - Chủ đề 6: Phân thức đại số

1. CHỦ ĐỀ 6: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Phân thức đại số: * Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A , trong đó A, B là B những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 A là tử thức (tử). B là mẫu thức * Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1. 2. Hai phân tức bẳng nhau: Với hai phân thức A và C , ta nói A = C nếu A.D = B.C B D B D B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP. DẠNG 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau. I/ Phương pháp * Để chứng minh đẳng thức A = C ta cần chứng minh A.D = B.C thì kết luận A = C B D B D * Để kiểm tra phân thức A có bằng phân thức C không thì ta xét các tích A.D và B.C B D + Nếu A.D = B.C thì kết luận A = C B D + Nếu A.D ≠ B.C thì kết luận A không bằng C B D * Để tìm mẫu thức (tử thức) chưa biết trong phân thức bằng nhau A = C B D  A.D = B.C Từ đó dùng phép chia đa thức (rút gọn nhân tử chung) có được mẫu thức (tử thức) cần tìm. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
2. x2 y3 7x3 y4 x2 x 2 x 3 x x2 6x 9 a) b) c) 5 35xy x x 2 2 x 2 3 x 9 x2 x3 4x x2 2x 5y 20xy 3x x 5 3x d) e) f) ; 10 5x 5 7 8x 2 x 5 2 x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x2 3x 2 x3 8 g) h) i) x 2. x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 2x 4 Bài 2. Ba phân thức sau có bằng nhau không? x2 x 2 x 2 x2 4 ; ; . x2 1 x 1 x2 x 2 Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. A 6x2 3x 4x2 3x 7 4x 7 a) ; b) ; 2x 1 4x2 1 A 2x 3 4x2 7x 3 A x2 2x x2 2x c) ; d) . x2 1 x2 2x 1 2x2 3x 2 A Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng. 5x 3 5x2 13x 6 x 1 x2 3 a) ; b) ; x 2 x2 4 x 3 x2 6x 9 x2 2 x 2 2x2 5x 3 2x2 x 3 c) ; d) . x2 1 x 1 x2 3x 4 x2 5x 4 DẠNG 2: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa, bằng 0, khác 0. I/ Phương pháp. * Điều kiện phân thức A có nghĩa (Tìm tập xác định) là mẫu thức B ≠ 0. B Chú ý: Trước khi tìm điều kiện để A có nghĩa ta cần phân tích mẫu thức B thành B nhân tử. A A 0 * Để phân thức = 0 thì B B 0 A A 0 * Để phân thức ≠ 0 thì B B 0 II/ Bài tập vận dụng.
3. Bài 6. Tìm điều kiện của các phân thức sau: 2 a) 3 b) x 3 c) x d) 2x 1 . 5x 2 x2 6x 9 x2 3x x2 3x 2 Bài 7. Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. 2 2 a) 3x 1 b) x x c) x 3x 2 x2 5 2x 1 x2 1 2 4 3 4 2 d) x 2x e) x x x 1 f) x 5x 4 . x2 4x 4 x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9 DẠNG 3: Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa. I/ Phương pháp. Để chứng minh phân thức A luôn có nghĩa ta cần chứng minh mẫu thức B ≠ 0 với mọi B giá trị của biến tức là phải biến đổi B về một trong các dạng sau: B = a + [f(x)]2 hoặc B = - a - [f(x)]2 với số a > 0 B = a + |f(x)| hoặc B = - a - |f(x)| với số a > 0 II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 3 3x 5 7x -1 a) b) c) 2x2 7 (3x 1)2 2 x2 2x 4 x2 x d) e) x2 4x+5 x2 x 7 Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: x y 2x y a) b) x2 y2 2xy 3 x2 y2 2x 2 DẠNG 4: Tìm GTNN, GTLN của phân thức. I/ Phương pháp. * T = a + [f(x)]2 ≥ a Hoặc T = a + |f(x)| ≥ a => GTNN của T bằng a khi f(x) = 0 * T = b - [f(x)]2 ≤ b Hoặc T = a - |f(x)| ≤ a => GTLN của T bằng b khi f(x) = 0 * Nếu a > 0 và T > 0 thì a nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) T
4. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm GTNN của phân thức 3 | 2x 1| . 14 Hướng dẫn Vì mẫu thức là 14 > 0 => phân thức có GTNN khi 3 + |2x – 1| có GTNN Vì |2x – 1| ≥ 0 nên 3 + |2x – 1| ≥ 3 => 3 + |2x – 1| có GTNN bằng 3 khi 2x – 1 = 0  x = 1 2 => GTNN của phân thức 3 | 2x 1| bằng 3 14 14 2 Bài 2: Tìm GTLN của phân thức 4x 4x 15 Hướng dẫn Vì mẫu thức là 15 > 0 => phân thức có GTLN khi – 4x2 + 4x có GTLN Ta có: – 4x2 + 4x = 1 – (2x – 1)2 Vì – (2x – 1)2 ≤ 0 nên 1 – (2x – 1)2 ≤ 1 => 1 – (2x – 1)2 có GTLN bằng 1 khi 2x – 1 = 0  x = 1 2 2 => GTLN của phân thức 4x 4x bằng 1 15 15 Bài 3: Tìm GTLN của phân thức: 5 x2 2x 2 Hướng dẫn Vì Tử thức là 5 > 0 và mẫu thức x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 => phân thức có GTLN khi (x + 1)2 + 1 có GTNN Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 1 ≥ 1 => (x + 1)2 + 1 có GTNN bằng 1 khi x + 1 = 0  x = - 1 => GTLN của phân thức 5 bằng 5 khi x = - 1 x2 2x 2 Bài 4: Tìm GTLN của phân thức: 3 2 | 2x 5 | Hướng dẫn
5. Vì Tử thức là 3 > 0 và mẫu thức 2 + |2x – 5| > 0 => phân thức có GTLN khi 2 + |2x – 5| có GTNN Vì |2x – 5| ≥ 0 nên 2 + |2x – 5| ≥ 2 => 2 + |2x – 5| có GTNN bằng 2 khi 2x - 5 = 0  x = 5 2 => GTLN của phân thức 3 bằng 3 khi x = 5 2 | 2x 5 | 2 2 Bài 5: Tìm GTNN của các phân thức 2 a) x 4x 6 b) 4 2 |1 2x | 3 15 Bài 6: Tìm GTLN của các phân thức a) 12 b) 5 3 | 5x 1| | 2y 1| 4x2 4x 2y y2 3 DẠNG 5: Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nhận giá trị nguyên. I/ Phương pháp. Với phân thức a (tử thức a là số nguyên) f (x) Bước 1: Tìm điều kiện để f(x) ≠ 0 Bước 2: Phân thức a nhận giá trị nguyên thì f(x) phải là Ước của số a f (x) Bước 3: Giải f(x) = Ư(a) để tìm x. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 3 x2 x 1 Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 6 ; x 3 Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 2 1 | 2x 1|
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP PHÂN THỨC BẰNG NHAU. Bài 1.Chứng minh các đẳng thức sau: 3y 6xy 3x2 3x2 2(x y) 2 a) (x 0) b) (y 0) c) (x y) 4 8x 2y 2y 3(y x) 3 2xy 8xy2 1 x x 1 2a 2a d) (a 0,y 0) e) (y 2) f) (b 0) 3a 12ay 2 y y 2 5b 5b Bài 2.Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 23 x3 3x 3x(x y) a) (x 0) b) (x y) x x(x2 2x 4) x y y2 x2 x y 3a(x y)2 c) (a 0, x y) 3a 9a2(x y) Bài 3.Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x 2 và 1 x2 5x 6 x 3 (2x 1)(x 2) x 2 Bài 4.Cho hai phân thức A , B . Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các 3(2x 1) 3 trường hợp sau: a) x N b) x Z c) x Q x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(3x 2) Bài 5.Cho ba phân thức A , B , C . Hãy xét sự bằng nhau của 5 5(x 2) 5(3x 2) chúng trong các trường hợp sau: a) x N b) x Z c) x Q TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ NGHĨA. Bài 1.Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 2 a) x 4 b) 2x 1 c) x 4 9x 2 16 x 2 4x 4 x 2 1
7. 5x 3 x2 5x 6 2 d) 2 e) f) 2x x x2 1 (x 1)(x 3) g) 2x 1 x2 5x 6 Bài 2.Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 a) 1 b) x y 2x c) 5x y x2 y2 x2 2x 1 x2 6x 10 d) x y (x 3)2 (y 2)2 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ THÂN THỨC BẰNG 0, KHÁC 0 Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: x x2 x x a) 2 1 b) c) 2 3 5x 10 2x 4x 5 2 d) (x 1)(x 2) e) (x 1)(x 2) f) x 1 x2 4x 3 x2 4x 3 x2 2x 1 Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2 3 3 2 a) x 4 b) x 16x c) x x x 1 x2 3x 10 x3 3x2 4x x3 2x 3 Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau khác không: 2 a) x 1 b) x 2x c) x 3 2x 10 2x -1 4x 7 CHỨNG MINH MỘT PHÂN THỨC LUÔN CÓ NGHĨA. Bài 1.Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) 3 b) 3x 5 c) 5x 1 x2 1 (x 1)2 2 x2 2x 4 2 d) x 4 e) x 5 x2 4x 5 x2 x 7 Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
8. a) x y b) 4 x2 2y2 1 x2 y2 2x 2