Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 12: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 12: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

1. CHUYÊN ĐỀ 12: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN THEO THAM SỐ m a mx bm y cm HPT bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số: am x bm y cm Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m là những hệ số phụ thuộc tham số m. A. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. a mx bm y cm 1 1. Giải và biện luận hệ phương trình : (I) am x bm y cm 2 Bước 1: Rút ẩn mà hệ số của nó không chứa m ở một trong hai phương trình (VD rút y) y f (m)x g(m) 1 Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. H (m)x K(m) 2 Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y khi (2’) có nghiệm x. => Hệ có (I) nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có 1 nghiệm x, vô số nghiệm x hay vô nghiệm. * Xét phương trình (2): + Khi H(m) = 0  m = mo ta có: - Nếu K(mo) = 0 thì (2’) có vô số nghiệm x => (1’) có vô số nghiệm y tương ứng. => Hệ có vô số nghiệm (x, y) = (x, f (mo )x g(mo ) ) - Nếu K(mo) ≠ 0 thì (2’) vô nghiệm => (1’) vô nghiệm. => Hệ vô nghiệm. K(m) + Khi H(m) ≠ 0  m ≠ mo ta có (2’) luôn có nghiệm duy nhất x = H (m) K(m) => (1’) có nghiệm duy nhất y = f (m). g(m) H (m) => Hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ mo 2. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm. * Thường trong bài toán tìm m để hệ có nghiệm, vô nghiệm còn liên quan đến các ý b), ý c) của bài toán nên ta thường làm theo các bước như bài toán Giải và biện luận hệ: 1
2. * Sau đó lập luận để tìm m theo yêu cầu bài toán. * Từ đó cũng tìm được luôn nghiệm x, y theo m để làm các ý tiếp theo. 3. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho. Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo m Bước 2: Giải điều kiện bài toán: * Hệ có nghiệm nguyên: k Viết Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) là ước của k * Hệ có nghiệm x, y dương (âm): Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị của m * Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho: Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m => Giá trị của m Bước 4: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất => Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện. 4. Tìm m đề ba đường thẳng đã cho đồng quy. - Xác định giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng (giao điểm của 2 đường thẳng không chứa m) - Thay giao điểm tìm được vào đường thẳng còn lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m. 5. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện đã cho: Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng => Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M chính là điều kiện hệ có nghiệm duy nhất. Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo m Bước 3: Giải điều kiện của M Bước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn bài toán. 6. Tìm m để hai hệ phương trình tương đương. Bước 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hệ đã cho có nghiệm. Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m của mỗi hệ + Cho nghiệm x của hệ này bằng nghiệm x của hệ kia (1) + Cho nghiệm y của hệ này bằng nghiệm y của hệ kia (2)  Giá trị m cần tìm cùng thỏa mãn (1) , (2) và điều kiện của m 2
3. 7. Chứng tỏ nghiệm (x ; y) của hệ luôn nằm trên đường thẳng cố định. Từ hệ, bằng phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo ra một phương trình mới f(x,y) = 0 không phụ thuộc vào m => Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) là đường thẳng cố định cần tìm. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y 2m 1 x 2y m 3 ax y 2 a) b) c) x (m 1)y 2 mx 3y 5 x ay 2 mx y m ax y 3 (a 1)x y a 1 d) e) f) x y 2 4x ay 6 x (a 1)y 2 mx 2my m 1 g) x (m 1)y 2 x my m (1) Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vô nghiệm ; Vô số nghiệm: mx 9y m 6 (2) mx 4y 9 Bài 3: Cho hệ phương trình: . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm. x my 8 x my 2 Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau: mx 4y m 2 mx - y = 3 Bài 5: Cho hệ phương trình ( m là tham số ) : -x + 2my = 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. x 2y 5 1 Bài 6. Cho hệ phương trình: mx y 4 2 a) Giải hệ phương trình với m 2 . b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y trong đó x, y trái dấu. c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x y . mx 4y 9 Bài 7: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước: x my 8 38 2x + y + = 3 m 2 4 3
4. Hướng dẫn - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2 8m 9 y mx 4y 9 mx 4y 9 (m 2 4)y 8m 9 m 2 4 - Hệ x my 8 mx m 2 y 8m x my 8 9m 32 x m 2 4 9m 32 8m 9 - Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được: m 2 4 m 2 4 9m 32 8m 9 38 2. + + = 3 m 2 4 m 2 4 m 2 4  18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 2 23 3m – 26m + 23 = 0 m1 = 1 ; m2 = (thỏa mãn điều kiện) 3 23 Vậy m = 1 ; m = 3 2x y 5m 1 Bài 8: Cho hệ phương trình: ( m là tham số) x 2y 2 a) Giải hệ phương trình với m = 1 b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 = 1. x y 3m 2 Bài 9: Cho hệ phương trình 2x y 5 x2 y 5 Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x; y sao cho 4 . y 1 mx 2y 18 Bài 10. Cho hệ phương trình : ( m là tham số ). x - y 6 a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9. x my 9 Bài 11: Cho hệ phương trình: mx 3y 4 a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 28 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - 3 m 2 3 4
5. mx y 2 Bài 12: Cho hệ phương trình: . Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm 3x my 5 m 2 (x; y) thỏa mãn hệ thức x y 1 . m 2 3 3x my 9 Bài 13: Cho hệ phương trình mx 2y 16 a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy c) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7 x (m 1)y 2 Bài 14: Cho hệ phương trình (m 1)x y m 1 1 a) Giải hệ với m 2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y 3x 2y 4 Bài 15: Cho hệ phương trình 2x y m Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 (m 1)x my 3m 1 Bài 16: Cho hệ phương trình: 2x y m 5 a) Giải hệ phương trình với m = 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x2 y2 4 mx 2y m 1 Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 2x my 2m 1 Hướng dẫn mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2 (m2 4)y 2m2 3m 2 Hệ  2 2 2x my 2m 1 2mx m y 2m m 2x my 2m 1 (m2 4)y (m 2)(2m 1) (1) 2x my 2m 1 (2) Hệ có nghiệm duy nhất  Phương trình (1) có nghiệm y duy nhất  m2 – 4 ≠ 0 m2 4 m 2 Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) là: 5
6. (m 2)(2m 1) 2m 1 3 y 2 m 2 4 m 2 m 2 m 1 3 x 1 m 2 m 2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 (m 1)x 2y m 1 Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 2 2 m x y m 2m 2m 1 x y 2m 2 Bài 19: Cho hệ phương trình 2 2 m x y m 3m Trong đó m ∈ Z ; m ≠ - 1. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên. mx y 2m Bài 20: Cho hệ phương trình x my m 1 a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. c) Chứng tỏ rằng điểm M(x ; y) (với (x ; y) là nghiệm của hệ đã cho) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. mx 2my m 1 Bài 21: Cho hệ phương trình x (m 1)y 2 a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất. Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất  x > 0 và y > 0 c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 . Gợi ý: Điểm thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 .  x2 + y2 = ( 5 )2 . Giải phương trình tìm được m. 2x my 1 Bài 22: Cho hệ phương trình mx 2y 1 a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là các số nguyên. 6
7. 2 c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng . 2 mx 4y 10 m Bài 23: Cho hệ phương trình (m là tham số) x my 4 a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y > 0 b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương (m 1)x my 3m 1 Bài 24: Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2y x m 1 Bài 25: Cho hệ phương trình: (1) 2x y m 2 a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1. b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2y x m 1 Bài 26: Cho hệ phương trình: (1) 2x y m 2 a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1. b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. x y 2a 1 Bài 27: Cho hệ phương trình: 2 2 2 x y a 2a 3 Tìm giá trị của a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương 3x 5y 7 3x 5y 7 a) Hệ (I) Hệ (II) 1 2x y 6 x y m 2 4x 3y 5 4x 3y 5 a) Hệ (I) Hệ (II) 2x 5y 9 3x my 2 7