Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 15: Phương trình bậc hai một ẩn

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 15: Phương trình bậc hai một ẩn

1. CHỦ ĐỀ 15: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A/ LÝ THUYẾT. I/ Dạng phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) II/ Công thức nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có biệt thức (Đenta): = b2 - 4ac + Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 2a 2a Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 + 3x + 3 = 0 Ta có: a = 1; b = 3 ; c = 3 => ∆ = b2 – 4ac = 9 – 12 = - 3 ∆ = b2 – 4ac = 1 + 20 = 21 > 0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 1 21 b 1 21 x1 = = x2 = = 2a 2 2a 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 + 2 2 x + 2 = 0 Ta có: a = 1 ; b = 2 2 ; c = 2 => ∆ = b2 – 4ac = 0 b  Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2 2a CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN: Dùng khi hệ số b = 2b Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có ’ = b’ 2 - ac ( b = 2b’ ) + Nếu ’ 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = a a III/ Hệ thức Vi-ét. a) Định lí Vi-ét: 1
2. 2 Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì : b +) Tổng hai ngiệm: S = x1 + x2 = a c +) Tích hai nghiệm: P = x1.x2 = a b) Ứng dụng: + Hệ quả 1: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình c có nghiệm: x1 = 1; x2 = a + Hệ quả 2: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có: a – b + c = 0 thì phương trình c có nghiệm: x1 = -1; x2 = a c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình bậc hai: 2 2 x - S.x + P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi ∆ = S – 4P 0) Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ≥ 0) + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2. I/ Phương pháp. - Liệt kê các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai. - Nếu có: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 (1) => Áp dụng Hệ quả Viet suy ra nghiệm của phương trình. - Nếu không có (1) thì tính ∆ = b2 – 4ac => Áp dụng công thức nghiệm (Công thức nghiệm thu gọn). II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Xác định các hệ số a, b, c và giải phương trình bậc hai sau. a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 3x2 – 7x - 10 = 0 b) x2 – 3x + 2 = 0 c) 3x2 – 2 3 x – 3 = 0 d) x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0 e) 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0 f) x2 – 4x – 5 = 0 2
3. g) (2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0 h) x2 – x – 6 = 0 DẠNG 2: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH:. I/ Phương pháp: * Áp dụng định lý (đảo Viet): Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc ha: x2 - S.x + P = 0 Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ? 2 + Nếu S – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. 2 + Nếu S – 4P 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Ta có: u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: a) u + v = - 42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 Bài 3: Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2. DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. I/ Phương pháp. - Xác định điều kiện của phương trình nếu có (Mẫu thức ≠ 0 và Điều kiện biểu thức trong căn bậc hai không âm hoặc dương). - Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Giải các phương trình sau: 2x x2 x 8 a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 b) x 1 (x 1)(x 4) 3
4. c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0 Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0 x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3 2x x2 x 8 b) Giải phương trình (2) x 1 (x 1)(x 4) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì (2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1. x3+3x2+3x+2 = 0 2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 3. x4 – 5x2 + 4 = 0 4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 x x 1 5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 6. 10. 3 x 1 x 2 1 1 7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 8. x 4 x 3 0 x x x 2 6 1 9. 3 10. x 2 0 x 5 2 x x 1 4