Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 16: Các dạng bài tập trọng tâm phương trình bậc hai một ẩn

Nội dung text: Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào Lớp 10 - Chủ đề 16: Các dạng bài tập trọng tâm phương trình bậc hai một ẩn

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 (a≠0) DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THEO TỔNG VÀ TÍCH HAI NGHIỆM. I/ Phương pháp. - Áp dụng định lý viet, tính tổng và tích hai nghiệm. - Khai triển biểu thức theo tổng và tích hai nghiệm. => Thay giá trị của tổng và tích vào biểu thức => Giá trị của biểu thức. II/ Bài tập vận dụng. 2 Bài 1: Cho phương trình x + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 2 2 3 3 A = ; B = x1 + x2 ; C = 2 2 ; D = x1 + x2 x2 x2 x2 x2 2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x – 3x – 7 = 0. Tính: 2 2 A x1 x2 ; B x1 x2 ; 1 1 C ; D 3x1 x2 3x2 x1 ; x1 1 x2 1 3 3 4 4 E x1 x2 ; F x1 x2 2 Bài 3: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 3 2 3 2 A 2x1 3x1 x2 2x2 3x1x2 ; 2 x1 x1 x2 x2 1 1 B ; x2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 2 2 3x1 5x1x2 3x2 C 2 2 . 4x1x2 4x1 x2 2 Bài 4: Cho phương trình x + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 2 2 3 3 A = ; B = x1 + x2 ; C = 2 2 ; D = x1 + x2 x2 x2 x2 x2 1
2. DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH. I/ Phương pháp. * Để lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 ta làm như sau: + Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2 + Phương trình bậc hai cần tìm là: x2 - S.x + P = 0 * Nếu hai số u; v có u + v = S ; u.v = P thì u và v có thể là hai nghiệm của phương trình bậc ha: x2 - S.x + P = 0 Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ? 2 + Nếu S – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. 2 + Nếu S – 4P 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm II/ Bài tập vận dụng. 2 Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x – 3x – 7 = 0. Lập phương trình bậc hai có 1 1 các nghiệm là vµ . x1 1 x2 1 1 1 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là vµ . 10 72 10 6 2 Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0 (với m ≠ 0). Lập phương trình ẩn y thoả mãn 1 1 y1 x1 vµ y2 x2 . x2 x1 2 Bài 4: Cho phương trình 2x – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 2 Bài 5: Cho phương trình 2x + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 ; x2. Hãy lập 1 1 1 1 phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 y2 vµ x1 x2 x1 x2 y1 y2 Bài 6: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Bài 7: Tìm hai số u và v biết: a) u + v = - 42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2
3. DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM. I/ Phương pháp. - Xác định các hệ số a ; b ; c của phương trình bậc hai (các hệ số này có thể phụ thuộc vào tham số m) - Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac + Để chứng ming PT vô nghiệm, ta chứng minh ∆ 0 II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. a) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; b) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; c) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; d) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. a) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; b) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; c) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; d) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 Bài 2: Cho phương trình x2 - (m2 + 1)x + m = 2 . Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x 2 - 2mx – m2 - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. I/ Phương pháp.  Điều kiện phương trình vô nghiệm: ∆ 0 có nghiệm: ∆ ≥ 0  Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c 0  Phương trình có hai nghiệm (nếu là hai nghiệm phân biệt thì dùng ∆ > 0). 0 0 0 b b cùng dấu cùng dấu dương 0 cùng dấu âm 0 a.c 0 a a a.c 0 a.c 0 3
4. 0 0  Phương trình bậc hai có ít nhất 1 nghiệm dương hoặc S 0 P 0 P 0 0 0  Phương trình bậc hai có ít nhất 1 nghiệm âm hoặc S 0 P 0 P 0  Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức f(x1, x2) B1: Xác định điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm (hai nghiệm phân biệt) rồi viết biểu thức Viet theo tham số m. B2: Biến đổi hệ thức f(x1, x2) theo tổng và tích hai nghiệm x1 ; x2.  Phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền cạnh huyền bằng k 0 có hai nghiêm duong x1 ;x2 x1 x2 0 2 2 2 x .x 0 x1 x2 k 1 2 2 2 2 x1 x2 k  Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 là các nghiệm nguyên (số nguyên) (Chỉ xét khi x1.x2 = k là một số nguyên đã biết) + Phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2  0  m . b x x (1) 1 2 a + Hệ thức vi-ét c x .x k Z (2) 1 2 a k + Từ (2) ta có x1 , để x1, x2 nguyên  x2 phải ước của số nguyên k => Các cặp giá x2 trị x1, x2 tương ứng. + Thay cặp giá trị x1, x2 tìm được vào (1) tìm được giá trị m  Phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ; x2 là độ dài đường cao và cạnh đáy của một tam giác có diện tích bằng k 0 pt có hai nghiêm duong x1 ;x2 x1 x2 0 x1.x2 2k x1.x2 0 x1.x2 2k 4
5. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) d) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm). e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 2 2 g) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) (m + 1)x – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 2 2 b) mx – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2 2 2 2 2 2 c) (m – 1)x – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1 x2 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) x + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 2 2 b) x – 4mx + 4m – m = 0 ; x1 = 3x2 2 c) mx + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 2 2 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = 0 ; x1 = x2 2 3 2 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x2 2 2 2 f) x – 4x + m + 3m = 0 ; x1 + x2 = 6. Bài 4: Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 2 Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 2x1x2 3 ; x2 sao cho biểu thức R 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. x1 x2 2(1 x1x2 ) Bài 6: Định m để phương trình mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 2. 2 Bài 7: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x + mx + 25 = 0. Chứng minh rằng |x1 + x2| > 10. 5
6. Bài 8: Cho phương trình: x 2 + mx - 5 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 11. Bài 9: Tìm m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm. 2 Bài 10: Cho phương trình: x – (m + 2)x – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x2 là các số nguyên. 2 Bài 11: Cho phương trình: x - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 DẠNG 5: SO SÁNH NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI VỚI MỘT SỐ 훂 I/ Phương pháp. 0 0 - Phương trình có hai nghiệm x1 < x2 < α x1 x2 0 x1 x2 0 x x 2 x1 x2 0 1 2 0 0 - Phương trình có hai nghiệm α < x1 < x2 x1 x2 0 x1 x2 0 x x 2 x1 x2 0 1 2 0 0 - Phương trình có hai nghiệm x1 < α < x2 x1 x2 0 x1 x2 0 Viết các điều kiện trên theo yêu cầu của mỗi bài toán, thay định lý Vi-et vào điều kiện. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm m để phương trình: 2x2 – 4x + 5(m-1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3. Bài 2: Tìm m để phương trình: x2 + mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m. Bài 3: Tìm a để phương trình x2 + ax – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2 Hướng dẫn 0 TH1: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2 < x2 x1 x2 0 0 TH2: Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2 < x1 ≤ x2 x1 x2 0 x1 x2 2 Bài 4: Tìm k để phương trình x2 + (2k + 1)x + k2 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1 6
7. DẠNG 6: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ. I/ Phương pháp. - Viết hệ thức Vi - ét của phương trình. - Biến đổi qua lại giữa tổng và tích trong hệ thức Vi - ét sao cho tham số m bị triệt tiêu, từ đó thu được hệ thức độc lập giữa hai nghiệm. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m. Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1. Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. x1 x2 5 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: . x2 x1 2 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. 7
8. DẠNG 7: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM CHUNG. I/ Phương pháp. Xét hai phương trình bậc hai sau: 2 2 a1x + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = b1 4a1c1 2 2 a2x + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = b2 4a 2c2 1 0 B1: Giải điều kiện tìm m để hai phương trình cùng có nghiệm. 2 0 a x2 b x c 0 B2: Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình, giải hệ: 1 o 1 o 1 o 2 a 2xo b2xo c2 0 2 Dùng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu xo , rồi tìm điều kiện để tồn tại xo  Nghiệm chung xo (có thể theo m hoặc không phụ thuộc vòa m) . Thay xo vào một trong hai phương trình, giải tim m thỏa mãn điều kiện. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 − 2mx − 4m + 1 = 0 (1) x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) Hướng dẫn 4m2 16m 4 0 Điều kiện để cả hai pt có nghiệm: 2 9m 2m 3 0 2 xo 2mxo 4m 1 0 Giả sử xo là nghiệm chung của 2 phương trình đã cho, ta có: 2 xo 3m 1 xo 2m 1 0 5m 1 xo 6m 0 1 6m Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn tại xo ∈ R  m x 5 o 5m 1 2 6m 6m Thế vào một trong hai pt của hệ trên, ta được: 2m 4m 1 0 5m 1 5m 1 Giải phương trình trên ta thấy chỉ có: m = 1 là thỏa mãn điều kiện. Vậy khi m = 1 thì 2 pt đã cho có nghiệm chung. 8
9. Bài 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 4: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. Bài 5: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. DẠNG 8: TÌM THAM SỐ m ĐỂ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TƯƠNG ĐƯƠNG. I/ Phương pháp. Hai phương trình tương đương  Chúng có cùng tập nghiệm (cùng vô nghiệm). Xét hai phương trình bậc hai sau: 2 2 a1x + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = b1 4a1c1 ; Tổng S1 ; Tích P1 2 2 a2x + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = b2 4a 2c2 ; Tổng S2 ; Tích P2 Xảy ra hai trường hợp để Hai phương trình tương đương: (3) 0 - TH1: Trường hợp cả hai phương trinhg cùng vô nghiệm, tức là: (4) 0 Δ(3) 0 Δ(4) 0 - TH2: Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, tương đương  S(3) S(4) P(3) P(4) II/ Bài tập vận dụng. 9
10. Bài 1: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương. Bài 2: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) Định m để hai phương trình tương đương. DẠNG 9: CHỨNG MINH MỘT TRONG HAI PT BẬC HAI CÓ NGHIỆM. I/ Phương pháp. Xét hai phương trình bậc hai sau: 2 2 a1x + b1x + c1 = 0 có biệt thức ∆1 = b1 4a1c1 hoặc 1 2 2 a2x + b2x + c2 = 0 có biệt thức ∆2 = b2 4a 2c2 hoặc 2 Một trong hai phương trình bậc hao có nghiệm  ∆1 + ∆2 ≥ 0 hoặc 1 + ∆2 ≥ 0 hoặc ∆1 + 2 ≥ 0 hoặc 1 + 2 ≥ 0 Tùy từng bài mà ta dùng một trong bốn hệ thức trên cho đơn giản và phù hợp. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Cho a, b, c > 0; a + 2b + 3c = 1. Chứng minh một trong 2 phương trình sau có nghiệm: 4x2 - 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1 = 0 (1) 4x2 - 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1 = 0 (2) Bài 2: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) Bài 3: Cho các phương trình: x2 + bx + c = 0 (1) x2 + cx + b = 0 (2) 1 1 1 Trong đó . Chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. b c 2 10