Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 11: Góc cơ đỉnh bên trong đường tròn. Góc cơ đỉnh bên ngoài đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 11: Góc cơ đỉnh bên trong đường tròn. Góc cơ đỉnh bên ngoài đường tròn

1. CHỦ ĐỀ 11: GÓC CƠ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CƠ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN. A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. *) Với đỉnh A nằm trong đường tròn (O) là giao điểm của hai dây của đường tròn => Ta có góc B· AE ; B· AD là các góc có đỉnh bên trong đường tròn. D C Số đo của góc này bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh đó. A » » · sđBE + sđCD + sđBAE = . 2 » » · sđBD + sđCE E + sđBAD = B 2 *) Với đỉnh A nằm ở ngoài đường tròn (O) là giao điểm của đường éo dài của hai dây của đường tròn => Ta có C· AE (hoặc B· AD ) là góc có đỉnh bên ngoài C đường tròn. B A Số đo góc nằm ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai n m cung bị chắn. D · 1æ ¼ ¼ ö sđCAE = çsđEmC - sđBnD÷ E 2èç ø÷ * Cần lưu ý đến các trường hợp sau: C + Với đỉnh A nằm ngoài đường tròn (O) . AD là tiếp tuyến (O) A B,C O của , qua vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại thì: B m · 1æ ¼ ¼ ö n CAD = çsđCmD - sđBnD÷ 2è ÷ø A D + Với Với đỉnh A nằm ngoài đường tròn (O) . AB,AC là 2 tiếp B tuyến của (O) , ( A, B là các tiếp điểm) thì: · 1æ ¼ ¼ ö O m BAC = çsđBmC - sđBnC ÷ A n 2èç ø÷ C
2. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. I. BÀI TẬP MẪU. Bài 1: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ≠ (O)). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC. Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K, nối DE cắt AC tại J. Chứng minh rằng: a) ∠BID = ∠AJE . b) AI.JK = IK.EJ. Hướng dẫn a) Ta có ∠BID là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung BD và cung AE 1 B· ID sđB»D sđA»E 2 ∠AJE là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung CD và AE 1 A· JE sđC»D sđA»E 2 Mà AD là phân giác của góc A nên B»D C»D Suy ra ∠BID = ∠ẠJE b) Xét ΔAIK và ΔEJK có: +) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh) +) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau BD và cung CD ) Do đó ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g) => AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B sao cho O ≠ (O'). Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M ở trong đường tròn (O). Tia AM và BM cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng: a) A»B C»D (Cung nhỏ của đường tròn (O)) b) Tứ giác ABCD là hình thang cân. Hướng dẫn
3. a) Vì ∠AMB là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung AB và CD nên: 1 A· MB sđA»B sđC»D 2 Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB lớn) ∠AOB = sđ A»B (góc ở tâm đường tròn (O)). 1 sđA»B sđC»D sđA»B sđA»B sđC»D A»B C»D 2 b) Trong đường tròn (O): 1 1 D· AC sđC»D ; A· CB sđA»B 2 2 Mà A»B C»D => D· AC A· CB Vì hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra AD // BC (1) Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn 2 cung bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Bài 3: Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. AB cắt CI tại M, AC cắt BI tại N. Chứng minh rằng: a) BC2 = BM.CN b) ∠AIN có số đo không đổi. Hướng dẫn a) Vì ΔABC đều nên: sđA»B sđB»C sđA»C 120o Ta có: ∠ANB là góc có đỉnh ngoài đường tròn (O) nên: 1 1 A· NB sđA»B sđCºI 60o sđCºI 2 2 1 Lại có: B· CI sđBºI (góc nội tiếp (O) chắn cung BI) 2 1 1 sđB»C sđCºI 60o sđCºI 2 2 Suy ra ∠ANB = ∠BCI (1) Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2) Từ (1) và (2) suy ra: ΔBCM ∼ ΔCNB (g-g) => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC
4. b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o => ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi Bài 4: Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm giữa A và D). Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của ∠BAC, BM cắt CD tại I. Chứng minh rằng: a) BM là tia phân giác của b) MD2 = MI.MB Hướng dẫn Giả sử tia phân giác của ∠BAC cắt BC tại E, cắt BD tại E và cắt đường tròn (O) tại K. a) Ta có: 1 1 A¶ sđB»N sđB»K A¶ sđD»N sđC»K 1 2 2 2 Mà ∠A1 = ∠A2 (gt) => sđB»N sđB»K sđD»N sđC»K  sđB»N sđC»K sđD»N sđB»K ⇔ ∠BEF = ∠BFE => ΔBEF cân tại B. Mà BM là đường cao của ΔBEF Suy ra BM là tia phân giác của ∠CBD b) Vì BM là phân giác của ∠CBD C¼M M¼ D M· DC M· BD Do đó: ΔMDI ∼ ΔMBD (g.g) => MD2 = MI.MB II/ LUYỆN TẬP. Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC tại F. Kẻ tiếp tuyến FG với đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) 2E· FC sđA»B sđC»D b) ΔFEC ∼ ΔFBE, từ đó suy ra EF2 = FB.FC Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E ≠ (O), F ≠ (O')) . Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và DC. Chứng minh rằng:
5. a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN ⊥ AD c) ME.MA = MF.MD. Bài 3: Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp các dây cung: AB = BC = CD < R. AB cắt CD tại E. Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: a) ΔEBC ∼ ΔFBD b) ΔEBF ∼ ΔCBD c) BC // EF. Bài 4: Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên đường tròn (O); AB và CD cắt nhau tại M; AD và BC cắt nhau tại N. a) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD nếu ∠AMD = 30o và ∠BND = 40o . b) Hai phân giác của góc M và góc N cắt nhau tại I. Chứng minh rằng IM ⊥ IN Bài 5: Cho đường tròn tâm O và điểm M ngoài đường tròn đó . Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đến đường tròn ( B nằm giữa M và C ) . Phân giác của góc B· AC cắt BC ở D , cắt đường tròn ở E . Chứng minh : a) MD = MA b) AD . AE = AC . AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng : a) BDI là tam giác cân . b) DE là đường trung trực của IC . c) IF  BC ( F là giao điểm của DE và AC ). Bài 7: Cho đường tròn tâm O và điểm S ở ngoài đường tròn . Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SD và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B ở giữa S và C ). a) Phân giác của góc B· AC cắt dây cung BC ở M . Chứng minh SA = SM . b) AM cắt đường tròn ở E. Gọi G là giao điểm của OE và BS; F là giao điểm của AD với BC . Chứng minh SA2 = SG . SF . 2a c) Biết SB = a ; Tính SF khi BC = 3
6. Bài 8: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME và MF ( E và F là hai tiếp điểm ) . Kẻ dây EG của đường tròn (I) song song MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao điểm của EH với MF . a) Chứng minh KF2 = KE . KH . b) Chứng minh K là trung điểm của MF . Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính EF và điểm G nằm trên nằm trên đường tròn (O) sao cho EG > GF. Trên tia GF lấy điểm H sao cho GH =GE . Vẽ hình vuông EGHI có đường chéo GI cắt (O) tại K . a) Chứng minh KFH cân . b) Tiếp tuyến tại E với đường tròn (O) cắt FK ở M . Chứng minh ba điểm M , I , H thẳng hàng Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A, B, C , D nằm trên đường tròn (O) . Các tia AB và DC cắt nhau tại E , các tia CB và DA cắt nhau tại F . Hai phân giác của các góc Eµ và Fµ cắt nhau tại K . Chứng minh rằng : E· KF = 900 . Bài 11: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O . điểm D di chuyển trên cung AC . Gọi E là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng : a) ·AFB ·ABD b) Tích AE . BF không đổi . Bài 12: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B và C . Gọi M,N và P theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I , NM cắt AB tại E . Gọi D là giao điểm của AN và BC . Chứng minh rằng : a) BNI cân . b) AE.BN = EB.AN . c) EI  BC AN AB d) BN BD