Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 3: Sự xác định đường tròn. Đường kính và dây của đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 3: Sự xác định đường tròn. Đường kính và dây của đường tròn

1. CHỦ ĐỀ 3: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. I/ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. M 1. Định nghĩa đường tròn. R * Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách O một N O khoảng bằng R. P * Kí hiệu: (O ; R) hoặc (O). 2. Điểm thuộc và không thuộc đường tròn. * Điểm M ∈ (O ; R) hay M nằm trên đường tròn hay (O) đi qua M  OM = R. * Điểm N nằm ngoài đường tròn  ON > R * Điểm P nằm trong đường tròn  OP Một đường tròn chỉ có duy nhất một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng. II/ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. 1. Dây của đường tròn. Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên đường tròn gọi là dây của đường tròn đó. 1
2. Ví dụ: Dây MN của (O) M Đường kính AB cũng được gọi là dây của (O). N 2. So sánh độ dài đường kính và dây. A B Định lý 1: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường O kính. 3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. Định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. Định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 3 I/ PHƯƠNG PHÁP. * Trong một đường tròn đường kính là dây lớn nhất. * Trong một đường tròn: + Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. + Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. * Để chứng minh các điểm thuộc một đường tròn: cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó. + Trong tam giác thường: - Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó - Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó - Các đỉnh của hình chữa nhật cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo. - Các đỉnh của hình vuông cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo. => PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm A1 ,A2 , ,An cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm A1 ,A2 , ,An cách đều điểm O cho trước. II/ BÀI TẬP MẪU. Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM,BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó Giải 2
3. Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao .  AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB .  các tam giác BPC,BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền  MP MN MB MC  Các điểm B,P,N,C cùng thuộc đường tròn Đường kính BC a , tâm đường tròn là Trung điểm M của BC Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD có Cµ Dµ 900. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA . Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó Giải T Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD B M vuông tại T . A N + Có MN là đường trung bình của tam giác ABD O => Q NM / /AD D C P + MQ là đường trung bình của tam giác ABC => MQ / /BC . Mặt khác AD  BC MN  MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có: MN  NP, NP  PQ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ,MP Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của AC ; G là trọng tâm của tam giác ABM . Gọi Q là giao điểm của BM và GO . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ A Giải P Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp N G M Q I K tam giác nằm trên đường trung trực của BC .Gọi K là giao điểm của AO O B C và BM Dựng các đường trung tuyến MN,BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G .Do MN / /BC MN  AO . Gọi K là giao điểm của BM và AO thì K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC . 3
4. Mặt khác ta có OM  AC suy ra GK  OM hay K là trực tâm của tam giác OMG MK  OG . Như vậy tam giác BQG vuông tại Q . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG . Ví dụ 4. Cho hình thang vuông ABCD có Aµ Bµ 900 . BC 2AD 2a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC ; M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM Giải A D Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của H tam giác HBC suy ra MN  AB , mặt khác BH  AM => N là trực tâm của tam giác ABM => AN  BM . E O M N 1 Do MN / / BC MN / / AD nên ADMN là hình bình hành 2 B C Suy ra AN / /DM . Từ đó ta có: DM  BM hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD . 1 1 1 a 5 Ta có R MO BD AB2 AD2 4a2 a2 . 2 2 2 2 Ví dụ 5. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Gọi M,N là trung điểm của CD,DE . AM cắt BN tại I . Chứng minh rằng các điểm M,I,O,N,D nằm trên một đường tròn Giải N B C E D M H1 K1 H I J K A D O O N B F E A ABCDEF là lục giác đều => OM  CD,ON  DE M,N,C,D nằm trên đường tròn đường kính OD . Vì tam giác OBN OAM nên điểm O cách đều AM,BN => OI là phân giác trong của góc A· IN OH  AM Kẻ DH1 2OH (Do OH là đường trung bình của tam giác DAH1 DH1  AM 4
5. OK  BN OK JO 1 Kẻ DK1 2OK (Do với J AD  NB ) DK1  BN DK1 JD 2 Do OK OH DH1 DK1 => D cách đều AM,BN hay ID là phân giác ngoài của A· IN O· ID 900 . Vậy 5 điểm M,I,O,N,D cùng nằm trên một đường tròn đường kính OD . Ví dụ 6. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC,N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho 1 AN AC . Chứng minh 4 điểm M,N,C,D nằm trên cùng một đường tròn 4 Giải · 0 Ta thấy tứ giác MCDN có MCD 90 nên để chứng minh 4 E M B C điểm M,N,C,D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh M· ND 900 Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt BC,AD I N tại E,F . K A 1 1 Xét ∆vuông NEM và ∆vuông DFN có EM NF AB,EN DF AB F D 4 4 => NEM DFN => N· ME D· NF,M· NE N· DF M· NE D· NF 900 => ∆ MND vuông tại N . Suy ra 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD Cách 2: Gọi K là trung điểm của ID với I là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy MCKN là hình bình hành nên suy ra CK / /MN . Mặt khác do NK  CD,DK  CN K là trực tâm của tam giác CDN CK  ND MN  ND . Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Lấy điểm M,N thuộc tia BC sao cho MN BC và M nằm giữa B,C . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N lên AC,AB . Chứng minh cácđiểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn Giải A Giả sử MD cắt NE tại K . Ta có HB / /MK do cùng D E vuông góc với AC suy ra H· BC K· MN ( góc đồng vị) . H K Tương tự ta cũng có H· CB K· NM kết hợp với giả thiết C N B M BC MN BHC KMN S BHC S KMN HK / /BC . Mặt khác ta có BC  HA nên HK  HA hay H thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK . Dễ thấy E,D (AK) nên cácđiểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn. 5
6. II/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK. a) Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. b) So sánh KH và BC. Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Vẽ (O) đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. a) Chứng minh: CD  AB; BE  AC. b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: AK  BC. Bài 3: Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, R và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. Chứng minh 4 điểm M, N, R và S cùng thuộc một đường tròn. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Bài 5: Hình thoi ABCD có Aµ 60o . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, B, F, G, D, H thuộc cùng một đường tròn. Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường (O). Đường tròn (I) đường kính OA cắt OC tại D. Vẽ CH  AB. a) Chứng minh A, C, D, H cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh OD = OH. Từ đó chỉ ra HD // AC. Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có µC µD 600 , CD = 2AD. Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bài 8: Cho (O) đường kính MN, I thuôc OM, K thuộc ON. Qua I, K vẽ các dây AB và CD vuông góc với MN a) C/m MN là đường trung trực của AB và CD b) C/m ABCD là hình thang cân Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên AB (điểm M khác O). Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M. a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6cm ; MA = 4cm. Tính CD. MC3 c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: MH.MK . 2R 6
7. Bài 10: Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M, N (M ở giữa C và N). a) Chứng minh CM = DN. b) Giả sử ·AOB 900 . Tính OM theo R sao cho CM MN ND . Bài 11: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB). a) Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật. b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn 300 . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE. Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH vuông góc với AC . Trên AC,CD ta lấy các điểm M,N sao AM DN cho . Chứng minh 4 điểm M,B,C,N nằm trên một đường tròn. AH DC Gợi ý: B· CN 900 , hãy chứng minh B· MN 900 7