Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 5: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề bài tập Hình học 9 - Chủ đề 5: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn

1. CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN. A/ LÝ THUYẾT. Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng là OH O H Δ 1. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt:  đường thẳng có hai điểm chung A,B với đường tròn (O)  OH < R 2. Đường thẳng và đường tròn (O) không giao nhau.  Đường thẳng và đường tròn (O) không có điểm chung  OH R 3. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.  đường thẳng chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O)  OH = R. A O O M H H Δ B 4. Tiếp tuyến của đường tròn. là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm H  ∆ tiếp xúc với đường tròn tại H Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O) . Ta có OH R * Nếu là tiếp tuyến của (O) thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm * Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
2. + Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến +Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó. 4. Đường tròn nội tiếp tam giác + là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là + có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác 5. Đường tròn bàng tiếp tam giác + là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia + Đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A có tâm là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C + Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. A M P D F B O O B C A N E C Đường tròn nội tiếp ΔABC Đường tròn bàng tiếp trong góc A B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN I/ Phương pháp: Xét (O, R) và đường thẳng d * Bài toán về khoảng cách OH từ tâm O tới đường thẳng d khi d cắt (O) tại hai điểm. Xét OH  AB OH R,HA HB R2 OH2 . Theo định lý Pitago ta có: OH2 MO2 MH2 Mặt khác ta cũng có: OH2 R2 AH2 => MO2 MH2 R2 AH2 MH2 AH2 MO2 R2 (MH AH) MH AH MO2 R2 O O H A M B M A H B
3. CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC + Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB MO2 R2 + Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB R2 MO2 AB2 + Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R2 OH2 4 * Để chứng minh một đường thẳng d là tiếp tuyến (tiếp xúc) với đường tròn (O, R): + Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ OH  d, chứng minh OH = R. + Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh OA  d. + Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách này sẽ được đề cập trong phần góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây) II/ BÀI TẬP MẪU. Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD (Aµ Bµ 900 ) có O là trung điểm của AB và góc C· OD 900 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB Giải A C Kéo dài OC cắt BD tại E vì C· OD 900 suy ra E· OD 900 . · Vì COD nên xét ∆vuông COD và ∆vuông EOD ta có H O OD chung OC OA 1 OC OD . OD OB COD EOD => DC DE => ∆ ECD cân tại D . E B D Kẻ OH  CD thì OBD OHD OH OB mà OB OA OH OB OA hay A,H,B thuộc đường tròn (O) . Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N là hai điểm trên các cạnh AB,AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a . Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định Giải M B Trên tia đối của BA ta lấy điểm E sao cho BE ND. A E H Ta có BCE DCN CN CE . N Theo giả thiết ta có: C MN AM AN AB AD AM MB AN DN AM AN MB BE D
4. Suy ra MN MB BE ME . Từ đó ta suy ra MNC MEC C· MN C· MB . Kẻ CH  MN CH CB CD a . Vậy D,H,B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm C bán kính bằng a . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx  BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D . Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B) Giải A Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: Bµ Cµ . ¶ 0 H Vì Bx  BA B2 90 . ¶ 0 ¶ ¶ α Mặt khác ta cũng có B1 90 B1 B2 . 1 B 2 C ¶ ¶ Hai tam giác BHC và BDC có BC chung, B1 B2 , BH BD R D x suy ra BHC BDC(c.g.c) suy ra B· HC B· DC 900 . Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K . Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) Giải Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của (O) nên A E· KC 900 . I K 1 Kẻ HI  AC BA / /HI / /EK suy ra AI IK từ đó ta có tam giác 2 3 C AHK cân tại H . B H E O ¶ µ · · Do đó K1 B (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là BAH,IHK ) ¶ ¶ Mặt khác ta cũng có: K2 C3 (do tam giác KOC cân tại O ). µ ¶ 0 ¶ ¶ 0 · 0 Mà B C3 90 K1 K2 90 suy ra HKO 90 hay HK là tiếp tuyến của (O) . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH kẻ các tiếp tuyến BD,CE với (A) ( D,E là các tiếp E điểm khác H ). Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC A D C B H O
5. Giải Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhu có: D· AB H· AB,C· AH C· AE . Suy ra D· AB C· AE H· AB C· AH B· AC 900 hay D· AB C· AE H· AB C· AH 1800 D,A,E thẳng hàng. Gọi O là trung điểm của BC thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt khác AD AE nên OA là đường trung bình của hình thang vuông BDEC Suy ra OA  DE tại A . Nói cách khác DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Đường kính BC III/ LUYỆN TẬP. Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O). Bài 3: Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) sao cho AB = R a. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài BC theo R. b. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Trên (O) lấy điểm D sao cho MD = MA (D khác A). Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O). Bài 4: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O), AB = 4 3 . Đường kính AD cắt BC tại H. Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ở điểm E. a. Chứng minh AH vuông góc với BC, tính độ dài AH và bán kính của đường tròn (O). b. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác ABCE là hình thoi. Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O và I là trung điểm AD. a. Chứng minh BC.BD = 4R2 b. Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O. Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhai tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
6. Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bở là đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90^0 . Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O). Bài 8. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vuông góc với AB tại M và cắt (O) tại N. a. Chứng minh AM.AN = AC2 b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tiếp xúc với AC tại C.