Chuyên đề bài tập Hình học Lớp 8 - Chuyên đề 13: Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng

Nội dung text: Chuyên đề bài tập Hình học Lớp 8 - Chuyên đề 13: Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng

1. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Phần I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đinh lý Talet trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. MN // BC A AM AN AB AC M N AM AN MB NC B C 2. Khái niệm tam giác đồng dạng. Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: + µA' µA ; Bµ' Bµ; Cµ ' Cµ A' B ' B 'C ' A'C ' AB BC AC 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác: a) Trường hợp thứ nhất (ccc): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng. c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 1
2. PHẦN III CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ , DIỆN TÍCH Loại 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG + Ví dụ minh họa: Bài 36 – 79 – SGK (có hình vẽ sẵn) ABCD là h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm D· BA = D· BC x KL x = ? D C Giải ABD và BDC có : D· AB = D· BC (gt) Bµ 1 = Dµ 1 ( so le trong do AB // CD) ABD P BDC (g.g) AB BD 12,5 x = hay = BD DC x 28,5 x2 = 12,5 . 28,5 x = 1218,9(cm),5 . 28,5 Bài 35 – 72 – SBT: A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? M N B C Giải Xét ABC và ANM ta có : AM 10 2 = = AM AN AC 15 3 = AN 18 2 AC AB = = AB 12 3 Mặt khác, có µA chung Vậy ABC P ANM (c.g.c) AB BC 12 18 8.18 Từ đó ta có : = hay = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bài tập 3: 2
3. a) Tam giác ABC có Bµ = 2Cµ ; AB = 4cm; BC = 5cm. Tính độ dài AC? b) Tính độ dài các cạnh của ABC có Bµ = 2Cµ biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. A Giải a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC B ACD và ABC có µA chung; Cµ = Dµ =  ACD P ABC (g.g) AC AD = AC2 = AB. AD AB AC D C = 4 . 9 = 36 AC = 6(cm) b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Theo câu (a) ta có. AC2 = AB. AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là: b = c + 1 hoặc b= c + 2 * Nếu b = c + 1 thì từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + 1 = ac c(a-2) = 1 (loại) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác * Nếu b = c + 2 thì từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + 4 = ac c(a – 4) = 4 Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán. Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD. + Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với BC = a, BC = c. 2ac b) Chứng minh rằng BD < với AB = c; BC = a. a c c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d. Loại 2: TÍNH GÓC Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB 5 lấy điểm C sao cho AC = AH. Tính B· AC . 3 3
4. A ABH; Hµ = 900 ; AB = 20cm 5 20 GT BH = 12cm; AC = AH 3 KL B· AC = ? B 12 H C Giải: AB 20 5 AC Ta có BH 12 3 AH AB BH AC AH Xét ABH và CAH có : ·AHB = C· HA = 900 AB BH (chứng minh trên) AC AH ABH P CAH (CH cạnh gv) C· AH = ·ABH Lại có B· AH + ·ABH = 900 nên B· AH + C· AH = 900 Do đó : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD? M Hình thoi ABCD; µA = 600 ; B GT BN  DM tại K KL Tính B· KD = ? K C A D Giải: N MB MC Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : (1) AB NC MC AD Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : (2) NC DN MB AD Từ (1) và (2) AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và µA = 600 nên là đều AB = BD = DA MB AD MB BD Từ (cm trên) AB DN BD DN Mặt khác : M· BD = D· BN = 1200 4
5. MB BD Xét 2 MBD và BDN có : ; M· BD = D· BN BD DN MBD P BDN (c.g.c) ¶ µ M1 = B1 ¶ µ · · · 0 MBD và KBD có M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120 Vậy B· KD = 1200 Bài tập đề nghị: ABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450. Tính các góc còn lại của mỗi Loại 3: TÍNH TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ CHU VI, TỶ SỐ DIỆN TÍCH Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho B· DC ·ABC . BD Biết AD = 7cm; DC = 9cm. Tính tỷ số BA B ABC; D AC : ; B· DC ·ABC GT AD = 7cm; DC = 9cm BD KL Tính . BA C B A Giải: CAB và CDB có C chung ; ·ABC = B· DC (gt) CB CA CAB P CDB (g.g) do đó ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) DB 3 Mặt khác lại có : BA 4 + Bài 2: (Bài 29 – 74SGK) A A’ ABC và A’B’C’: AB =6 ; 6 9 GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = 8 6 4 KL a) ABC P A’B’C’ 6 B 12 C B’ 12 C’ b) Tính tỉ số chu vi của A’B’C’ và ABC Giải: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) A'B' A'C' B'C' 2 Vì AB AC BC 3 A' B' A'C' B'C' A'B' A'C' B'C' b) A’B’C’ P A+B+C+ (câu a) = AB AC BC AB AC BC 4 6 8 18 = 6 9 12 27 5
6. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Phần I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đinh lý Talet trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. MN // BC A AM AN AB AC M N AM AN MB NC B C 2. Khái niệm tam giác đồng dạng. Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: + µA' µA ; Bµ' Bµ; Cµ ' Cµ A' B ' B 'C ' A'C ' AB BC AC 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác: a) Trường hợp thứ nhất (ccc): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng. c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. + Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 1