Chuyên đề bài tập Hình học Lớp 8 - Chuyên đề 9: Đa giác, đa giác đều

Nội dung text: Chuyên đề bài tập Hình học Lớp 8 - Chuyên đề 9: Đa giác, đa giác đều

1. CHỦ ĐỀ 9. ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. 2/ Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. VD1: Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau bằng 60o VD2: Tứ giác đều (Hình vuông) có 4 cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau bằng 90o 3/ Bổ sung + Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n - 2).180o (n 3).n + Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là . 2 + Tổng các góc ngoài của đa giác n cạnh (n > 2) là 360o (tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài). + Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc kề một cạnh là tâm của đa giác đều. Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa giác đều. Có một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60 o. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều Giải ABCD là hình thoi có ∠A = 60o => ∠B = ∠D = 120o ∆AEH là tam giác đều (Vì tam giác cân có một góc 60o) => ∠E = ∠H = 120o Tương tự: ∠F = ∠G = 120o Vậy EBFGDH có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác EBFGDH cũng có tất cả các cạnh bằng nhau (bằng nửa cạnh hình thoi). Vậy EBFGDH là một lục giác đều. Ví dụ 2. Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7. Giải Tìm cách giải.
2. Bài này biết mối liên hệ giữa số đường chéo và số cạnh nên hiển nhiên chúng ta đặt số cạnh của n n 3 đa giác là n biểu thị số đường chéo là từ đó ta tìm được số cạnh. 2 Trình bày lời giải n n 3 Đặt số cạnh của đa giác là n (n ≥ 3) thì số đường chéo là theo đề bài ta có: 2 n n 3 n 7 n2 5n 14 0 n 2 n 7 0 2 Vì n ≥ 3 nên n – 7 = 0 n = 7. Vậy số cạnh của đa giác là 7. Ví dụ 3. Tổng tất cả các góc trong và một góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,50 . Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Giải Tìm cách giải. 0 0 Nếu ta đặt n là số cạnh , α là số đo một góc ngoài của đa giác thì 0 180 và (n - 2).1800 là một số nguyên. Do đó suy ra (n 2).1800 47058,50 , từ đó ta có α là số dư của 47058,5 0 chia cho 1800. Bằng cách suy luận như vậy, chúng ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi n là số cạnh của đa giác (n N, n ≥ 3). Tổng số đo các góc trong của đa giác bằng (n 2).1800 . Vì tổng các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác có số đo là 47058,50 nên ta có (n 2).1800 47058,50 ( α là số đo một góc ngoài của đa giác với 00 1800 ) (n 2).1800 261.1800 78,50 n 2 261 n 263. Vậy số cạnh của đa giác là 263. Ví dụ 4. Tổng số đo các góc của một đa giác n - cạnh trừ đi góc A của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và Aµ . Giải Tìm cách giải. Theo công thức tính tổng các góc trong ta có (n - 2). 1800 – Aµ = 5700. Quan sát và nhìn nhận, ta có thể nhận thấy chỉ có thêm điều kiện là n N, n ≥ 3 và 00 < Aµ < 1800. Từ đó ta có lời giải sau:
3. Trình bày lời giải Ta có (n - 2). 1800 – Aµ = 5700 Aµ = (n - 2).1800 – 5700. Vì 00 < Aµ < 1800 0 < (n - 2). 1800 – 5700 < 1800. 5700 < (n - 2). 1800 < 7500 19 25 1 1 n 2 5 n 6 . 6 6 6 6 Vì n N nên n = 6. Đa giác đó có 6 cạnh và Aµ = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500. Ví dụ 5. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc của tam giác ABC. Giải Tìm cách giải. Vì AD là cạnh của lục giác đều và ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ra ∆ABD, ∆ACD, ∆BCD là các tam giác cân đỉnh D và tính được số đo các góc ở đỉnh. Do vậy ∆ABC sẽ tính được số đo các góc. Trình bày lời giải Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có: 6 2 .1800 A· DB 1200 D· AB D· BA 300 ; 6 A 5 2 1800 A· DC 1080 D· AC D· CA 360 ; 5 Suy ra B· DC 3600 1200 1080 1320 . D C Ta có ∆BDC (DB = DC) cân tại D. Do đó B 1800 1320 D· BC D· CB 240 . 2 Suy ra B· AC 300 360 660 ; ·ABC 300 240 540 ; ·BCA 240 360 600 . Ví dụ 6. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, L, K lần lượt là trung điểm EF, DE, CD. Gọi giao điểm của AK với BL và CM lần lượt là P, Q. Gọi giao điểm của CM và BL là R. Chứng minh tam giác PQR là tam giác đều. B Giải  A C Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có các cạnh và các góc đôi Q một bằng nhau. Các góc của lục giác đều bằng 1200. P  K Đặt B· AK C· BL D· CM ; L· BA  . R D F  M L E
4. · · · · 0 LBA  CKA EMC DLB   120 Trong tam giác CKQ có C· QK  1800 C· KQ 600 Trong tam giác PBA có A· PB  1800 A· PB 600 Từ đó suy ra R· QP R· PQ 600 Vậy ∆PQR đều. Ví dụ 7. Cho bát giác ABCDEFGH có tất cả các góc bằng nhau, và độ dài các cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng các cạnh đối diện của bát giác bằng nhau. Giải 8 2 1800 Các góc của bát giác bằng nhau, suy ra số đo của mỗi góc là 1350 . 8 Kéo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại M. Ta có: C N M B b M· AB M· BA 1800 1350 450 a A c suy ra tam giác MAB là tam giác vuông cân. h D d Tương tự các tam giác CND, EBF, GQH cũng là các tam giác H E g e f vuông cân, suy ra MNPQ là hình chữ nhật. P Q G F Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; HA = h. Từ các tam giác vuông cân, theo định lí Py-ta-go, ta có: a c a c MB ,CN nên MN b 2 2 2 2 e g Tương tự PQ f . Do MN = PQ nên 2 2 a c e g 1 b f a c e g f b . 2 2 2 2 2 Do f và b là số nguyên nên vế phải của đẳng thức trên là số nguyên, do đó vế trái là số nguyên. Vế trái chỉ có thể bằng 0, tức là f = b, hay BC = FG. Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA. Nhận xét. Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vô tỷ chúng ta đã giải được bài toán trên. Cũng với kỹ thuật đó, chúng ta có thể giải được bài thi hay và khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM
5. có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009 - 2010) C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 10.1. Số đường chéo của một đa giác lớn hơn 14, nhưng nhỏ hơn 27. Hỏi đa giác đó bao nhiêu cạnh? 10.2. Tổng số đo các góc của một đa giác n - cạnh trừ đi góc A của nó bằng 25700. Tính số cạnh của đa giác đó và Aµ . 10.3. Cho ∆ABC có ba góc nhọn và M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Gọi A1;B1;C1 là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh các đoạn AA1;BB1;CC1 cùng đi qua một điểm. b)Xác định vị trí điểm M để lục giác AB1CA1BC1 có các cạnh bằng nhau. 10.4. Một ngũ giác đều có 5 đường chéo và nhóm 5 đường chéo này chỉ có một loại độ dài (ta gọi một loại độ dài là một nhóm các đường chéo bằng nhau). Một lục giác đều có 9 đường chéo và nhóm 9 đường chéo này có 2 loại độ dài khác nhau (hình vẽ). Xét đa giác đều có 20 cạnh. Hỏi khi đó nhóm các đường chéo có bao nhiêu loại độ dài khác nhau? 10.5. Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và A· BC = 2D· BE . Hãy tính A· BC . 10.6. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và µA µB µC . a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều. 10.7. Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, EA và I, ED J lần lượt là trung điểm của MP, NQ. Chứng minh rằng IJ song song với ED và I J . 4 10.8. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.
6. 10.9. Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE; BC và EF; CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiết là lục giác đều hay không? 10.10. Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi bất kì luôn tìm được ba đường chéo có độ dài là ba cạnh của một tam giác. 10.11. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó. 10.12. Muốn phủ kín mặt phẳng bởi những đa giác đều bằng nhau sao cho hai đa giác kề nhau thì có chung một cạnh. Hỏi các đa giác đều này có thể nhiều nhất bao nhiêu cạnh? 10.13. Cho lục giác ABCDEF có tất cả các góc bằng nhau, các cạnh đối không bằng nhau. Chứng minh rằng BC EF DE AB AF CD . Ngược lại nếu có 6 đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu trên bằng nhau và khác 0 thì chúng có thể lập được một lục giác có các góc bằng nhau. 10.14. Chứng minh rằng trong một lục giác bất kì, luôn tìm được một đỉnh sao cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh đó có thể lấy làm ba cạnh của một tam giác. 10.15. Cho lục giác ABCDEG có tất cả các cạnh bằng nhau Aµ Cµ Eµ Bµ Dµ Gµ . Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác song song với nhau.