Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chủ đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1. CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 1. Giá trị lượng giác của cung α . Ð Ð Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM : Hình 1.1 Gọi M x; y với tung độ của M là y OK , hoành độ là x OH thì ta có: sin OK cos OH sin cos tan ; cos 0 cot ; sin 0 cos sin Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Các hệ quả cần nắm vững 1. Các giá trị sin ; cos xác định với mọi ¡ . Và ta có: sin k2 sin ,k ¢ ; cos k2 cos ,k ¢ . 2. 1 sin 1; 1 cos 1 3. tan xác định với mọi k , k ¢ . 2 4. cot xác định với mọi k , k ¢ . Ð Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM trên đường tròn lượng giác (hình 1.2). Hình 1.2 1
2. Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + - - + sin + + - - tan + - + - cot + - + - Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác 2. Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau sin2 x cos2 x 1 sin x sin x 1 tan2 x 1 cos x cos x cos2 x 1 cot2 x 1 tan x tan x sin2 x Công thức cộng Cung bù nhau sin x y sin x cos y cos xsin y sin x sin x cos x y cos x cos y  sin xsin y cos x cos x tan x tan y tan x y tan x tan x 1 tan x tan y Công thức đặc biệt sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 Góc nhân đôi Góc chia đôi 1 sin 2x 2sin x cos x sin2 x 1 cos 2x 2 1 cos 2x 2cos2 x 1 1 2sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 cos 2x 2 2
3. Góc nhân ba Góc chia ba 1 sin 3x 3sin x 4sin3 x sin3 x 3sin x sin 3x 4 1 cos3x 4cos3 x 3cos x cos3 x 3cos x cos3x 4 3tan x tan3 x tan 3x 1 3tan2 x STUDY TIP Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức. Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích 1 x y x y cos x cos y cos x y cos x y cos x cos y 2cos cos 2 2 2 1 x y x y sin xsin y cos x y cos x y cos x cos y 2sin sin 2 2 2 1 x y x y sin x cos y sin x y sin x y sin x sin y 2sin cos 2 2 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 2 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (độ) 0 30 45 60 90 180 0 (radian) 6 4 3 2 sin 0 1 2 3 1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 2 2 tan 0 3 1 3 Không xác 0 định 3 STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: 30 45 60 90 sin 1 2 3 4 2 2 2 2 Các giá trị ở tử số tăng dần từ 0 đến 4 . Ngược lại đối với giá trị cos , tử số giảm dần từ 4 về 0 . BÀI:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 3
4. 1. Hàm số y sinx và hàm số y cosx . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sincủa góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y sinx . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cosin cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số cos , kí hiệu là y cosx . Tập xác định của các hàm số y sinx; y cosx là ¡ . a) Hàm số y sinx Nhận xét:Hàm số y sinx là hàm số lẻ do hà số có tập xác định D ¡ là đối xứng và sinx sin x . Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì 2 . Sự biến thiên: Sự biến thiên của hàm số y sinx trên đoạn ; được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y sinx trên đoạn ; như sau: 4
5. STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f x xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T 0 sao cho với mọi x x T D;x T D thuộc D ta có . f (x T) f x Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn. Đồ thị hàm số: Nhận xét:Do hàm số y sinx là hàm số lẻ trên ¡ và tuần hoàn với chu kì 2 nên khi vẽ đồ thị hàm số y sinx trên ¡ ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0; , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O, ta được đồ thị hàm số y sinx trên đoạn ; , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài 2 ;4 ,... STUDY TIP Hàm số y sinx đồng biến trên khoảng ; . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số 2 2 y sinx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k Z . 2 2 Tương tự ta suy ra được hàm số y sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 k2 ; k2 ,k Z. 2 2 GHI NHỚ Hàm số y sinx : - Có tập xác định là ¡ . 5
6. - Có tập giá trị là 1;1 . - Là hàm số lẻ. - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Có đồ thị là một đường hình sin. - Tuần hoàn với chu kì 2 . - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . 2 2 3 - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . 2 2 b) Hàm số y cosx Ta thấy cosx sin x nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái một đoạn có 2 độ dài , ta được đồ thị hàm số y cosx . 2 Bảng biến thiên của hàm số y cosx trên ; . Đồ thị hàm số y cosx : STUTY TIP Hàm số y cosx đồng biến trên khoảng ;0 . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số y cosx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . Tương tự ta suy ra được hàm số y cosx nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . GHI NHỚ Hàm số y cosx : - Có tập xác định là ¡ . - Là hàm số chẵn. -Là một đường hình sin. 6
7. - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . Đọc thêm 2 Hàm số y a.sin x b c, a,b,c, ¡ ,a 0 là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở  vì: a.sin  x T b c a.sin x b c,x ¡ a.sin x b T a.sin x b ,x ¡ 2 T k2 , k ¢ T k , k ¢ .  Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin. Tương tự hàm số y a.cos x b c, a,b,c, ¡ ,a 0 cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở 2 và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.  Ứng dụng thực tiễn:Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12. 2. Hàm số y tan x và hàm số y cot x trục côtang B S M T + x A' O A trục tang B' Hình 1.7  sin x Với D1 ¡ \ k k ¢  , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D1 với số thực tan x 2  cos x được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y tan x . Hàm số y tan x có tập xác định là D1 . cos x Với D2 ¡ \ k k ¢  , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D2 với số thực cot x được sin x gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y cot x . Hàm số y cot x có tập xác định là D2 . Nhận xét: - Hai hàm số y tan x và hàm số y cot x là hai hàm số lẻ. - Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì . a) Hàm số y tan x 7
8. t B H A' O A x K + M B' T Hình 1.8 Sự biến thiên: Khi cho x OA,OM tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn 2 2 lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B và B ). Khi đó điểm T thuộc trục tang sao cho AT tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ đến (qua giá trị 0 khi x 0). MH AT AT Giải thích: tan x AT vì tan x AT OH OA 1 Nhận xét: Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ . Đồ thị hàm 2 2 số y tan x nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. 2 Đồ thị hàm số:  Nhận xét:Do hàm số y tan x là hàm số lẻ trên ¡ \ k k ¢  và tuần hoàn với chu kì 2   nên khi vẽ đồ thị hàm số y tan x trên ¡ \ k k ¢  ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên 2  0; , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta được đồ thị hàm số y tan x trên 2 0; , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành. 2 Hình 1.9 8
9. STUDY TIP Hàm số y tan x nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận 2 GHI NHỚ Hàm số y tan x :  - Có tập xác định D1 ¡ \ k k ¢  - Là hàm số lẻ 2  - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là ¡ - Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ 2 2 - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận 2 b) Hàm số y cot x Hàm số y cot x có tập xác định D2 ¡ \ k k ¢  là một hàm số tuần hoàn với chu ki . Tương tự khảo sát như đối với hàm số y tan x ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số y cot x như sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y cot x : - Có tập xác định: D2 ¡ \ k k ¢  - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là ¡ - Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1:Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách 1 Cách 2 Tìm tập D của x để f x có nghĩa, tức là Tìm tập E của x để f x không có nghĩa, tìm D x ¡ f x ¡  . khi đó tập xác định của hàm số là D ¡ \ E . CHÚ Ý A. Với hàm số f x cho bởi biểu thức đại số thì ta có: 9
10. f1 x 1. f x , điều kiện: * f1 x có nghĩa f2 x * f2 x có nghĩa và f2 x 0 . 2m 2. f x f1 x , m ¥ , điều kiện: f1 x có nghĩa và f1 x 0 . f1 x 3. f x , m ¥ , điều kiện: f1 x , f2 x có nghĩa và f2 x 0. 2m f2 x B. Hàm số y sin x; y cos x xác định trên ¡ , như vậy y sin u x ; y cos u x xác định khi và chỉ khi u x xác định. * y tan u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x k ;k ¢ . 2 * y cot u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x k ;k ¢ . STUDY TIP Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau: 1. Hàm số y sin x và y cos x xác định trên ¡ .  2. Hàm số y tan x xác định trên ¡ \ k k ¢ . 2  3. Hàm số y cot x xác định trên ¡ \ k k ¢ . 1 Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y là: 2cos x 1 5   A. D ¡ \ k2 , k2 k ¢  .B. D ¡ \ k2 k ¢ . 3 3  3  5  5  C. D k2 , k2 k ¢  . D. D ¡ \ k2 k ¢  . 3 3  3  Chọn A. Lời giải cos x cos x k2 3 3 Cách 1:Hàm số đã cho xác định khi 2cos x 1 0 ,k ¢ . 5 5 cos x cos x k2 3 3 1 5 Cách 2:Sử dụng máy tínhcầm tay tính giá trị của hàm số y tại x và x ta 2cos x 1 3 3 thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A. STUDY TIP Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số 0;2 tồn tại hai góc có số đo là 3 5 5 1 và cùng thỏa mãn cos cos chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy. 3 3 3 2 Cách bấm như sau: 1 Nhập vào màn hình : 2cos X 1 10