Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

1. chương 3 dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân A. Kiến thức cần nhớ I. Phương pháp quy nạp toán học Việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh f(n) có tính chất K với n N ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1:(Bước cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất K. Bước 2:(Bước quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tính chất K. Bước 3: Kết luận. II. Dãy số 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số). Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, un 2. Cách cho một dãy số Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách: Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un. Thí dụ 1: Dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1. Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được 3, 5, 7, 2n + 1 Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là: ▪ Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu). ▪ Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. Thí dụ 2: Dãy số (vn) xác định bởi: v1 v 2 1 . v n v n 2 v n 1, với n 3 Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được: v1 = 1, v2 = 1, v3 = 2, v4 = 3, v5 = 5 Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó. Thí dụ 3: Cho dãy số (un) với un là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số , khi đó ta có dãy số: u1 = 3, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 1, u5 = 5 Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng un qua n. 1
2. 3. dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 2: * a. Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu n N , un < un+1. * b. Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu n N , un > un+1. 4. dãy số bị chặn Định nghĩa 3: * a. Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu M R : un M, n N . * b. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu m R : un m, n N . c. Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: * m, M R : m un M, n N . III. Cấp số cộng a. định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi: u1 u * un 1 un d, n N (u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng. ▪ u là số hạng đầu tiên. ▪ d là công sai. Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. 5. các tính chất Định lí 1: Ba số un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) nếu: 1 un + 1 = (un + un + 2). 2 Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức: un = u1 + (n 1)d. Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn) của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức: n n Sn = u1 + u2 + un = (u1 + un) = [2u1 + (n 1)d]. 2 2 IV. Cấp số nhân 2
3. 1. định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi: u1 u * un 1 un .q, n N (u, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân. ▪ u là số hạng đầu tiên. ▪ q là công bội. Đặc biệt khi q = 1 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. 2. các tính chất Định lí 1: Ba số un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (un) nếu: 2 un 1 = un.un + 2. Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân (un) được cho bởi công thức: n 1 un = u1.q . Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên Sn của cấp số nhân (un) được cho bởi công thức: qn 1 Sn = u1 + u2+ + un = u1. . q 1 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Phương pháp quy nạp toán học Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: n(3n 1) a. 2 + 5 + 8 + ... + (3n – 1) = . 2 (1) b. 13n 1 chia hết cho 12.  Giải a. Kí hiệu điều cần chứng minh là (*), ta giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. ▪ Với n = 1, ta có 13 + 11 = 12  6. Như vậy, (*) đúng với n = 1. ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là (k3 + 11k)  6. Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 Vì (k3 + 11k)  6, 3k(k + 1)  6 và 12  6 nên biểu thức trên chia hết cho 6. Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n. 3
4. b. Ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 1, ta có: 1(3.1 1) 2 = = 2, đúng. 2 Như vậy (1) đúng với n = 1. ▪ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: k(3k 1) 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) = . 2 ▪ Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: k(3k 1) 2 + 5 + 8 + ... + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1] = + (3k + 2) 2 3k2 k 6k 4 3k2 7k 4 (k 1)(3k 4) = = = 2 2 2 (k 1)[3(k 1) 1] = , đpcm. 2 Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đề. Trong thực tế, ta còn gặp các bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n ≥ p, trong đó p là một số nguyên dương cho trước. Trong trường hợp này, để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp toán học, ở bước 1 ta cần chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi n = p và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hoặc bằng p. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 3n > 3n + 1.  Giải Kí hiệu điều cần chứng minh là (1), ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 2, ta có: 32 > 3.2 + 1 9 > 7, đúng. Như vậy (1) đúng với n = 2. ▪ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: 3k > 3k + 1. ▪ Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: 3k + 1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + 1. Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n ≥ 2. 4
5. 1 1 1 * Ví dụ 2: Cho tổng Sn = + ... với n Ơ . 1.2 2.3 n(n 1) a. Tính S1 , S2 , S3. b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.  Giải a. Ta lần lượt có: 1 1 1 S1 = = 1 = 1 , 1.2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 S2 = + = 1 + = = 1 , 1.2 2.3 2 2 3 3 2 1 3 1 S3 = = 1 . 4 3 1 b. Dự đoán công thức tính tổng Sn là: 1 Sn = 1 . (*) n 1 Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp. như sau: ▪ Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a). ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: 1 Sk = 1 . k 1 ▪ Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: 1 1 1 Sk + 1 = Sk + = 1 + (k 1)(k 2) k 1 (k 1)(k 2) 1 k 2 1 = 1 + = 1 , đpcm. (k 1)(k 2) (k 1) 1 Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một công việc rất hay gặp khi thực hiện các bài toán về dãy số, đó là "Đoán nhận công thức tổng quát của dãy số và chứng minh công thức đó". 2 3 n 1 n 1 Thí dụ 2. Chứng minh rằng (1 22 )(1 22 )(1 22 ) ... (1 22 ) .22 3  Giải Đặt: 2 22 23 2n Fn = (1 2 )(1 2 )(1 2 ) ... (1 2 ) Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng: 1 n 1 F (22 1) . (*) n 3 5
6. Thật vậy: ▪ Với n = 1 thì: 1 1 2 F 1 22 5 (22 1) nên công thức đúng. 1 3 ▪ Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: 1 k 1 F (22 1) . k 3 ▪ Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, ta có: k 1 k 1 1 k 1 1 k 2 F (1 22 )F (1 22 ). (22 1) (22 1) . k 1 k 3 3 Vậy, công thức (*) đúng với mọi n N*. Từ đó, suy ra ta cần chứng minh: 1 n 1 1 n 1 (22 1) .22 , điều này luôn đúng. 3 3  Nhận xét: 1. Lời giải trên được xây dựng dựa trên việc dự đoán được đẳng thức cho Fn và chứng minh đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học theo 3 bước n = 1, n = k và n = k + 1. 2. Các em học sinh khác, sau khi tham khảo lời giải trên có thể thấy ngay rằng nếu không dự đoán được công thức cho Fn thì cũng có thể chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp một cách trực tiếp. Thí dụ 3. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên n > 1 thì: anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) 0.  Giải Chúng ta chứng minh bất đẳng thức ở đầu bài bằng phương pháp quy nạp toán học. ▪ Với n = 2, đặt: 2x = b + c – a > 0; 2y = a – b + c > 0; 2z = a + b – c > 0. suy ra: a = y + z, b = z + x, c = x + y Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: xy3 + yz3 + zx3 – xyz(x + y + z) 0. x2 y2 z2 xyz (x y z) 0 (*) y z x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có: x2 x2 y + 2 y = 2x. y y 6
7. z2 y2 Tương tự x + 2z và z + 2y. x z Từ đó bất đẳng thức (*) được chứng minh, hay bất đẳng thức: anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) 0 được chứng minh. ▪ Giả sử bất đẳng thức đúng tới n. Không mất tính tổng quát, ta giả sử c b a. Theo giả thiết quy nạp, ta có: bnc(b – c) – anb(a – b) – cna(c – a) bn + 1c(b – c) – anb2(a – b) – cnab(c – a) Do đó: an + 1b(a – b) + bn + 1c(b – c) + cn + 1a(c – a) an + 1b(a – b) – anb2(a – b) – cnab(c – a) + cn + 1a(c – a) = anb(a – b)2 + cna(c – a)(c – b) 0. Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1. Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đã cho đúng với mọi n > 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c hay ABC đều. Đ2. Dãy số Dạng toán 1: Mở đầu về dãy số Phương pháp áp dụng Với giả thiết cho dãy số (un) dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường được đặt ra là: a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk. Câu hỏi này được thực hiện bằng phép thế. b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn n. ( 1)n 1 Thí dụ 1. Cho dãy số (un) với un = . n a. Tìm u9, u12, u2n, u2n + 1. b. Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?  Giải a. Ta có: ( 1)9 1 ( 1)12 1 1 u9 = = 0; u12 = = 9 12 6 ( 1)2n 1 1 ( 1)2n 1 1 u2n = = ; u2n + 1 = = 0. 2n n 2n 1 b. Từ kết quả câu a) ta thấy ngay mọi số hạng lẻ của dãy số đều nhận giá trị bằng 0. 7
8. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 15, u2 9 . un un 2 un 1, n 3 a. Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số. b. Tìm xem 3 là số hạng thứ mấy của dãy số ?  Giải a. Ta lần lượt có: u1 = 15; u2 = 9; u3 = 6; u4 = 15; u5 = 9; u6 = 6. b. Dễ thấy mọi số hạng của dãy số đều không nhận giá trị bằng 3. Dạng toán 2: Xác định công thức của dãy số (un) Phương pháp áp dụng Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un. Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước: Bước 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un. Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp. Thí dụ 1. Cho dãy số (un), biết: u1 = 1 , un + 1 = un + 3 với n ≥ 1. a. Viết năm số hạng đầu của dãy số. b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp un = 3n – 4. (*)  Giải a. Ta lần lượt có: u1 = 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11. b. Ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a). ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = 3k 4. ▪ Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: uk + 1 = uk + 3 = 3k 4 + 3 = 3(k + 1) 4, đpcm. Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Như vậy, ở thí dụ trên chúng ta không cần thực hiện việc dự đoán công thức cho un. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 1 . un un 1 2, n 2 8
9. Xác định công thức tính un theo n.  Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Từ giả thiết ta có: u1 = 1 u2 = u1 + 2 u3 = u2 + 2 un = un 1 + 2 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: un = 1 + 2(n 1) = 2n 1. Vậy, ta có un = 2n 1. Cách 2: Ta có: u1 = 1 = 2.1 1 u2 = 1 + 2 = 3 = 2.2 1 u3 = 3 + 2 = 5 = 2.3 1 Dự đoán un = 2n 1. (1) Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: u1 = 2.1 1 = 1, tức là công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k, tức là uk = 2k 1. Ta đi chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. Thật vậy: uk + 1 = uk + 2 = 2k 1 + 2 = 2(k + 1) 1, tức là (1) đúng với n = k + 1. Vậy, ta có un = 2n 1. 1 * Thí dụ 3. Cho dãy số (un) với u n = với mọi n N và dãy số (S n) xác n(n 1) định như sau: S1 u1 . Sn Sn 1 un , n 2 Xác định công thức tính Sn theo n.  Giải Ta có ngay: Sn = u1 + u2 + + un. 1 1 1 Mặt khác, ta có biểu diễn un = = . n(n 1) n n 1 Từ đó, ta nhận được: 9
10. 1 1 1 1 1 u1 = 1 , u2 = , , un = . 2 2 3 n n 1 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: 1 n Sn = u1 + u2 + + un = 1 = . n 1 n 1 n Vậy, ta có Sn = . n 1 Dạng toán 3: Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số (un) thoả mãn tính chất K Phương pháp áp dụng Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1:(Bước cơ sở): Chứng minh rằng số hạng u 1 thoả mãn tính chất K. Bước 2:(Bước quy nạp): Giả sử số hạng u k thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng uk+1 cũng thoả mãn tính chất K. Bước 3: Kết luận dãy số (un) thoả mãn tính chất K. 3 Thí dụ 1. Cho dãy số (un) với u n = n + 11n. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6.  Giải Ta có: 3 u1 = 1 + 11 = 12 u1  6. 3 Giả sử uk  6, tức là (k + 11k)  6. Ta đi chứng minh uk + 1  6. Thật vậy: 3 3 2 uk + 1 = (k + 1) + 11(k + 1) = k + 3k + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 3 suy ra uk + 1  6 bởi (k + 11k)  6, 3k(k + 1)  6 và 12  6. Vậy, mọi số hạng của dãy số (un) đều chia hết cho 6. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 1, u2 2 . un un 2 2un 1, n 3 n 5 * Chứng minh rằng un , n N . 2  Giải Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: 3 5 ▪ Ta có u3 = 5 đúng với n = 1, 2, 3. 2 ▪ Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: 10