Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

1. chương 4 giới hạn A. Kiến thức cần nhớ I. Dãy số có giới hạn 0 1. định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = 0, viết tắt là lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc un 0. n Nhận xét: 1. Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số (un) có giới hạn 0. 2. Dãy số không đổi (un) với un = 0 có giới hạn 0. 2. một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp Từ định nghĩa, ta có các kết quả: 1 1 1 a. lim = 0. b. lim = 0. c. lim = 0. n n 3 n Định lí 1: Cho hai dãy số (un) và (vn). Nếu un vn với mọi n và limvn = 0 thì limun = 0. Định lí 2: Nếu q < 1 thì limqn = 0. II. Dãy số có giới hạn hữu hạn 3. định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(u n L) = 0. n Khi đó, ta viết: lim(u n ) = L, viết tắt là lim(un) = L hoặc limun = L hoặc un L. n 4. một số định lí Định lí 1: Giả sử limun = L. Khi đó: 3 3 a. limun = L và lim u n = L . b. Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim u n = L . 1
2. Định lí 2: Giả sử limun = L, limvn = M và c là một hằng số. Khi đó: a. Các dãy số (un + vn), (un vn), (un.vn) và (cun) có giới hạn và: ▪ lim(un + vn) = L + M. ▪ lim(un vn) = L M. ▪ lim(un.vn) = LM. ▪ lim(cun) = cL. u n u n L b. Nếu M 0 thì dãy số có giới hạn và lim = . v n v n M 5. tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Với cấp số nhân (un) có công bội q thoả mãn q < 1 thì: u1 S = u1 + u2 + = . 1 q III. Dãy số có giới hạn vô cực 1. dãy số cới giới hạn + Định nghĩa: Ta nói dãy số (u n) có giới hạn là + nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = + , viết tắt là lim(un) = + hoặc limun = + hoặc un + . n Từ định nghĩa, ta có các kết quả: a. lim n = + . b. lim n = + . c. lim 3 n = + . 2. dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (u n) có giới hạn là nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = , viết tắt là lim(un) = hoặc limun = hoặc un . n Nhận xét: Nếu limun = thì lim( un) = + .  Chú ý: 1. Các dãy số có giới hạn + và được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. 2. Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 2
3. 3. một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu limun = và limvn = thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau: limun limvn lim(un.vn) + + + + + + Quy tắc 2: Nếu limun = và limvn = L 0 thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau: limun Dấu của L lim(un.vn) + + + + + + u n Quy tắc 3: Nếu limun = L 0, limvn = 0 và vn 0 với mọi n thì lim được cho trong v n bảng sau: u n Dấu của L Dấu của vn lim v n + + + + + + 4. Một số kết quả q n n a. lim = + và lim = 0, với q > 1. n q n q n n k Mở rộng: Ta có lim = + và lim , với q > 1 và k là một số nguyên n k q n dương. b. Cho hai dãy số (un) và (vn). ▪ Nếu un vn với mọi n và lim un = + thì lim vn = + . u n ▪ Nếu lim un = L R và limvn = + thì lim = 0. v n ▪ Nếu lim un = + (hoặc ) và lim vn = L R thì lim (un + vn) = + (hoặc ). 3
4. IV. Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số 1. giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1 (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x0. x x0 Từ định nghĩa, ta có các kết quả: 1. lim c = c, với c là hằng số. x x0 2. Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì lim f(x) = f(x0). x x0 Định nghĩa 2 (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x 0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn vô cực khi x dần đến x 0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta đều có limf(xn) = . Khi đó, ta viết: lim f(x) = hoặc f(x) khi x x0. x x0 2. giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; + ). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến + nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (a; + ) mà lim xn = + ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x0. x  Chú ý: Các giới hạn lim f(x) = L, lim f(x) = , lim f(x) = được định x x x nghĩa tương tự. Ta có, các kết quả sau với số nguyên dương k bất kì cho trước: 1 3. lim x k = + . 1. lim = 0. x x x k nếu k chẵn 1 4. lim x k = . 2. lim = 0. x nếu k lẻ x x k 4
5. 3. một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M (L, M R). Khi đó: x x0 x x0 a. lim [f(x) g(x)] = L M; x x0 b. lim [f(x).g(x)] = L.M; x x0 Đặc biệt, nếu c là hằng số thì lim [c.f(x)] = cL; x x0 f(x) L c. Nếu M 0 thì lim = . x x0 g(x) M Định lí 2: Giả sử lim f(x) = L R. Khi đó: x x0 a. lim f(x) = L; x x0 b. lim 3 f(x) = 3 L ; x x0 c. Nếu f(x) 0 với thì L 0 và lim f(x) = L . x x0 Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là ba hàm số xác định trên một khoảng (a; b) chứa điểm x0, có thể trừ ở một điểm x0. Nếu f(x) g(x) h(x) với mọi x (a; b)\{x0} và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L. x x0 x x0 x x0  Chú ý: Các định lí 1, định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x x0 bởi x . V. Giới hạn một bên Định nghĩa 1 (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (x 0; b) (x0 R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x 0 . x x 0 Định nghĩa 2 (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a; x 0) (x0 R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x 0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x 0 . x x 0 5
6. Định lí: Điều kiện cần và đủ để lim f(x) = L là lim f(x) = lim f(x) = L. x x x x x x 0 0 0  Chú ý: 1. Các giới hạn lim f(x) = , lim f(x) = được định nghĩa tương tự. x x x x 0 0 2. Định lí vẫn đúng với giới hạn vô cực. VI. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu lim f(x) = và lim g(x) = L 0 thì lim [f(x).g(x)] được cho x x 0 x x 0 x x 0 trong bảng sau: lim f(x) lim [f(x).g(x)] x x 0 Dấu của L x x 0 + + + + + + Quy tắc 2: Nếu lim f(x) = L 0, lim g(x) = 0 và g(x) 0 với mọi x x 0 thì x x 0 x x 0 f(x) lim được cho trong bảng sau: x x 0 g(x) f(x) Dấu của L Dấu của g(x) lim x x 0 g(x) + + + + + +  Chú ý: 1 1. Nếu lim f(x) = 0 và f(x) 0 với x x0 thì lim = + . x x 0 x x 0 | f(x) | 1 2. Nếu lim f(x) = + thì lim = 0. x x 0 x x 0 | f(x) | VII. Các dạng vô định Khi tìm giới hạn của một hàm số, chúng ta có thể gặp các trường hợp sau: u(x) 1. lim với u(x) 0 và v(x) 0. v(x) u(x) 2. lim với u(x) và v(x) . v(x) 3. lim[u(x) v(x)] với u(x) và v(x) . 6
7. 4. lim[u(x).v(x)] với u(x) 0 và v(x) . 0 Ta gọi là các dạng vô định dạng , , , 0. , 0 VIII. Hàm số liên tục 1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 (a, b) nếu : lim f(x) = f(x0). x x0 Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Chú ý 1: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu ba điều kiện sau được đồng thời thoả mãn : (i) f(x) xác định tại x0. (ii) lim f(x) tồn tại. x x0 (iii) lim f(x) = f(x0) x x0 Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu một trong ba điều kiện trên không được thoả mãn.  Chú ý 2: Nếu sử dụng giới hạn một phía thì : 1. Nếu lim f(x) tồn tại và lim f(x) = f(x0) thì hàm số y = f(x) được x x0 x x0 gọi là liên tục trái tại điểm x0. 2. Nếu lim f(x) tồn tại và lim f(x) = f(x0) thì hàm số y = f(x) được x x0 x x0 gọi là liên tục phải tại điểm x0. 3. Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 lim f(x) = lim f(x) = f(x0). x x0 x x0 Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b). Giả sử xO và x(x xO) là hai phần tử của (a ; b). ▪ Hiệu x xO, kí hiệu là x (đọc là đen - ta x), được gọi là số gia của đối số tại điểm xO. Ta có : x = x xO x = xO + x. ▪ Hiệu y yO = f(x) f(xO), kí hiệu là y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm xO. Ta có : y = y yO f(x) f(xO) = f(xO + x) f(xO). 7
8. Đặc trưng : Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm xO như sau: Định lí 1. Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục tại xO (a; b) nếu và chỉ nếu lim y = 0. x 0 Chứng minh. Thật vậy, ta có : lim f(x) = f(xO) lim (f(x) f(xO)) = 0 lim y = 0. x x0 x x0 x 0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa 2: Ta có : 1. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó. 2. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó ▪ Liên tục trong khoảng (a; b), ▪ lim f(x) = f(a) (liên tục bên phải tại điểm a), x a ▪ lim f(x) = f(b) (liên tục bên trái tại điểm b). x b  Chú ý: 1. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. 2. Khi ta nói hàm số y = f(x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 3. Các định lí về hàm số liên tục Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Định lí 3. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. giới hạn Dãy số Dạng toán 1: Dãy số có giới hạn 0 Thí dụ 1. Chứng minh rằng các dãy số (uu) sau đây có giới hạn 0: 1 sin n a. un = . b. un = . n 1 n 4 8
9.  Giải a. Ta có: 1 1 1 < và lim = 0, n 1 n n từ đó, suy ra điều cần chứng minh. b. Ta có: sin n 1 1 1 < < và lim = 0, n 4 n 4 n n từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử 1 1 dụng phép đánh giá để khẳng định un < và kết quả lim = 0. n n Thí dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (uu) với số hạng tổng quát un = n 1 n có giới hạn 0.  Giải Ta có: n 1 n 1 1 1 n 1 n = = < < n 1 n n 1 n 2 n n 1 và lim = 0, n từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã 1 1 sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < và lim = 0. n n cos(n ) Thí dụ 3. Chứng minh rằng dãy số (uu) với số hạng tổng quát un = có giới 4 n hạn 0.  Giải Ta có: n n cos(n ) 1 1 1   < = và lim = 0, 4 n 4 n 4 4 từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử n n dụng phép đánh giá để khẳng định un < q và limq = 0 với q < 1. 9
10. Dạng toán 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L Phương pháp áp dụng Ta đi chứng minh lim(un L) = 0. Thí dụ 1. Chứng minh rằng: 3n 1 3 n2 n a. lim = . b. lim = 1. 2n 1 2 n2 1  Giải 3n 1 a. Đặt un = , ta có nhận xét: 2n 1 3 3n 1 3 5 lim (un ) = lim( ) = lim = 0, 2 2n 1 2 2n 1 3 từ đó suy ra limun = . 2 n2 n b. Đặt un = , ta có nhận xét: n2 1 n2 n n 1 lim ( 1) = lim = 0, n2 1 n2 1 từ đó suy ra limun = 1. Thí dụ 2. Chứng minh rằng: ( 1)n lim 2 = 2. 3 n  Giải ( 1)n Đặt un = 2 , ta có nhận xét: 3 n ( 1)n lim (un 2) = lim = 0, 3 n từ đó suy ra limun = 2. Dạng toán 3: Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn Phương pháp áp dụng Đưa dãy số cần tìm giới hạn về dạng tổng hiệu, tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới hạn. Ta có các kết quả sau: 1. limc = c, với c là hằng số. 2. Kết quả trong định lí 1. 3. Kết quả trong định lí 2. 10