Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm

1. chương 5 đạo hàm A. Kiến thức cần nhớ I. Khái niệm đạo hàm 1. Mở đầu Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật ... đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng: f(x) f(x ) lim 0 x x 0 x x0 trong đó f(x) là một hàm số đã cho của đối số x. Qua Đại số và Giải tích 11, ta đã biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số: ▪ Số gia đối số là x x x0. ▪ Số gia tương ứng của hàm số là y f(x) f(x0). Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó để viết các giới hạn trên: f(x) f(x ) y lim 0 = lim . x x x 0 0 x x0 x 2. định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f(x), xác định trên (a, b) và x0 (a, b). Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 được kí hiệu là y'(x0) hoặc f '(x0): f(x) f(x0 ) f '(x0) = lim x x 0 x x0 y hoặc y'(x0) = lim . x 0 x 3. đạo hàm một bên a. Đạo hàm bên trái của hàm số y f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f '( x0 ), được định nghĩa là: y f(x) f(x ) f '( x ) lim lim 0 0 x 0 x x x0 x x0 trong đó x x0 được hiểu là x x0 và nhỏ hơn x0. 1
2. b. Đạo hàm bên phải của hàm số y f(x) tại điểm x 0, kí hiệu là f '( x0 ), được định nghĩa là: y f(x) f(x ) f '( x ) lim lim 0 0 x 0 x x x0 x x0 trong đó x x0 được hiểu là x x0 và lớn hơn x0. Định lí: Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f '( x0 ) và f '( x0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có: f '(x0) f '( x0 ) f '( x0 ). 4. đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa: a. Hàm số y f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. b. Hàm số y f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn a, b nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b. Quy ước: Từ nay khi ta nói hàm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho. 5. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí: Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.  Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Để minh hoạ ta xét hàm số : y f(x) x tại điểm x0 0, ta có : f(0) 0 và lim f(x) lim x 0. x 0 x 0 Vậy, hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 0. Mặt khác, ta có : y | x | 1 khi x 0 y f(0 + x) f(0)  x . x x 1 khi x 0 Do đó y y y lim 1 và lim 1 lim không tồn tại x 0 x x 0 x x 0 x hàm số y x không có đạo hàm tại x0 0. 2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. 2
3. 6. ý nghĩa của đạo hàm 6.1.ý nghĩa hình học a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M0M là một cát tuyến của (C). (C) Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M có vị trí giới 0 M hạn M 0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp T tuyến của đường cong (C) tại điểm M 0. Điểm M0 M0 được gọi là tiếp điểm. Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. b.ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x0 (a, b), gọi (C) là đồ thị hàm số đó. y (C) f(x0 + x) M y T M0 f(x0) x O x0 x0 + x x Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0, f(x0)). c. Phương trình của tiếp tuyến: Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0, f(x0)) là: y y0 f'(x0)(x x0) 6.2.ý nghĩa vật lí a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0. v(t0) = s'(t0) = f'(t0). b.Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t0. I(t0) = Q'(t0) = f'(t0). 3
4. II. Các quy tắc tính đạo hàm bảng tóm tắt (u + v w)' = u' + v' w' (ku)' = ku', k là hằng số (u.v)' = u'v + u.v'. ' ' u u'v uv' 1 v' = ; = . v v2 v v2 y'x = y'u.u'x. Bảng các đạo hàm Đạo hàm của các hàm số sơ Đạo hàm của các hàm số hợp cấp cơ bản (u = u(x)) (x )' . x 1 (u )' .u'.u 1 ' ' 1 1 1 u' x x2 u u2 1 u' ( x )' ( u )' 2 x 2 u (C)' 0 (C là hằng số) (ku)' k.u' (sinx)' cosx (sinu)' u'.cosu (cosx)' sinx (cosu)' u'.sinu 1 u' (tanx)' 1 + tan2x (tanu)' u'.(1 + tan2u) cos2 x cos2 u 1 u' (cotx)' (1+cot2x) (cotu)' u'(1 + cot2u) sin2 x sin2 u 1 u' (lnx)' (lnu)' x u 1 u' (logax)' (logau)' xlna u lna (ex)' ex (eu)' u'.eu (ax)' ax.lna (au)' u'.au.lna x 1 sin x 1 lim = 1. lim 1 = e; lim(1 x) x = e. x 0 x x x x 0 4
5. IV. Vi phân 1. định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x (a, b). Cho số gia x tại x sao cho x + x (a, b). Ta gọi tích f '(x) x (hoặc y' x) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x và ký hiệu là dy hoặc df(x). Như vậy, ta có : dy = y' x, (1) hoặc df(x) = f'(x) x. (1') áp dụng định nghĩa trên và hàm số y = x, ta được: dx = (x)' x = 1. x = x. (2) Vậy, ta có: dy = y'dx (3) hoặc df(x) = f'(x)dx. (3') 2. ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng Theo định nghĩa đạo hàm ta có: y f '(x0) = lim . x 0 x Do đó, với  x đủ nhỏ thì : y f '(x0) y f '(x0) x f(x0 + x) f(x0) f '(x0) x x f(x0 + x) f(x0) + f '(x0) x Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất. V. đạo hàm cấp cao 1. định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x). Đạo hàm của hàm số f '(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f ''(x). Tương tự, đạo hàm của hàm số f ''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f '''(x). Đạo hàm của hàm số f '''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x), kí hiệu là y'''' hay f(4)(x)... Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n 1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n) (x). Vậy, ta có: f(n)(x) = [ f(n -1)(x)]', với n Z, n 2. 5
6. 2. ý nghĩa cƠ học của đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s = f(t) tại t. (t) = f "(t). B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Đạo hàm Dạng toán 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 1 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: y = f(x). Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f(x) f(x0 ) f '(xO) = lim . x x 0 x x0 2 Thí dụ 1. Tìm số gia của hàm số y = x 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia x, biết: a. x = 1. b. x = 0,1.  Giải Ta có: y f(x0 + x) f(x0). a. Với x0 = 1; x = 1 thì: f(x0) = f(1) = 0, f(x0 + x) = f(1 + 1) = f(2) = 3, từ đó suy ra: y f(x0 + x) f(x0) = 3 0 = 3. b. Với x0 = 1; x = 0,1 thì: 2 y f(x0 + x) f(x0) = f(1 0,1) f(1) = 0,9 1 = 0,19. Thí dụ 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số tại điểm x0 a. y = 2x + 1 tại x0 = 2. 2 b. y = x + x tại x0 = 1.  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f(x) f(2) 2x 1 5 y'(2) lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 6
7. Cách 2: Ta lần lượt có: y f(x0 + x) f(x0) f(2 + x) f(2) = [2(2 + x) + 1] 5 = 2 x, y y'(2) lim lim (2 x) . x 0 x x 0 b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f(x) f(1) x2 x 2 y'(1) lim lim lim(x 2) = 3. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Cách 2: Ta lần lượt có: 2 y f(x0 + x) f(x0) f(1 + x) f(1) = [(1 + x) + (1 + x)] 2 = ( x)2 + 3 x, y y'(1) lim lim ( x + 3) 3. x 0 x x 0  Nhận xét: Như vậy, việc tìm đạo hàm bằng định nghĩa liên quan mật thiết với bài toán tính giới hạn của hàm số. Do đo, các em học sinh cần ôn lại các phướng pháp tính giới hạn cùng với các dạng giới hạn cơ bản. Thí dụ 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: x 1 a. y = tại điểm x0 = 0. b. y 2x 7 tại điểm x0 1. x 1  Giải a. Ta có: x 1 1 f(x) f(0) 2 y'(0) lim lim x 1 lim = 2. x 0 x 0 x 0 x x 0 x 1 b. Ta có: f(x) f(1) 2x 7 3 2x 7 9 y'(1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)( 2x 7 3) 2 1 lim . x 1 2x 7 3 3 Dạng toán 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 2 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: f1(x) khi x x0 f(x) = . f2 (x) khi x x0 7
8. Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f(x) f(x0 ) f1(x) f2 (x0 ) f '(xO) = lim lim . x x x x 0 x x0 0 x x0 Thí dụ 1. Cho hàm số: sin2 x khi x 0 f(x) = x tại x0 = 0. 0 khi x 0 a. Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x 0. b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x 0.  Giải a. Nhận xét hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0, bởi: sin2 x sin x lim f(x) = lim = lim ( .sinx) = 0 = f(0). x 0 x 0 x x 0 x b. Ta có: f (x) f (0) sin2 x f'(0) = lim = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x2 Thí dụ 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: 1 x2 cos khi x 0 f(x) x tại điểm x0 0. 0 khi x 0  Giải Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 0. Ta có: f(x) f(0) 1 f '(0) lim lim x. cos . x 0 x 0 x 0 x Ta có: ▪ Với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: 1 1 x.cos  x x x.cos x. x x ▪ Mặt khác lim ( x) lim x 0. x 0 x 0 Suy ra: 1 lim x. cos 0 f '(0) 0. x 0 x 8
9. Dạng toán 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 3 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: f1(x) khi x x0 f(x) = . f2 (x) khi x x0 Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0. Bước 2:(Đạo hàm bên trái) Tính: f(x) f(x ) f '( x ) = lim 0 . 0 x x0 x x0 Bước 3:(Đạo hàm bên phải) Tính: f(x) f(x ) f '( x ) = lim 0 . 0 x x0 x x0 Bước 4: Đánh giá hoặc giải f'( x0 ) = f'( x0 ), từ đó đưa ra lời kết luận. Thí dụ 1. Chứng minh rằng hàm số: 2 (x 1) nếu x 0 f(x) = 2 x nếu x 0 không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.  Giải a. Tại điểm x = 0, ta thấy: lim f(x) = lim (x 1)2 = 1, lim f(x) = lim ( x2) = 0, x 0 x 0 x 0 x 0 suy ra: lim f(x) lim f(x) Hàm số gián đoạn tại x = 0 x 0 x 0 Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. b. Tại điểm x = 2, ta có: f(x) f(2) (x 1)2 1 x(x 2) lim lim lim lim x = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 tức là f'(2) = 2. x Thí dụ 2. (Đề 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) = 1 | x | tại điểm x0 = 0.  Giải 9
10. Viết lại hàm số dưới dạng: x khi x 0 1 x f(x) = . x khi x 0 1 x Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0. Ta có: ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. x f (x) f (0) 1 f'(0 ) = lim = lim 1 x = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x ▪ Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. x f (x) f (0) 1 f'(0 + ) = lim = lim 1 x = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x Nhận xét rằng f'(0 ) = f'(0 + ) = 1. Vậy, hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 và f'(0) = 1.  Chú ý: Chúng ta có thể tính một cách trực tiếp, như sau: x f (x) f (0) 1 | x | 1 f'(0) = lim = lim = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 | x | x2 2 | x 3| Thí dụ 3. (ĐHHH 1997): Chứng minh rằng hàm số y = liên tục 3x 1 tại x = 3 những không có đạo hàm tại điểm ấy.  Giải Viết lại hàm số dưới dạng: x2 2x 6 1 khi 3 x 3x 1 3 f(x) = . x2 2x 6 khi x 3 3x 1 x2 2 | x 3| 9 Ta có: lim f (x) = lim = = f( 3) x 3 x 3 3x 1 10 Do đó hàm số liên tục tại x = 3. Mặt khác: ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 3. f (x) f ( 3) 13 f'( 3 ) = lim = . x 3 x 3 100 10