Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 8 - Chuyên để: Đa thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 8 - Chuyên để: Đa thức

1. CHUYÊN ĐỂ : ĐA THỨC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A. Các kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) và g(x) là các đa thức và bậc của f(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g(x). Khi đó luôn tồn tại duy nhất các đa thức q(x) và r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) . q(x) + r(x) Trong đó: Bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x) Nếu r(x)  0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất x – a f(x) = (x-a) . q(x) + r . Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x – a là một số bằng f(a) - Nếu f(a) = 0 hay x = a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a f (x)(x a) f (a) 0 Ví dụ: Không đặt tính chia, hãy xét xem đa thức A = x3 – 9x2 + 6x + 16 có chia hết cho x + 1; x – 3 hay không? Lời giải: Ta có: f(-1) = 0 suy ra A chia hết cho B f(3) = -20 ≠ 0 nên A không chia hết cho C - Chú ý: +) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 +) Nếu f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1 +) an – bn chia hết cho a – b (a -b) +) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) +) an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 .... abn 2 bn 1) +) an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 .... abn 2 bn 1) 1
2. B. Bài tập và các dạng toán Dạng 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức ( Xét các đa thức một biến ) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia f (x)g(x) Nếu f (x) g(x).h(x) f (x)h(x) Bài 1: Chứng minh rằng a. f (x) 8x9 9x8 1g(x) (x 1)2 b. f (x) x99 x98 ... x 1; g(x) x4 x3 x2 x 1 c. f (x) x8n x4n 1; g(x) x2n xn 1 d. f (x) x100 x20 1; g(x) x40 x20 1 e. f (x) x10 10x 9; g(x) (x 1)2 Lời giải: a. f (x) 8x9 9x8 1 8x9 8 9x8 9 8(x9 1) 9(x8 1) 8(x 1)(x8 x7 ... 1) 9(x 1)(x7 x6 x5 ... 1) (x 1)(8x8 x7 ..... x 1) Cách 1: Ta có 8x8 x7 ..... x 1 có tổng các hệ số = 0 (x 1) f (x)(x 1)2 Cách 2: (x 1)(8x8 x7 ..... x 1) (x 1)(8x8 8x7 7x7 7x6 ..... x 1) (x 1)2 (8x7 7x6 ... 2x 1)(x 1)2 b. f (x) x99 x98 ... x 1 (x99 ... x95 ) ...(x4 x3 ... x 1) (x4 ... 1)(x95 x90 ... x5 1)g(x) Cách 2: Ta có (x 1). f (x) x100 1 [(x5 )20 1](x5 1) (x 1).g(x) f (x)g(x) c. Ta có f (x) x8n x4n 1 (x4n )2 2.x4n 1 x4n (x4n 1)2 (x2n )2 (x4n x2n 1)(x4n x2n 1) Lại có: x4n x2n 1 (x2n xn 1)(x2n xn 1) f (x)g(x) d. Đặt t x20 f (t) t5 t 1; g(t) t 2 t 1 Ta có: f (t) t5 t 2 t 2 t 1 t 2 (t3 1) (t 2 t 1) (t 2 t 1)(t3 t 2 1) f (x)g(x) f (x) (x10 1) (10x 10) (x 1)(x9 x8 ... x 1 10) (x 1)[(x9 1) ... (x 1)] e. =(x-1)2 (x8 2x7 ... 8x 9) f (x)g(x) Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia 2
3. g(x)q(x) Nếu f(x) = g(x) + h(x) + k(x), mà h(x)q(x) f (x)q(x) k(x)q(x) Bài 2: Chứng minh rằng a. f (x) x50 x10 1g(x) x20 x10 1 b. f (x) x199 x27 x2 g(x) x2 x 1 c. f (x) x99 x88 .. x11 1; g(x) x9 x8 ... x 1 d. f (x) x3m 1 x3m 2 1; g(x) x2 x 1n N e. f (x) x6m 4 x6n 2 1; g(x) x2 x 1m.n N Lời giải: a. f (x) x50 x10 1 (x50 x20 ) (x20 x10 1) Lại có: x50 x20 x20 (x30 1) x20[(x10 )3 1] x20 (x10 1)(x20 x10 1) f (x)g(x) b. f (x) x199 x27 x2 x199 x x27 1 x2 x 1 x199 x x27 1 (x2 x 1) x(x1998 1) (x27 1) g(x) x[(x999 )2 1] (x3 )9 1 g(x) x(x999 1)(x999 1) (x3 )9 1 g(x) f (x)g(x)   x999 1 x3 1 x3 1 c. Ta có: (x 1).g(x) x10 1 f (x) x99 x88 .. x11 1 (x99 x9 ) (x88 8) ...(x11 x) x9 x8 ... x 1 x9 (x90 1) x8 (x80 1) ... x(x10 1) g(x) x9[(x10 )9 1] x8[(x10 )8 1] ... x(x10 1) g(x) f (x)g(x)    x10 1 x10 1 x10 1 d. Ta có f (x) x3m 1 x3m 2 1 (x3m 1 x) (x3m 2 x2 ) (x2 x 1) x3m 1 x x(x3m 1) x[(x3 )m 1]x3 1 (x 1)(x2 x 1) x3m 2 x2 x2 (x3m 1) x2[(x3 )m 1]x3 1 (x 1)(x2 x 1) f (x)g(x) f (x) x6m 4 x6n 2 1 x6m 4 x4 x6n 2 x2 x4 x2 1 x4 [(x6 )m 1] x2 [(x6 )n 1] (x4 x2 1) e.   x6 1 x6 1 x6 1 (x3 )2 1 (x3 1)(x3 1); x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1) f (x)g(x)   x2 x 1 x2 x 1 Cách 3: Sử dụng các phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh f(x) chia hết cho g(x) ta đi chứng minh 3
4. f (x) g(x)g(x) f (x)g(x) f (x) g(x)g(x) Bài 3: Chứng minh rằng f (x) x99 x88 ... x11 1g(x) x9 x8 ... x 1 Lời giải: f (x) g(x) x99 (x90 1) x8 (x80 1) ... x(x10 1) Ta có:    x10 1 x10 1 x10 1 Mà x10 1 (x 1)(x9 x8 x7 ... x 1) f (x) g(x)g(x) Lại có: g(x)g(x) f (x)g(x) Cách 4: Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia - Cách này áp dụng với những bài toán mà đa thức chia dễ tìm được nghiệm Bài 4: Chứng minh rằng a. [f (x) (x2 x 1)10 (x2 x 1)10 2]g(x) x2 x b. f (x) (x 1)2n x2n 2x 1; g(x) x(x 1)(2x 1)n N c. f (x) (x 2)2n (x 3)2n 1g(x) x2 5x 6n N * d. f (x) x2 x9 x1945 g(x) x2 x 1 Lời giải: 2 x 0 a. g(x) 0 x x 0 , Vậy g(x) có hai nghiệm là x = 0 ; x = 2 x 2 f (1) 0; f (0) 0 f (x)(x 1); f (x)x , mà x và x -1 không chứa nhân tử chung. Vậy .... 1 1 b. g(x) 0 x 0; 1; ; f (0) 0; f ( 1) 0; f ( ) 0 f (x)g(x) 2  2 c. g(x) 0 x 2;3; f (2) f (3) 0 f (x)g(x) d. Ta có: f (x) x2 x9 x1945 x2 x 1 (x9 1) (x1945 x) x2 x 1x2 x 1(1); x9 1 [(x3 )3 1](x3 1)x2 x 1(2); x1945 x x(x1944 1)x3 1(conghiemx 1)(3) Từ (1)(2)(3) ta có f(x) chia hết cho g(x). 4
5. CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A. Tìm dư của phép chia đa thức mà không thực hiện phép chia 1. Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia và còn dư Bài 1: Tìm dư trong phép chia 7 5 3 2 27 9 3 2 a. f (x) x x x 1; g(x) x 1 b. f (x) x x x x; g(x) x 1 c. f (x) x41; g(x) x2 1 d. f (x) x43; g(x) x2 1 100 99 2 100 90 10 2 e. f (x) x x ... x 1; g(x) x x 1 f. f (x) x x ... x 1; g(x) x x 1 g. f (x) x100 x99 ... x 1; g(x) (x 1)(x2 1) h. f (x) x10 x9 ... x 1; g(x) x2 x 1 Lời giải: a. f (x) (x7 x5 ) (2x5 2x3 ) (3x3 3x) (3x 1) x5 (x2 1) 2x3 (x2 1) 3x(x2 1) 3x 1 Vậy đa thức dư là: 3x + 1 b. f (x) (x27 x) (x9 x) (x3 x) 4x x[(x2 )13 1] x[(x2 )4 1] x(x2 1) 4x , dư là : 4x f (x) x41 (x41 x) x x[(x4 )10 1] x c.  , Vậy dư là : x x4 1 x2 1 f (x) x43 (x43 x) x x[(x2 )21 1] x d.  , Vậy dư là : -x x2 1 f (x) x100 x99 ... x 1 (x100 x99 x98 ) ...(x 1) (x2 x 1)(x98 x95 ... x2 ) x 1 e.  du (x2 x 1) f. f (x) x100 x90 ... x10 1 (x100 x) (x90 1) (x80 x2 ) (x70 x) (x60 1) (x50 x2 ) (x40 x) (x30 1) 20 2 10 2 3 33 6 15 2 6 13 3 33 2 (x x ) (x x) 3x 4x 4 x[(x ) 1] [(x ) 1] x [(x ) 1] x[(x ) 1] .... 3(x x 1) x 1 du g. g(x) có 101 số hạng, nhóm 4 số hạng 1 nhóm, dư là : 1 f (x) x10 x9 ... x 1 (x10 x) (x9 1) (x8 x2 ) (x7 x) (x6 1) (x5 x2 ) (x4 x) (x3 1) h. x 1 du 2 Bài 2: Tìm số dư trong phép chia f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008;g(x)=x 10 21 2 2 Lời giải: f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008 (x 10 16)(x 10x 24) 2008 5
6. 2 2 Đặt t x 10x 21(t 3;t 7) P(t) t 2t 1 993 du 2. Cách 2: Xét giá trị riêng ( phép chia ảo ) Bài 3: Tìm số dư của f(x) cho g(x), biết rằng a. f (x) x7 x5 x3 1; g(x) x2 1 b. f (x) x10 x 8 ...x 1; g(x) x2 x 2 c. f (x) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 1999; g(x) x2 8x 12 Lời giải: a. Gọi thương phép chia là q(x) và dư là: ax + b , ta có” x7 x5 x3 1 (x2 1).q(x) ax+bx Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta chọn x = 1 và x = -1, được: x 1 4 a b a 3 du :3x 1 x 1 2 a b b 1 b. Ta có : g(x) x2 x 2 (x 1)(x 2) Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được: f (x) (x 1)(x 2).q(x) ax+b x 1 1 a b a 682 Cho du : 682x 683 x 2 2047 2a b b 683 c. Cách 1: f (x) (x 1)(x 7)(x 3)(x 5) 1999 x4 16x3 86x2 176x 2014 (x 2)(x 6).q(x) ax+b x 2 1984 b 2a a 0 Cho du :1984 x 6 1984 b 6a b 1984 2 2 Cách 2: Đặt t x 8x 7 f (t) t(t 8) 1999 (t 8t 15) 1984 (t 3)(t 5) 1 984 du Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết rằng : a. f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, chia cho x – 2 thì dư 5, chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư. b. f(x) chia cho x – 2 thì dư 5, chia cho x – 3 thì dư 7, chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là x2 - 1 và còn dư. c. f(x) chia cho x + 3 thì dư -5, chia cho x – 2 thì dư 5, chia cho x2 + x - 6 thì được thương là x2 + 2 và còn dư. 6
7. Lời giải: a. f (x) (x 3).g(x) 7(1); f (x) (x 2).h(x) 5(2); f (x) (x 2)(x 3) ax+b(3) (2) f (2) 5 Cho x = 2 2a b 5(*) (3) f (2) 2a b (2) f (3) 7 Cho x = 2 3a b 7(**).Tu : (*)(**) a 2;b 1 f (x) ... (3) f (3) 3a b b. f (x) x4 5x3 5x2 5x 6 c. f (x) (x2 x 6)(x2 2) ax+b=(x+3)(x-2)(x2 2) ax+b Cho x = 2, 3 f (2) 2a b 5; f ( 3) 3a b 5 a 2;b 1 f (x) x4 x3 4x2 4x 11 Bài 5: Giả sử đa thức f(x) chia x – 2 dư 11, chia x2 – x + 1 dư 3x + 2. Tìm phần dư khi chi f(x) cho g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 Lời giải: g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 = ( x – 2 )( x2 – x + 1); Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta được: f (x) (x 2)(x2 x 1) ax2 bx c f (x) (x 2).h(x) 11 . Cho x = 2 f (2) 4a 2b c 11(1) f (x) (x 2)(x2 x 1) a(x2 x 1) (a b)x c a (x 2 a)(x2 x 1) (a b)x c a  du 3x 2 Mặt khác: c a 2(2) 2 .Tu(1)(2)(3) (a;b;c) (1;2;3) du : x 2x 3 a b 3(3) Bài 6: Giả sử f(x) chia cho x + 2 dư 4 và chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm phần dư trong phép chia f(x) cho ( x + 2 )( x2 + 1). Lời giải: f (x) (x 2)(x2 1) ax2 bx c +) f ( 2) 4 4a 2b c 4(1) 2 2 b 2(2) 2 +) f (x) (x 2)(x 1) a(x 1) bx c a (a,b,c) (1,2,4) du : x 2x 4 du c a 3(3) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh rằng 7
8. 4n 2 2n 1 2 4n 2 4n 2 2 a. x 2.x 1(x 1) n N b. (x 1) (x 1) x 1n N Bài 2: Chứng minh đa thức a. f (x) x95 x94 ...x2 x 1g(x) x31 x30 ... x2 x 1 b. f (x) x124 x123 .... x2 x 1g(x) x24 x23 ... x2 x 1 Bài 3: Chứng minh rằng f (x) x19 x18 ... x 1g(x) (x 1)(x2 1) Bài 4: Chứng minh rằng f (x) x24 x18 x12 x6 1g(x) x4 x3 x2 x 1 Lời giải: Bài 1: x4n 2 2.x2n 1 1 (x2n 1 1)2 Lại có: x2n 1 1(x 1) (x2n 1 1)2 (x 1)2 Bài 2: Ta có (x 1). f (x) x96 1 [(x32 )3 1](x32 1) (x 1).g(x) f (x)q(x) Bài 3: f (x) (x19 ...x16 ) ...(x3 ... 1) (x3 ... 1)(x16 x12 x8 x4 1)(x 1)(x2 1) Bài 4: f (x) x4 (x20 1) x3 (x15 1) x2 (x10 1) x(x5 1) g(x) x4 ([(x5 )4 1] x3[(x5 )3 1] x2[(x5 )2 1] x(x5 1) g(x)     x5 1 x5 1 x5 1 x5 1 Bài 5: Chứng minh rằng f (x) x80 x70 1g(x) x20 x10 1 Lời giải: Đặt t x10 f (t) t8 t 7 1; g(t) t 2 t 1 f (t) (t8 t 2 ) (t 7 t) t 2 t 1 t 2[(t3 )2 1] t[(t3 )2 1] (t 2 t 1)t 2 t 1 Bài 6: Tìm số a để đa thức f (x) x10 ax2 3x 2x 2 Lời giải: Ta có f (x)x 2 f ( 2) 0 1024 4a 6 2 0 a 255. 8
9. CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG ĐỂ TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC A. Kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) và g(x) là các đa thức và bậc của f(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g(x). Khi đó luôn tồn tại duy nhất các đa thức q(x) và r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) . q(x) + r(x) Trong đó: Bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x) Nếu r(x)  0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất x – a f(x) = (x-a) . q(x) + r . Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x – a là một số bằng f(a) - Nếu f(a) = 0 hay x = a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a f (x)(x a) f (a) 0 Bài 1: Xác định các hằng số a, b, c sao cho a. f (x) ax3 bx2 5x 50g(x) (x 5)(x 2) b. f (x) x4 ax2 bx c chia cho x – 2 thì dư 9, chia cho x2 – 1 thì dư 2x - 1 c. f (x) 2x4 3x3 +5x2 ax bg(x) x2 2x 3 d. f (x) ax3 bx2 c(x 2) và chia x2 – 1 dư x + 5. 3 2 2 e. f (x) x ax bx c chia hết cho x – 2 và chia x – a dư 2x Lời giải: a. Gọi q(x) là thương của phép chia f(x) cho g(x) Ta có: ax3 bx2 5x 50 (x 5)(x 2).q(x) Xét các giá trị riêng x = -5 ; x = 2 , ta được: 9
10. x 5 12a 25b 75 a 1 x 2 8a 4b 40 b 8 b. f (x) (x2 1).q(x) 2x 1 x 1 a b c 0(1) Cho x 1 a b c 4(2) Mặt khác: f(x) chia cho x - 2 dư 9 f (2) 9 4a 2b c 7(3) Từ (1)(2)(3) (a,b,c) ( 3,2,1) c. f (x) (x 1)(x 2).q(x) a 1;b 3 d. Ta có f (x) (x 2).p(x) f ( 2) 0 8a 4b c 0(1) f (1) a b c 6(2) f (x) (x 1)(x 1).q(x) x 5 .(1)(2)(3) (a,b,c) (1,1,4) f ( 1) a b c 4(3) 10 10 e. (a,b,c) ( ;1; ) 3 3 Bài 2: Đa thức P(x) có bậc 4, có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0, P(3) = 0; P(5) = 0. Tính Q = P(-2) + 7.P(6) Lờ giải: Ta có P(x) chia hết cho x – 1: x – 3 ; x – 5 và bậc của P(x) là 4 nên P(x) có dạng: P(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x a) P( 2) 7 p(6) ( 3)( 5)( 7)( 2 a) 7.5.3.1(a 6) 105(a 2) 105(a 6) 840 Bài 3: [GVG Tỉnh – Bắc Ninh : 09/12/2016 ] Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – 2 dư 5, f(x) chia cho x – 3 dư 7, chia cho (9x-2)(x-3) được thương là x2 – 1 và đa thức dư bậc nhất đối với x. Lời giải: Gọi dư trong phép chia f(x) cho (x-2)(x-3) là ax + b Ta có: f (x) (x 2)(x 3)(x2 1) ax+b f (2) 5 2a b 5 a 2 Theo bài ra ta có: f (3) 7 3a b 7 b 1 Bài 4: Tìm f(x), biết f(x) chia cho x – 1 và x – 3 đều dư 2 và f(x) chia cho x2 – 4x + 3 được thương là x + 1 và còn dư. 10