Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

1. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP BIẾN HÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm M của mặt phẳngxác định được mộtđiểm duy nhất M thuộc mặt phẳng đó . 2. Kí hiệu và thuật ngữ: Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình F : F : P P M M F M - Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F , hay M là điểm tạo ảnh của điểm M . - Nếu  là một hình nào đó thì H ( gồm các điểm M là ảnh của M  ) được gọi là anh của  qua phép biến hình F . - Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 3. Tích của hai phép biến hình Cho hai phép biến hình F và G . Gọi M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. M là ảnh của M qua F , M là ảnh của M qua G . Ta nói, M là ảnh của M trong tích của hai phép biến hình F và G . Ký hiệu G.F M G F M 1
2. PHÉP TỊNH TIẾN A. Lý thuyết 1. Định nghĩa  Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . • Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu là: T , v được gọi là vectơ tịnh tiến.  v Ta có: • Tv (M ) M MM v • Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.  v 2. Tính chất:   Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N thành hai điểm M , N thì M N MN , từ đó suy ra M N MN .  v  v  v Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. STUDY TIP Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. 3. Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v a;b , M x; y . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ x ' x a v :T (M ) M' x '; y ' có biểu thức tọa độ: v y ' y b B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN 2
3. DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến. Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến. Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến. Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ... Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây là sai? A.T (A) B AB u B.T (A) B u AB   C. C.  T0 (B) B T2 AB (M ) N AB 2MN Lời giải: Đáp án D   Ta có  . Vậy D sai. T2 AB (M ) N MN 2AB STUDY TIP  Định nghĩa phép tịnh tiến: Tv M M MM v . Ví dụ 2: Giả sử T (M ) M ';T (N) N '. Mệnh đề nào sau đây sai?  v  v   A. M ' N ' MN .B. MM ' NN ' C. MM ' NN '. D. MNM ' N ' là hình bình hành. Lời giải: Đáp án D Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng. MNM ' N ' không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai. Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d2 A. Không.B. Một.C. Hai.D. Vô số. Đáp án A Lời giải: Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không có phép tịnh tiến nào biến d1 thành d2 . Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, DC . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC     A. AM .B. IN .C. AC . D. MN . Lời giải: Đáp án D   Ta có  MN AI IC TMN ( AMI) INC 3
4. Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây là sai?     A. TAB (D) C .B. TCD (B) A .C. TAI (I) C .D. TID (I) B . Lời giải: Đáp án D   Ta có  . Vậy D sai TID (I) I ' II ' ID I '  D Ví dụ 6: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D), hình nào có phép tịnh tiến? A. B. C. D. Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định. Ví dụ 7: Cho đường tròn C có tâm O và đường kính AB . Gọi là tiếp tuyến của C tại điểm A  .Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến thành: A. Đường kính của đường tròn C song song với . B. Tiếp tuyến của C tại điểm B . C. Tiếp tuyến của C song song với AB . D. Đường thẳng song song với và đi qua O Lời giải: Đáp án B.  Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên TAB // , là tiếp tuyến của đường tròn C tại điểm B . Ví dụ 8: Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn O, R và A thay đổi trên đường tròn đó, BD là đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm H của ABC là: A.Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC của ABC . B. Cung tròn của đường tròn đường kính BC . R O, R  C. Đường tròn tâm O bán kính là ảnh của qua THA . R O, R  D. Đường tròn tâm O ' , bán kính là ảnh của qua TDC . 4
5. Lời giải: Đáp án D. Kẻ đường kính BD ADCH là hình bình hành(Vì AD//CH và AH //DC cùng vuông góc với một đường thẳng)  . AH DC TDC A H H R O, R  Vậy thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính là ảnh của qua TDC . Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn C . Khi đó quỹ tích trung điểm M của cạnh DC : C C  A. là đường tròn là ảnh của qua TKI , K là trung điểm của BC . C C  AB B. là đường tròn là ảnh của qua TKI , K là trung điểm của . C. là đường thẳng BD . D. là đường tròn tâm I bán kính ID . Lời giải: Đáp án B. Gọi K là trung điểm của AB K cố định.   Ta có TKI I M M C TKI C . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp 1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến - Sử dụng biểu thức tọa độ. 2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ v . Cách 1. Chọn hai điểm A, B phân biệt trên , xác định ảnh A , B tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh A , B . Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó. Cách 3. Sử dụng quỹ tích. Với mọi M x; y , Tv M M x ; y thì M . 5
6. x x a x x a Từ biểu thức tọa độ ta được thế x, y và phương trình ta được phương trình . y y b y y b 3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol ) - Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M x; y thuộc hình , Tv M M x ; y thì M thuộc ảnh ’ của hình . - Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích. Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 3; 3 . Tìm tọa độ diểm A là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véctơ v 1;3 . A. A 2; 6 .B. A 2;0 .C. A 4;0 .D. A 2;0 . Lời giải: Đáp án B.  xA xA xv xA 2 Ta có Tv A A xA yA AA v A 2;0 . yA yA yv yA 0 STUDY TIP x x a Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: y y b Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 4;2 , biết M là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v 1; 5 . Tìm tọa độ điểm M . A. M 3;5 .B. M 3;7 .C. M 5;7 .D. M 5; 3 . Lời giải: Đáp án C.  Ta có: Tv M M xM ; yM MM v xv xM xM xM xM xv xM 5 M 5;7 . yv yM yM yM yM yv yM 7 Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 5;2 và điểm M 3;2 là ảnh cảu M qua phép tịnh tiến theo véctơ v . Tìm tọa độ véctơ v . A. v 2;0 .B. v 0;2 .C. v 1;0 .D. v 2;0 . Lời giải: Đáp án D.  xv xM xM xv 2 Ta có: Tv M M xM ; yM MM v v 2;0 . yv yM yM yv 0 Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M 0;2 , N 2;1 và véctơ v 1;2 . Ơ. Phép tịnh tiến theo véctơ v biến M , N thành hai điểm M , N tương ứng. Tính độ dài M N . A. M N 5 .B. M N 7 .C. M N 1. D. M N 3 . Lời giải: Đáp án A. Tv M M 2 2 Ta có MN M N 2 0 1 2 5 . Tv N N STUDY TIP 6
7. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC biết A 2;4 , B 5;1 , C 1; 2 . Phép tịnh tiến  theo véctơ BC biến ABC thành A B C tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G của A B C là: A.G 4; 2 .B. G 4;2 .C. G 4; 2 .D. G 4;4 . Lời giải: Đáp án A.  Ta có tọa độ trọng tâm ABC là G 2;1 ; BC 6; 3 .   x x x G G BC xG 4  T G G xG ; yG GG BC G 4; 2 . BC y y y y 2 G G BC G STUDY TIP Phép tịnh tiến biến trọng tâm G của ABC thành trọng tâm G của A B C Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng là ảnh của đường thẳng : x 2y 1 0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v 1; 1 . A. : x 2y 0 .B. : x 2y 3 0 .C. : x 2y 1 0 . D. : x 2y 2 0. Lời giải: Đáp án A. Cách 1: Chọn A 1;0 Tv A A 2; 1 . Chọn B 1;1 Tv B B 0;0 . đường thẳng chính là đường thẳng A B . Đường thẳng qua A 2; 1 và có một véctơ pháp tuyến n 1;2 có phương trình là: :1 x 2 2 y 1 0 x 2y 0 . STUDY TIP Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương. Cách 2. Tv , là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng x 2y m 0 . Chọn A 1;0 Tv A A 2; 1 m 0 . Vậy phương trình : x 2y 0 . Cách 3: Sử dụng quỹ tích Lấy M xM ; yM xM 2yM 1 0 1 . x xM 1 xM x 1 Ta có Tv M M x ; y y yM 1 yM y 1 Thay vào 1 ta được x 1 2 y 1 1 0 x 2y 0 . Vậy : x 2y 0 . Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn C là ảnh cảu đường tròn 2 2 C : x y 2x 4y 1 0 qua Tv với v 1;2 . A. x 2 2 y2 6 .B. x 2 2 y2 6 . C. x2 y2 2x 5 0 . D. 2x2 2y2 8x 4 0 . 7
8. Lời giải: Đáp án B. Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Ta có: đường tròn C có tâm I 1; 2 , bán kính R 6 . Suy ra: Tv I I 2;0 . Vậy đường tròn C có tâm I 2;0 , bán kính R R 6 có phương trình: x 2 2 y2 6 . Cách 2: Sử dụng quỹ tích: Gọi M x; y C Tv M M x ; y x x 1 x x 1 y y 2 y y 2 Thế x, y vào phương trình đường tròn C , ta có: x 1 2 y 2 2 2 x 1 4 y 2 1 0 x 2 y 2 4x 2 0 Vậy C : x 2 2 y2 6. Study Tip Phương trình đường tròn x a 2 y b 2 R2 có tâm I a;b bán kính R. Phương trình đường tròn x2 y2 2ax 2by c 0 có tâm I a;b bán kính R a2 b2 c. Ví dụ 8. Cho vectơ v a;b sao cho khi tịnh tiến đồ thị y f x x3 3x 1 theo vectơ v ta nhận được đồ thị hàm số y g x x3 3x2 6x 1. Tính P a b . A. P 3.B. P 1. C. P 2 .D. P 3 . Lời giải: Đáp án A. Từ giả thiết ta có: g x f x a b x3 3x2 6x 1 x a 3 3 x a 1 b x3 3x2 6x 1 x3 3ax2 3 a2 1 x a3 3a 1 b a 1 Đồng nhất thức ta được: P a b 3 . b 2 Study Tip Đồng nhất thức của 2 đa thức các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau. Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 5;2 , C 1;0 . Biết B T A , C T B . u v Tìm tọa độ của vectơ u v để có thể thực hiện phép tịnh tiến Tu v biến điểm A thành điểm C. A. 6;2 .B. 2; 4 . C. 4; 2 . D. 4;2 . Lời giải: Đáp án C.  Ta có: T A B AB u u  T B C BC v v    Mà AC AB BC u v  Do đó: . Tu v A C AC u v 4; 2 Study Tip Ta có sơ đồ tổng quát: 8
9. T T u v A B C T u+v Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm A 2;1 , điểm B thuộc đường thẳng : 2x y 5 0 . Tìm quỹ tích đỉnh C ? A. Là đường thẳng có phương trình 2x y 10 0 . B. Là đường thẳng có phương trình x 2y 7 0 . C. Là đường thẳng có phương trình 2x y 7 0 . D. Là đường tròn có phương trình x2 y2 2x y 0 . Đáp án A. Lời giải:  Vì OABC hình bình hành nên TAO B C Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng ' song song với . Ta tìm được phương trình ': 2x y 10 0 . Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :3x y 9 0 . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ v có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua A 1;1 A. v 0;5 .B. v 1; 5 . C. v 2; 3 . D. v 0; 5 . Đáp án D. Lời giải: Véc tơ v có giá song song với Oy v 0;k ,k 0 x ' x Gọi M x; y d Tv M M ' x '; y' y ' y k Thế vào phương trình d d ':3x ' y´ k 9 0 mà d ' đi qua A 1;1 nên k 5. Ví dụ 12. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độOxy , chohai đường thẳng d : 2x 3y 3 0 và d': 2x 3y 5 0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d và Tv biến đường thẳng d thành d '. 6 4 1 2 16 24 16 24 A. v ; .B. v ; .C. v ; .D. v ; . 13 13 13 13 13 13 13 13 Đáp án D. Lời giải: x x ' a Gọi v a;b , ta có Tv M M ' x '; y' d ' y y ' b Thế vào phương trình đường thẳng d : 2x ' 3y ' 2a 3b 3 0 Từ giả thiết suy ra 2a 3b 3 5 2a 3b 8 1 Véc tơ chỉ phương của d là u 3; 2 . Do u  v u.v 0 3a 2b 0 2 16 24 Giải hệ 1 và 2 ta được a ;b . 13 13 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 9
10. DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Câu 1: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. Câu 2: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. Câu 3: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. Câu 4: Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây? A. Khoảng cách giữa hai điểm. B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng. C. Tọa độ của điểm. D. Diện tích. Câu 5: Với hai điểm A, B phân biệt và Tv A A , Tv B B với v 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?       A. A B v .B. A B AB . C. AB v . D. A B AB 0 . Câu 6: Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ 1 2 v 0 biến d1 thành d2 ? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số.   Câu 7: Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến TAB AD biến điểm A thành điểm nào? A. A đối xứng với A qua C . B. A đối xứng với D qua C . C. O là giao điểm của AC qua BD . D. C .  Câu 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G , TAG G M . Mệnh đề nào là đúng? A. M là trung điểm BC . B. M trùng với A . C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM . D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM .  Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB . A. AOB .B. BOC . C. CDO . D. DEO . Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây sai?     A.TDC A B .B. TCD B A . C.TDI I B .D. TIA I C . Câu 11: Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, DC . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến AMI thành MDN ?     A. AM .B. NI .C. AC . D. MN . Câu 12: Cho hình bình hành ABCD . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường thẳng CD và biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC ? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. Câu 13: Cho đường tròn O và hai điểm A, B . Một điểm M thay đổi trên đường tròn O . Tìm quỹ    tích điểm M sao cho MM MA MB .     A. O TAB O . B. O TAM O . C. O TBA O . D. O TBM O . Câu 14: Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a , B· AD 75 và ·ADC 45 .Tính độ dài AD . A. a 2 5 . B. a 3 . C. a 2 3 . D. a 5 . Câu 15: Cho tứ giác ABCD có AB 6 3, CD 12 , µA 60, Bµ 150, Dµ 90 . Tính độ dài BC . A. 4. B. 5 . C. 6. D. 2. AC BD Câu 16: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho . Tìm quỹ tích đỉnh C . AD AB A. Đường tròn tâm A , bán kính là AB 3 .B. Đường tròn tâm A , bán kính là AC . 10