Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12: Hình học tổng hợp

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12: Hình học tổng hợp

1. HH8-Chuyên đề 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP Qua Các Đề Thi HSG Môn Toán Lớp 8 A.Bài toán Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông b) Chứng minh DF  CE và MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a. Bài 2:Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : AD2 AM 2 AN 2 Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình bình hành AEPF. Chứng minh rằng PBC là tam giác đều Bài 4: Cho tam giác ABC có BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm. a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC b) Gọi CD là đường phân giác của ACH.Chứng minh BCD cân c) Chứng minh: BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2 Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H. a) Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ? Bài 6:Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. a) Tính diện tích tứ giác AMND. b) Phân giác góc CDM cắt BC tại E. Chứng minh DM AM CE Bài 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD,CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng: a) HD.HB HE.HC
2. b) HDE : HCB c) BH.BD CH.CE BC 2 Bài 8:Cho tam giác ABC.Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh ABvà BC cắt BC tại E và ABtại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất Bài 9:Cho tam giác ABC.Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,CAsao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB CK Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, sao cho M khác A và C. Trên cạnh ABlấy điểm Esao cho AE CM a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC.Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua Avà song song với ME,cắt tia BM tại N. Chứng minh : CN  AC c) Gọi H là giao điểm của OM và AN. Chứng minh rằng tích AH.AN không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC. Bài 11:Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H HD HE HF a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh : BH.BE CH.CF BC 2 c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF d) Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M , N tùy ý sao cho HM CN.Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB2 4.AC.BD b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại I. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH. Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: BD.DC DH.DA HD HE HF b) Chứng minh rằng: 1. AD BE CF c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
3. d) Gọi M , N,P,Q,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF,FD,DE.Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại Acó AB AC b;BC a.Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.Chứng minh rằng: 1 1 b . b a a b 2 Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF / / AB a) AB2 EF.CD b) Gọi S1,S2 ,S3 và S 4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB,OCD,OADvà OBC . Chứng minh S1.S2 S3.S4 Bài 16: Cho tam giác ABC (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ? b) Cho AH 10cm,BK 12cm.Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c) Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ? Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 18: Hình vuông ABCD có E và F thuộc tia đối CB và DC sao cho DF BE.Từ Ekẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác AFIE là hình gì ? Bài 19: 19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh: a) Tứ giác EGFK là hình thoi.
4. b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC. 19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của góc A là AD = d. 1 1 2 Chứng minh rằng: . b c d Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K a) Chứng minh : BM vuông góc với AN b) Chứng minh : ME.NK MI.NE c) Biết diện tích của tam giác ABC là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S. Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 200.Trên AB lấy điểm D sao cho AD BC.Tính số đo B· DC ? Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có BC a không đổi. Gọi I là trung điểm của BC.Lấy P AB và Q AC sao cho P· IQ ·ABC . Vẽ IK  AC K AC a) Chứng minh rằng tích BP.CQ không đổi. b) Chứng minh rằng PI là tia phân giác của góc B· PQ , QI là tia phân giác của P· QC c) Gọi chu vi tam giác APQ là b, chứng minh rằng b 2.AK . Tính b theo a khi B· AC 600 Bài 23: a) Cho tam giác ABC , gọi M, N lần lượt là trung diểm của BC, AC.Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số GH :GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a,CD a.Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc ·ABC 600.Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH 3 a) Chứng minh rằng : BG.DH BC 2 4 b) Tính số đo góc GOH
5. Bài 25: Cho tam giác ABC , ba điểm M,N,Plần lượt thuộc các cạnh BC,CA, ABsao cho BM CN AP BM 1 & .Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng BC CA AB BC 2 Bài 26: Tứ giác ABCD có Bµ Dµ 1800 và CB CD.Chứng minh AC là tia phân giác của góc A. Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó. Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 29: Cho tam giác ABC,đường trung tuyến AM.Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng ABvà AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE DF 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 2 Ký hiệu S X là diện tích của hình X.Chứng minh SFDC 16SAMC .SFNA Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 ; AA' BB ' CC ' AA' BB ' CC ' b) Chứng minh: 9 ; HA' HB ' HC ' Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD .
6. a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK. Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy 1 hai điểm E và F.Chứng minh rằng S S .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì S đạt giá DEF 2 ABC DEF trị lớn nhất? Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F. a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a) Chứng minh DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, µA 900 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC 2 c) ·ADE 450 Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC ; c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE B· AC B· DC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: B· KC 2
7. Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr: MA MB MA MB a) ; b) ND NC NC ND c) MA MB, NC ND Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10. Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và 2 DF ; OA = 4OE; OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành. 3 Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường IA KB thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . ID KC Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr: AH AK a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. AB AC b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC. Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC. a 3 Chứng minh rằng: MA MB MC 2 Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr: a) Tứ giác ANFM là hình vuông; b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và ·ACF 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD. Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng : AE = AB ; b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính ·AHM .
8. Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng: AM = AN. Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Cmr: a) AH =AK ; b) AH 2 BH.CK Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC. Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ. Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE . Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P. Cmr: a) MP / / AB . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR: a) AE 2 EK.EG ; 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi.
9. Bài 62: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I a) Chứng minh: tam giác ADI cân. b) Chứng minh: AD.BD BI.DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF. 2 Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB CD . Gọi E,F theo thứ tự là trung 3 điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S. Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho CN =2 1 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr: S S APQ 2 AMN Bài 66: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi S1,S2 theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB. 1 1 Cmr: không đổi. S1 S2 Bài 67: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC. Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK// AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF. Bài 69: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho AH = HK. Vẽ KE  BC E AC . a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính B· HM . GB AH b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: . BC HK HC Bài 70: Cho tam giác ABC, µA 900 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của ·ACB . Bài 71: a) Cho tam giác ABC có µA 1200 , AB 3cm, AC 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD. 1 1 1 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính B· AC . AD AB AC Bài 72: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.
10. Bài 73: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh: a) AMFN là hình vuông; b) CF vuông góc với CA. Bài 74: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi. Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD  BC D BC , OE  CA E CA ,OF  AB F AB . Tìm vị trí của điểm O để tổng OD2 OE 2 OF 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 76: Cho hình thang vuông ABCD có µA Dµ 900 , AB 7cm, DC 13cm, BC 10cm . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN. Bài 77: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE FD EA cắt AD tại F. Chứng minh: FA EC Bài 78: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N. a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm. b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: BI.IC AI.IE và CE CF Bài 79: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL. b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân. Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD. Bài 81: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM. Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.