Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai, bậc ba, bậc bốn Phương pháp giải chung Dùng máy tính nhẩm nghiệm hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x=1 Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x=-1 1 số HĐT đáng nhớ: 1, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 2, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 3, a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 4, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 5, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 6, 2 a2 b2 a b 2 a b 2 7, a b 2 a b 2 4ab 8, a4 b4 a b a b a b 2 2ab 2 9, a4 b4 a b 2 2ab 2 ab 2 . 10, a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca . 11, a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2 . 12, a4 a2 1 a2 a 1 a2 a 1 . Dạng 1.1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai Cách 1:Tách hạng tử bậc nhất bx Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b Tách bx = a1x + c1x Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Cách 2:Tách hạng tử bậc ax2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 b2 a b a b Cách 3:Tách hạng tử tự do c Ta tách c thành c1 và c2để dùng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng 2 thức bằng cách c1 nhóm với ax còn c2 nhóm với bx. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 3x2 8x 4 HD: Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 Nên ta được:3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x 2 x 2 b. 3x2 8x 4 HD: Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 3x 2 Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 x 2 3x 2 c. x2 11x 8 HD: x2 11x 28 x 4 x 7 d. x2 5x 24 HD: x2 5x 24 x 8 x 3 e. x2 5x 4 HD: x2 5x 4 x 1 x 4 f)3x2 – 7x + 2; HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). Bài 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 3x2 8x 4 HD: Ta có: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 2x 2 2 x2 x 2 3x 2 Bài 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a)3x2 8x 4 HD: 3x2 8x 16 12 3x2 12 x 16 x 2 3x 2 b) 4x2 4x 3 HD: 4x2 4x 3 4x2 4x 1 4 2x 1 2 22 2x 1 2x 3 c) 9x2 12x 5 HD: 9x 2 12x 5 9x 2 12x 4 9 3x 2 2 32 3x 5 3x 1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002 HD: Ta có: x2 x 2001 2001 1 x2 x 20012 2001 x2 20012 x 2001 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2017.2018 HD : Ta có: x2 x 2017.2018 x2 2017x 2018x 2017.2018 x 2017 x 2018 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Dạng 1.2: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc ba Chú ý: Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 4a2 29a 24 HD: Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8), Ta có: a3 4a2 29a 24 a3 a2 5a2 5a 24a 24 a2 a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a2 5a 24 = a 1 a 3 a 8 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6 HD : Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 7x2 17x 5 HD : 1 Bấm máy tính cho ta có nghiệm là x , nên có nhân tử là : (3x - 1) 3 nên ta có :3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 x2 3x 1 2x 3x 1 5 3x 1 3x 1 x2 2x 5 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 5x2 8x 3 HD : 1 Bấm máy tính cho ta có nghiệm là x , nên có nhân tử là : (2x - 1) 2 Nên ta có : 2x3 5x2 8x 3 2x3 x2 4x2 2x 6x 3 x2 2x 1 2x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x2 2x 3 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 14x2 4x 3 HD : 1 Bấm máy tính cho ta nghiệm là : x nên có 1 nhân tử là : (3x + 1) 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Ta có : 3x3 14x2 4x 3 3x3 x2 15x2 5x 9x 3 x2 3x 1 5x 3x 1 3 3x 1 3x 1 x2 5x 3 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4 HD : Cách 1 : bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2 Như vậy ta có : x3 5x2 8x 4 x 1 x 2 2 Cách 2 : Nhận xét : Tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là: x + 1 Như vậy ta có : x3 5x2 8x 4 x3 x2 4x2 4x 4x 4 x 1 x 2 2 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 2 4 HD : Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x 1, 2 4. Chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhận tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2 Cách 1: x3 x 2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 x 2 x2 x 2 Cách 2: x3 x 2 4 x3 8 x 2 4 x3 8 x2 4 x 2 x2 x 2 Bài 8: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử . HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2 Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai, bậc ba, bậc bốn Phương pháp giải chung Dùng máy tính nhẩm nghiệm hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x=1 Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x=-1 1 số HĐT đáng nhớ: 1, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 2, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 3, a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 4, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 5, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 6, 2 a2 b2 a b 2 a b 2 7, a b 2 a b 2 4ab 8, a4 b4 a b a b a b 2 2ab 2 9, a4 b4 a b 2 2ab 2 ab 2 . 10, a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca . 11, a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2 . 12, a4 a2 1 a2 a 1 a2 a 1 . Dạng 1.1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai Cách 1:Tách hạng tử bậc nhất bx Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b Tách bx = a1x + c1x Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Cách 2:Tách hạng tử bậc ax2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1