Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12.1: Đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12.1: Đồng dạng

1. CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG A. ĐỊNH LÝ TALET 1. Định lý Ta Lét A ABC  AM AN AM AN -  ; MN // BC AB AC MB NC M N 2. Hệ quả định lý Ta Let ABC(M AB, N AC) AM AN MN  MN // BC  AB AC BC B C 3. Định lý đảo AM AN - Nếu: MN // BC MB NC 4. Chú ý: Định lý vẫn đúng trong các trường hợp sau AB ' AC ' B 'C ' C' B' - Ta có: A AB AC BC A B C B' C' B C 5. Định lý Ta Lét mở rộng m n a. Thuận: Nếu m cắt a, b, c tại A, B, C Nếu N cắt a, b, c tại A’, B’, C’ A A' a AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' ; ; B' BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' B b b. Đảo: Nếu a, b, c, cắt hai cát tuyến m, n và có 1 trong 3 tỉ C' AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' c số sau: ; ; a // b / c C BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' p 1
2. *) Hệ quả: ( các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song ) 1. Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ AB AC OA ( ) A' B ' A'C ' OA' 2. Hệ quả 2: Nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì chúng đồng quy tại 1 điểm O A C a B a B A C O C' B' b A' b B' C' d d' d'' d d' - d’, d’’, d’’’ không song song cắt hai đường thẳng song song a và b tại A, B, C và A’, B’,C’ AB AC AB Và thảo mãn: ; 1 d ',d '',d '''O A' B ' A'C ' A' B ' Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm E thuộc đoạn BD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BC, BD với AE. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt MN tại F. Chứng minh rằng a. AE2 EM.EN A D 1 1 1 E b. AE AM AN F N AM FM c. AN FN B C M Lời giải 2
3. EA EN a. AE 2 EM.EN  EM EA EA ED EN Ta có: ( Các đường thẳng song song ) EM EB EA 1 1 1 AE AE AE b.  AE AM AN AE AM AN AE DE AE BE AE AE DE EB Ta có: ; 1 AM DB AN BD AM AN BD 1 1 1 Chia cả hai vế cho AE, ta được: AE AM AN FE BC  FC // BE FM CM FE BC AN FN CN CN MN c. Ta có:  (1);CF // ED (2) BC AN FM CM NM FE CD AB MA AB // CD CM NM  FE FN AN MN FN AM Từ (1)(2) . .  (dpcm) FM FE MN MA FM AN Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở F. GỌi M, N lần lượt là giao điểm của FE với AD, B. Chứng minh rằng: a. EM = FN A B b. AB2 FE.CD M N E F Lời giải Ta phải đi chứng minh FE // AB // CD Hay AE AF C D Q P EP FC - Ta có: ABQD và ABCP là hình bình hành nên AB = DQ = CP DP CQ AE AB AB FA +) FE // PC(Ta.Let.Dao) FE // CD // AB EP DP CQ FC EM DE CN FN a. Ta có: EM // AB EM FN AB DB CB AB 3
4. EM AE FA BN FN  Hoặc: DP AP CA BC CQ  EM FN DP CQ  FE FE BE BE AB BE AB AB BE FE AB b. ; AB? FE.CD AB DQ BD DE DP BE DE AB DP CD BD AB CD Bài 3: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC tại D và E. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F. Gọi H là giao điểm của AC với BF. Đường thẳng qua H song song với BC tại I. Chứng minh rằng DA ED a. A DB FE b. HC2 HA.HE 1 1 1 c. E IH AB CF D F H Lời giải DA ED EA a. B I C DB FE EC HC HF HE b. HA HB HC IH IH IC BI c. 1 dpcm AB CF BC IC Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Gọi M là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của AM với BD, K là giao điểm của BM với AC, đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a. IK // AB A B b. EI = IK = KF K E F Lời giải I AI AB AB AK a. IK // MC IM DM MC KC D M C 4
5. IK EI DI KM CF KF b. Có : EI IK KF AB AB DB MB CB AB Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng với A qua B, E là điểm đối xứng với B qua C và F là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng: ABC, DFE có cùng trọng tâm Lời giải - Dựa vào tâm đối xứng của hình bình hành PG 1 - Hướng dẫn: G là trọng tâm DFE   PM // FA  PN // AC  ANPC là hình bình GF 2 hành F Giải Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, DE, AB A CP là đường trung bình của BDE N G 1 CP // BN CP // BD;CP BD BNCP B C 2 CP BN M E Là hình bình hành M là trung điểm NP P +) MN là đường trung bình của ABC D 1 1 1 MN // AC;MN AC MP // AC;MP AC FA 2 2 2 MG PG MP 1 Theo định lý Ta Lét: G là trọng tâm của hai tam giác. GA GF FA 2 Bài 6: Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD ). AC cắt BD tại M. Kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại I và K a. Chứng minh rằng: MI = MK b. Kẻ Bx // AD, Bx cắt AC, CD tại E, F Kẻ Ay // BC, Ay cắt BD, CD tại P, Q. Chứng minh rằng: DE // IK c. Biết AB = a, CD = b. Tính IK theo a và b 5
6. Lời giải IM AI A B a. Xét ADC, IM // CD ( Hệ quả TaLet) (1) CD AD M K I MK BK P E - Tương tự ta có: (2) CD DC AI BK Lại có: IK // AB // CD ( TaLet mở rộng ) (3) AD BC D F Q C Từ (1)(2)(3) IM MK BE BP b. Ta đi chứng minh: PE // DF FE PD BE AB BP AB Thật vậy: (AB // CF)(4); (AB // DQ)(5) FE FC PD DQ ABFD; ABCQ là các hình bình hành AB DF CQ DQ CF(6) BE PB AB AB Từ (4)(5)(6) ( ) PE / DF (Ta Lét đảo ) FE PD FC DQ c. Ta có: IK = 2 MI = 2 MK MK BM Xét BCD(MK // CD) (He.qua.TaLet)(1) CD BD MB AB a Xét MCD(AB // CD) (He.qua.TaLet)(1) MD CD b MB a BM a (2) MB MD a b BD a b MK a ab 2ab Từ (1)(2) MK IK CD a b a b a b Bài 7: Cho hình hình bình ABCD, đường thẳng qua A cắt BD, CD, BC lần lượt tại E, I, K. CMR: A B a. AE2 EI.EK AE AE E b. 1 AI AK I C D 6 K
7. CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG A. ĐỊNH LÝ TALET 1. Định lý Ta Lét A ABC  AM AN AM AN -  ; MN // BC AB AC MB NC M N 2. Hệ quả định lý Ta Let ABC(M AB, N AC) AM AN MN  MN // BC  AB AC BC B C 3. Định lý đảo AM AN - Nếu: MN // BC MB NC 4. Chú ý: Định lý vẫn đúng trong các trường hợp sau AB ' AC ' B 'C ' C' B' - Ta có: A AB AC BC A B C B' C' B C 5. Định lý Ta Lét mở rộng m n a. Thuận: Nếu m cắt a, b, c tại A, B, C Nếu N cắt a, b, c tại A’, B’, C’ A A' a AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' ; ; B' BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' B b b. Đảo: Nếu a, b, c, cắt hai cát tuyến m, n và có 1 trong 3 tỉ C' AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' c số sau: ; ; a // b / c C BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' p 1