Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12.2: Tam giác đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 12.2: Tam giác đồng dạng

1. CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 2 Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: BH.BD CH.CE BC HD: A Từ H kẻ HK  BC Khi đó: CH CK D CKH : CEB g.g CH.CE CK.CB (1) CB CE E Tương tự: H BH BK BKH : BDC g.g BH.BD BK.BC (2) BC BD Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2 VT CK.BC BK.BC BC BK KC BC B K C Bài 2: Cho BHC có B· HC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D CMR: BH.BD CH.CE BC2 HD: E D H Kẻ: HG  BC CGH : CEB g.g CH CG => CH.CE BC.CG (1) CB CE Tương tự ta có: BGH : BDC g.g BH BG => BH.BD BC.BG (2) BC BD B K C Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT BC.CG BC.BG BC CG GB BC 2 1 1 1 Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: AB AC AD HD: Kẻ DE / / AB E AC ADE là tam giác đều ABC có : DE CE B DE / / AB AB CA AD AC AE AE AD 1 1 AB AC AC AC D AD AD 1 1 1 1 (đpcm) AB AC AB AC AD 60 C A E Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của ABC, AM AB ' AC ' biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: A'M CB ' BC ' HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó: A D AM AE E AME có AE / / A'C (1) A'M A'C AM AD AMD có AD / / A' B (2) A'M A' B C' B' Từ (2) và (2) ta có: M AM AE AD AD AE DE (*) A'M A'C A' B A'C A' B BC Chứng minh tương tự ta cũng có: AB ' AD B C AB 'D có AD / / BC (3) A' B 'C BC AC ' AE AC ' E có: AE / /BC C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE Từ (3) và (4) ta có: ( ) B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC ' Từ (*) và ( ) => (đpcm) A'M BC B 'C BC ' Bài 5: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, AM BM CM CMR: 2 . AA' BB ' CC ' HD: A Từ A, M vẽ AH, MK  BC AH / /MK A'M MK MK.BC S A ' AH có: MBC A' A AH AH.BC S ABC A'M AA' AM AM S Mặt khác: 1 MBC C' A' A AA' A' A SABC AM S 1 MBC B' A' A SABC M Chứng minh tương tự: BM S CM S 1 MAC , 1 MAB BB ' SABC CC ' SABC Cộng theo vế ta được đpcm B H K A' C Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam MA' MB ' MC ' giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : 3 GA' GB ' GC ' HD: Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC A'M MD A A'GI có: MD / /GI (1) A'G GI A1M MD MD A1AI có MD / /GI AI 3GI (2) A1A AI 3GI A ' M 3A1M Từ (1) và (2) ta có: A 'G A1A B' G M Chứng minh tương tự ta có: C' A' B A1 D I C MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M A1M B1M C1M , VT 3 GB ' B1B GC ' C1C A1A B1B C1C A1M B1M C1M mà ta có: từ bài 6 => 1 VT 3 A1A B1B C1C Bài 7: Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a, CMR: AEF đồng dạng ABC b, H là giao các đường phân giác của DEF A c, BH.BE CH.CF BC2 HD: 1 E AE AB AE AF F a, Ta có: AEB : CFC g.g 2 AF AC AB AC => AEF : ABC c.g.c H b, Chứng minh tương tự ta cũng có: CED : CBA, (c.g.c) và BFD : BCA(c.g.c) 1 2 B C => Do AEF : ABC ·AEF ·ABC C· ED D Mà: B· EF ·AEF B· ED C· ED 900 B· ED B· EF => HE là phân giác góc E Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D BH BD c, BHD : BCE g.g BH.BE BD.BC (1) BC BE CH CD và CDH : CFB g.g CH.CF CD.CB (2) CB CF Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. 2 Bài 8: Cho ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR : AD AB.AC BD.DC HD: A Trên AD lấy điểm E sao cho: 1 2 ·AEB ·ACB ABE : ADC g.g BE AB AE AB.AC AD.AE (1) DC AD AC lại có: BD DE BDE : ADC g.g BD.DC AD.DE (2) B D C AD DC Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB.AC BD.DC AD AE DE AD2 E Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: ·ABC ·ADC , ·ABC B· CD 1800 , Gọi E là giao điểm của AB và CD,CMR: AC2 CD.CE AB.AE B HD: x Trên nửa mặt phẳng bờ BE, N không chứa C vẽ tia Ex sao cho: B· Ex ·ACB A => Ex cắt AC tại N => Nµ Bµ Dµ Ta có : E D C AB AC ABC : ANE g.g AB.AE AC.AN (1) AN AE CD CA Tương tự : CAD : CEN g.g CD.CE CA.CN (2) CN CE Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD CMR: Hệ thức: AB.AE AD.AF AC2 HD: A B E Vì AC là đường chéo lớn => Dµ 900 H AC , Kẻ DH  AC H => AHD : AFC g.g AD AH K AD.AF AC.AH (1) AC AF D C Tương tự kẻ BK  AC AKB : AEC g.g AB AK AB.AE AC.AK (2) F AC AE Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD.AF AB.AE AC AH AK AC.AC AC 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Vì ABK CDH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 2 Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: BH.BD CH.CE BC HD: A Từ H kẻ HK  BC Khi đó: CH CK D CKH : CEB g.g CH.CE CK.CB (1) CB CE E Tương tự: H BH BK BKH : BDC g.g BH.BD BK.BC (2) BC BD Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2 VT CK.BC BK.BC BC BK KC BC B K C Bài 2: Cho BHC có B· HC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D CMR: BH.BD CH.CE BC2 HD: E D H Kẻ: HG  BC CGH : CEB g.g CH CG => CH.CE BC.CG (1) CB CE Tương tự ta có: BGH : BDC g.g BH BG => BH.BD BC.BG (2) BC BD B K C Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT BC.CG BC.BG BC CG GB BC 2 1 1 1 Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: AB AC AD HD: Kẻ DE / / AB E AC ADE là tam giác đều ABC có : DE CE B DE / / AB AB CA AD AC AE AE AD 1 1 AB AC AC AC D AD AD 1 1 1 1 (đpcm) AB AC AB AC AD 60 C A E Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1