Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13.1: Tứ giác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13.1: Tứ giác

1. TỨ GIÁC A. Kiến thức 1. Tam giác ˆ ˆ ˆ 0 A - A + B + C = 180 ( Tổng 3 góc trong 1 tam giác ) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giác) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giác) B C 2. Tứ giác a. Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, C B BC, CD, DA trong đó bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng 1 A D b. Tứ giác lồi: Là tứ giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác c. Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì them, ta hiểu đó là tứ giác lồi 3. Tổng các góc của 1 tứ giác - Định lý: Tổng các góc cảu một tứ giác bằng 3600 Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 - Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn là bốn góc của một tứ giác khi bốn góc đó có tổng bằng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > DA - Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600. 4. Góc ngoài của tứ giác: Góc kề bù với 1 góc trong của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác ˆ - Ta có B1là góc ngoài tại đỉnh B. B. Bài tập Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Bài 1: Cho tứ giác ABCD có: BADˆ BCDˆ 900 , phân giác trong của góc ABC cắt AD tại E. phân giác trong của góc ADC cắt BC tại F. Chứng minh BE // DF Lời giải A · · 0 0 E +) ABC ADC 180  90 (1) 1 B D 0  +) Xét tam giác ABE, có: E1 90 (2)  E C +) Từ (1)(2) 1 BE // DF ovitridongvi Bài 2: Cho tứ giác ABCD có: ·ABC B· AD 1800 . Phân giác trong của các góc BCD và CDA cắt nhau tại E, biết rằng CD = 2 DE . Chứng minh rằng : ·ADC 2B· CD B Lời giải A ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 o · 0 +) Ta có: A B 180 C D 180 C1 D1 90 DEC 90 E CD +) Gọi M là trung điểm của CD EM MC MD 1 1 C 2 D M 0 0 DEM đều D1 60 C1 30 D 2C(dpcm) Bài 3: Cho tứ giác ABCD , có: B· AD 2B· CD 1800 , DA DC . chứng minh rằng BD là phân giác ·ABC B Lời giải: 1 C 2 1 +) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = BC B1 E1(1) A +) BCD EAD(cgc) BED cân tại D E1 B2 (2) 1 DB DE D Từ (1)(2) B 1 B2 (dpcm) 1 E Bài 4: Cho tứ giác ABCD có BD là phân giác của góc ABC , AD = C E 1 2 CD , AB < BC . Chứng minh rằng : B· AD B· CD 1800 B Lời giải 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2 A D
3. +) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA A1 E1(1) +) BED BAD(cgc) AD ED ED CD ECD cân tại D ED DA 0 E2 C1(2) . Từ (1)(2) A1 C 1 E1 E2 180 Bài 5:Cho tứ giác ABCD có: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ 5 : 8 :13 :10 a. Tính các góc của tứ giác ABCD b. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Phân giác góc AED và góc AFB cắt nhau tại O, phân giác góc AFB cắt CD và AB tại M và N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN Lời giải E a. Aˆ 500 , Bˆ 800 ,Cˆ 1300 , Dˆ 1000 1 2 b. B AEˆD 1800 Aˆ Dˆ 300 ; AFˆB 1800 Aˆ Bˆ 500 1 C EMˆN 1800 Fˆ Bˆ 750 ; ENˆM 1800 750 300 750 M 75 1 1 EMN cân O là trung điểm của MN O N 1 A D F Bài 6: Cho tứ giác ABCD có Bˆ Dˆ 1800 , AC là phân giác của góc A. Chứng minh rằng: CB = CD Lời giải A B E 1 2 2 1 1 Dựng tam giác ACE cân tại C CA CE Bˆ Dˆ 1800 2 ˆ ˆ Theo gt: D1 B1 1 ˆ ˆ 0 D B2 B1 180 1 2 C Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Aˆ Eˆ 1 1 ˆ ˆ Có: E1 A2 ˆ ˆ A1 A2 Aˆ Eˆ 2 1 ˆ ˆ CEB và CAD có: C1 C2 CEB CAD(gcg) CB CD ˆ ˆ D1 B1 HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN A. HÌNH THANG A B B C A B D C A D D C H1. HÌNH THANG H2. THANG VUÔNG H3. THANG CÂN 1. Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. ABCDla ABCD Là hình thang ( đáy AB, CD ) AB // CD +) AB: đáy nhỏ +) CD: đáy lớn +) AD, BC: cạnh bên Nhận xét - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau Dựa vào nhận xét ta có A Hình thang ABCD ( AB // CD ), có: B +) AD // BC AD BC; AB CD D C +) AB CD AD // BC; AD BC 2. Hình thang vuông là hình thang có 1 góc vuông B. HÌNH THANG CÂN A B B C A B D C A C Chúc các em chăm ngoan – họcD giỏi !!D Trang 4 H1. HÌNH THANG H2. THANG VUÔNG H3. THANG CÂN
5. 1. Định nghĩa Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau ABCD(là hinh thang ) ABCD là hình thang cân ( đáy AB, CD ) ˆ ˆ ˆ ˆ C=D hoac A=B 2. Tính chất: Trong hình thang cân - Hai cạnh bên bằng nhau - Hai đường chéo bằng nhau 3. Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau là hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 4. Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân ( Hình bình hành ) C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và cắt các đoạn AB, AC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ B và C tới d bằng khoảng cách từ A tới d Lời giải A Ta có tứ giác BEFC là hình thang ( BE // CF ) Gọi N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC N K F E G D BE CF BE CF 2MN(1) MN 2 MN  d B M C +) Lấy P thuộc tia đối của MG sao cho MP = MG P GP GA 1 MN PK +) Lấy K thuộc d sao cho NG = NK 2 PK  D Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. TỨ GIÁC A. Kiến thức 1. Tam giác ˆ ˆ ˆ 0 A - A + B + C = 180 ( Tổng 3 góc trong 1 tam giác ) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giác) - AB AC BC ( Bất đẳng thức tam giác) B C 2. Tứ giác a. Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, C B BC, CD, DA trong đó bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng 1 A D b. Tứ giác lồi: Là tứ giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác c. Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì them, ta hiểu đó là tứ giác lồi 3. Tổng các góc của 1 tứ giác - Định lý: Tổng các góc cảu một tứ giác bằng 3600 Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 - Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn là bốn góc của một tứ giác khi bốn góc đó có tổng bằng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > DA - Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600. 4. Góc ngoài của tứ giác: Góc kề bù với 1 góc trong của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác ˆ - Ta có B1là góc ngoài tại đỉnh B. B. Bài tập Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1