Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13.2: Tứ giác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13.2: Tứ giác

1. CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: HÌNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: - Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại là hai cạnh bên. (H1) - Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. (H2) - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. (H3) - Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. (H4) - Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. (H5) A B B C A B D C A D D C H1. HÌNH THANG H2. THANG VUÔNG H3. THANG CÂN A A B N N M M B C D C H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG 2. Tính chất: - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên ấy bằng nhau. - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy. 1 Với H4. Ta có: MN / /BC,MN BC 2 - Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. AB CD Với H5. Ta có: MN / / AB / /CD và MN 2 3. Định lý: - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chính là đường trung bình của tam giác. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại và đường ấy cũng là đường trung bình của hình thang. 4. Dấu hiệu nhận biết : - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. 5. Mở rộng: - Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng một nửa hiệu hai đáy. (H6) A B M N C D (H6) CD AB - Ở H6 ta có: MN / / AB / /CD và MN 2 B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9 cm, Trên tia AB lấy điểm D sao cho: BD = BA. Trên tía AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC, lấy MI = MA. a. Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE. A b. Chứng minh DI // BC. c. Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng. 5 7 HD: C B M 9 D I E Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, BE, AC, BD, CMR: MNPQ là hình thang E HD: Dễ dạng chứng minh được MN // AB M N Gọi R là trung điểm của AD khi đó ta có: RQ // AB A B RP // DC // AB Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB R Vậy MNPQ là hình thang Q P D C Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ AH vuông góc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH CH, CMR : A MN vuông góc với AB và BM vuông góc với AN HD: Vì MN là đường trung bình => MN//AC mà AC  AB M => MN  AB=> M là trực tâm của ABN ABN có M là trực tâm => BM  AN C B H N Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó, trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB, Một góc vuông đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D a, AC+BD=CD b, CO là tia phân giác của ·ACD HD a, Gọi I là trung điểm của CD AC// BD => OI là trung bình của hình thang ABCD D AC BD I =>OI 2 C 2 => AC BD 2.OI 1 Lại có COD vuông => OI là đường trung tuyến => OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD b, Ta có OCD vuông tại O có OI là đường trung tuyến nên OI = IC 1 ¶ µ A O B => IOC cân tại I =>C2 O1 µ µ µ ¶ · Mà: O1 C1 Nên =>C1 C2 Vậy OC là tia phân giác góc ACD Bài 5: Cho ABC có Aµ 800 , AB AC . Trên cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc B· EF ? HD: A 80 E D O B C F Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của các cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : ·AEM M· FB HD : Gọi I là trung điểm của BD E Ta có: MI, NI lần lượt là đường trung bình AD BC ? => MI IN => IMN cân F 2 2 ¶ µ ? => M E ( đồng vị ) A µ µ M và N F ( so le trong) B Vậy Eµ Fµ I D N C Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD, CMR: a, B· MC 900 b, BC = AB + CD HD: a, Giả sử MC cắt AB tại E A B Khi đó CMD EMA g.c.g E 2 => CM = EM và CD = AE µ ¶ µ Xét BEC có: E C2 C1 => BEC cân 2 Mà BM là đường trung tuyến M => BM là đường cao 1 Vậy BM  EC b, Vi BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB 1 D 2 C Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có Cµ 600 , DB là phân giác của góc Dµ , Biết chu vi của hình thang là 20cm, Tính mỗi cạnh của hình thang HD: Đặt BC= a, ta có ngay:AD = AB = BC = a E µ 0 ¶ 0 · 0 Mà: C 60 D2 30 DBC 90 ¶ 0 µ 0 Xét BDC có D2 30 ,C 60 DC 2a Mà Chu vi hình thang là 20 cm nên a + a + a + 2a = 20 => a = 4 A B 1 a 1 1 2 D C Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: HÌNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: - Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại là hai cạnh bên. (H1) - Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. (H2) - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. (H3) - Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. (H4) - Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. (H5) A B B C A B D C A D D C H1. HÌNH THANG H2. THANG VUÔNG H3. THANG CÂN A A B N N M M B C D C H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG 2. Tính chất: - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên ấy bằng nhau. - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy. 1 Với H4. Ta có: MN / /BC,MN BC 2 - Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. AB CD Với H5. Ta có: MN / / AB / /CD và MN 2 3. Định lý: - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chính là đường trung bình của tam giác. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1