Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 15: Số nguyên tố - Hợp số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 15: Số nguyên tố - Hợp số

1. CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I. Lí Thuyết 1. Ước và bội: Nếu a  b thì a la bội của b và b là ước của a. 2. Số nguyờn tố Định nghĩa a) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19 b) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số. c) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số d) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố Một số định lý cơ bản Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn Chứng minh: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p 1; p2; p3; pn. trong đó pn là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (1  i  n) đều dư 1(1) Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n) do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi (1  i  n). (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1). Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố. Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số). Chứng minh: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n. Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh. Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các thừa số nguyên tố. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Sự phân tích là duy nhất: Giả sử mọi số m p2 và n > p’2 Do p = p’ => n > p.p’ Xét m = n - pp’ p | n – pp’ hay p | m p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: m = n - pp’ = pp’ . P.Q với P, Q P ( P là tập các số nguyên tố)  pp’ | n = pp’ | p.q.r => p’ | q.r => p’ là ước nguyên tố của q.r Mà p’ không trùng với một thừa số nào trong q,r (điều này trái với gỉa thiết quy nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất). Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố (Định lý được chứng minh). Cách nhận biết một số nguyên tố Cách 1: Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7 Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố. Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố. Cách 2: Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvượt quá A. Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến A thì A là một nguyên tố. (Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.). Số các ước số và tổng các ước số của 1 số: X1 X2 Xn Giả sử: A = p1 . p2 pn Trong đó: pi P ; xi N ; i = 1, n a) Số các ước số của A tính bằng công thức: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) (xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 Ư(30) có 8 phân tử Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố. 3100 có (100 + 1) = 101 ước 1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa. b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức: X1 + 1 X2 + 1 Xn + 1 p1 - 1 p2 - 1 pn - 1 (A) = . p1 - 1 p2 - 1 pn - 1 Hai số nguyên tố cùng nhau: 1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1. a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 a,b N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I. Lí Thuyết 1. Ước và bội: Nếu a  b thì a la bội của b và b là ước của a. 2. Số nguyờn tố Định nghĩa a) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19 b) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số. c) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số d) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố Một số định lý cơ bản Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn Chứng minh: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p 1; p2; p3; pn. trong đó pn là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (1  i  n) đều dư 1(1) Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n) do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi (1  i  n). (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1). Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố. Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số). Chứng minh: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n. Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh. Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các thừa số nguyên tố. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1