Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 17: Hằng đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 17: Hằng đẳng thức

1. CHUYÊN ĐỀ: HẲNG ĐẲNG THỨC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 2. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 3. a2 b2 (a b)(a b) 4. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 5. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 6. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 7. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) Bài 1: a) Tính A 1002 992 982 972 22 12 n b) Tính B 12 22 32 42 1 .n2 HD: 101.100 a) A 1002 992 982 972 22 12 (100 99)(100 99) (2 1)(2 1) 100 1 5050 2 b) Ta xét hai trường hợp TH1: Nếu n chẵn thì 2 n n 1 B 22 12 42 32 n2 n 1 1 2 3 4 n 1 n 2 TH1: Nếu n lẻ thì 2 2 n n 1 B 22 12 42 32 n 1 n 2 n2 1 2 3 4 n 1 n2 2 n n n 1 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 1 . 2 Bài 2: So sánh A 19999.39999và B 299992 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. HD: Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 299992 100002 299992 A B Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau a. A (2 1)(22 1) (264 1) 1 b. B (3 1)(32 1) (364 1) 1 c. C (a b c)2 (a b c) 2 2(a b)2 HD: a. A (2 1)(22 1) (264 1) 1 (2 1)(2 1)(22 1) (264 1) 1 2128 1 1 2128 1 1 3128 1 b. B (3 1)(32 1) (364 1) 1 (3 1)(3 1)(32 1) (364 1) 1 (3128 1) 1 2 2 2 c. C (a b c)2 (a b c) 2 2(a b)2 (a b c)2 2(a b c)(a b c) (a b c)2 2(a b c)(a b c) 2(a b)2 (a b c a b c)2 2 a b 2 c2 -2 a b 2 4(a b)2 2(a b)2 2c2 2(a b) 2 2c2 Bài 4: Chứng minh rằng a. (a2 b2 )(x2 y2 ) (bx ay)2 ax by 2 b. (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) ax by cz 2 (bx ay)2 (cy bz)2 (az cx)2 HD: a. Ta có: VT = (a2 b2 )(x2 y2 ) a2 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 (bx)2 (ay)2 (ax)2 (by)2 (bx)2 2bx.ay (ay)2 2bx.ay (ax)2 (by)2 (bx ay)2 ax by 2 (dpcm) b. VT = (a2 b2 )(x2 y2 ) (a2 b2 )z2 c2 (x2 y2 z2 ) ax by 2 2 ax by cz cz 2 = ax by 2 (bx ay)2 (az)2 (bz)2 (cx)2 (cy)2 (cz)2 ax by 2 (cz)2 2ax.cz 2by.cz (bx ay)2 [(cy)2 2by.cz (bz)2 ]+(az)2 (cx)2 2az.cx (bx ay)2 (cy bz)2 (az cx)2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski. Bài 5: Cho x2 y2 z2.CMR : (5x 3y 4z)(5x 3y 4z) (3x 5y)2 HD: VT = (5x 3y)2 16z2 25x2 30xy 9y2 16z2 Mà: z2 x2 y2 VT 25x2 30xy 9y2 16(x2 y2 ) 9x2 30xy 25y2 (3x 5y)2 (dpcm) Bài 6: CMR, nếu (a b c d)(a b c d) (a b c d)(a b c d) thì ad = bc HD: 2 2 2 2 2 2 VT = a d b c a d b c = a d (b c) a d 2ad b c 2bc VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)2 (c b)2 (a d)2 (c b)2 a2 d 2 2ad c2 b2 2bc VT = VP 2ad 2bc 2ad 2bc 4ad 4bc ad bc(dpcm) Bài 7: CMR, nếu: a. a + b + c = 0 thì a3 a2c abc b2c b3 0 b. (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z 2x)2 (z x 2y)2 (y x 2z)2 thì x = y = z HD: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a b c a b c a. Ta có : a3 b3 c(a2 ab b2 ) a2c abc b2c a3 b3 a2c abc b2c 0 y z 2x (y x) (z x) b c b. Đặt : y z a; z x b; x y c a b c 0 và z x 2y c a x y 2z a b Từ giả thiết ta có : a2 b2 c2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 a2 b2 c2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 a2 2ab b2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 2(a2 b2 c2 ) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca) 0 x y 2 2 2 2 2 2 2 2(a b c ) (a b c) 0 a b c 0 a b c y z x y z z x Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn: a. 5x2 10y2 6xy 4x 2y 3 0 b. x2 4y2 z2 2x 6z 8y 15 0 HD: a. VT (x 3y)2 (2x 1)2 (y 1)2 1(dpcm) b. VT (x 1)2 4(y 1)2 (z 3)2 1 1(dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn a. x2 8y2 9 4y(x 3) b.9x2 8xy 8y2 28x 28 0 c. x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z) HD: 2 2 2 2 3 a. Ta có: x 8y 9 4y(x 3) (x 2y) (2y 3) 0 x 3;  2 9x2 8xy 8y2 28x 28 0 b. (7x2 28x 28) (2x2 8xy 8y2 ) 0 7(x 2)2 2(x 2y)2 0 x 2 y 1 c. x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z) (x y)2 (y 2z)2 (z 1)2 0 x ; y 2; z 1 Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dứơi dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: x2 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Ta có: x2 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2 x2 2 x2 2x 1 3 x2 4x 4 4 x2 6x 9 10x2 40x 50 x 5 2 3x 5 2 dpcm Bài 11:Cho a x2 x 1. Tính theo a giá trị của biểu thức A x4 2x3 5x2 4x 4 HD: Ta có: A x4 2x3 5x2 4x 4 x4 x2 1 2x3 2x2 2x 2x2 2x 3 2 A x2 x 1 2 x2 x 1 1 A a2 2a 1 a 1 2 Bài 12:Chứng minh x x a x a x 2a a4 là bình phương của một đa thức HD: Ta có: A x2 ax x2 ax 2a 2 a4 2 2 Đặt t x2 ax A t t 2a 2 a4 t 2 2ta2 a4 t a2 A x2 ax a2 dpcm Bài 13: a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 . Tính giá trị của biểu thức sau A a b 20 b c 11 c a 2010 b) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a b c d. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 luôn là tổng của ba số chính phương c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p2 q2 p 3q 2 thì p2 q2 cũng là số nguyên tố HD: a) a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 2a2010 2b2010 2c2010 2a1005b1005 2b1005c1005 2c1005a1005 0 . 2 2 2 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c Vậy A a a 20 b b 11 c c 2010 A 0 \ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ: HẲNG ĐẲNG THỨC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 2. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 3. a2 b2 (a b)(a b) 4. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 5. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 6. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 7. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) Bài 1: a) Tính A 1002 992 982 972 22 12 n b) Tính B 12 22 32 42 1 .n2 HD: 101.100 a) A 1002 992 982 972 22 12 (100 99)(100 99) (2 1)(2 1) 100 1 5050 2 b) Ta xét hai trường hợp TH1: Nếu n chẵn thì 2 n n 1 B 22 12 42 32 n2 n 1 1 2 3 4 n 1 n 2 TH1: Nếu n lẻ thì 2 2 n n 1 B 22 12 42 32 n 1 n 2 n2 1 2 3 4 n 1 n2 2 n n n 1 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 1 . 2 Bài 2: So sánh A 19999.39999và B 299992 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1