Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 2: Chia hết của đa thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 2: Chia hết của đa thức

1. CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho A và B là hai đa thức (B 0) , Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho: A B.Q R Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. 2. Mở rộng Có thể dử dụng thêm các phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức: a3 b3 : a b a2 ab b2 hoặc a2 b2 : a b a b Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm. Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner. II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ 1. Định nghĩa: Định lý Bơ-zu:”Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”. 2. Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x  x a . Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x 3x3 2x2 9x 2 có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không? HD: Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: f 2 2.23 2.22 9.2 2 0 . Vậy f x  x 2 Tương tự: Số dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho x+2 có giá trị là: f 2 2. 2 3 2. 2 2 9. 2 2 4 Vậy f x  x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Bài 2: Tìm số a để 2x3 3x2 x ax 2 HD: Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 2x3 3x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: f 2 2. 8 3.4 2 a a 22 Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: 4x2 6x ax 3 HD: Theo định lý Bơzu thì dư của f x 4x2 6x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị là: f 3 4.9 6.3 a a 18 Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18 Bài 4: Tìm hế số a để: 2x2 x ax 3 HD: Theo định lý Bơzu thì dư của f x 2x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: f 3 2.9 3 a a 15 Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15 Bài 5: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3 HD: Hạ phép chia ta có:10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12 Để 10x2 7x a2x 3 a 12 0 a 12 Bài 6: Tìm hế số a để: 2x2 ax 1: x 3 dư 4 HD: Theo định lý Bơzu ta có : Dư của f x 2x2 ax 1, khi chia cho x-3 là f 3 2.9 3a 1 3a 19 Để có số dư là 4 thì 3a 19 4 3a 15 a 5 Bài 7: Tìm hế số a để: ax5 5x4 9x 1 HD: Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của f x ax5 5x4 9 , khi chia cho x - 1 là f 1 a 5 9 a 4 Để có phép chia hết thì a 4 0 a 4 Bài 8: Tìm hế số a để: 8x2 26x a2x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. HD: Hạ phép chia ta có:8x2 26x a 2x 3 4x 7 a 21 Để 8x2 26x a2x 3 a 21 0 a 21 Bài 9: Tìm hế số a để: x4 x3 6x2 x ax2 x 5 HD: Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có: x4 x3 6x2 x a x2 x 5 x2 1 a 5 Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5 Bài 10: Tìm hế số a, b để: x3 ax bx2 x 2 HD: Hạ phép chia ta có: x3 ax b x2 x 2 x 1 a 3 x b 2 Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2 Bài 11: Tìm hế số a để: x3 ax2 4x2 4x 4 HD: Hạ phép chia ta có : x3 ax2 4 x2 4x 4 x a 4 12 4a x 12 4a Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: x4 ax bx2 4 HD: x4 ax bx 2 Để x4 ax bx2 4 thì 4 x ax bx 2 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax b f 2 16 2a b 0 Và: f 2 16 2a b 0 Giải hệ ta được a=0 và b=-16 Bài 13: Tìm hế số a để: x4 ax3 bx 1x2 1 HD: x4 ax3 bx 1x 1 Để x4 ax3 bx 1x2 1 thì 4 3 x ax bx 1x 1 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax3 bx 1 f 1 1 a b 1 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Và: f 1 1 a b 1 0 , Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a Bài 14: Tìm hế số a để: x3 ax bx2 2x 2 HD: Hạ phép chia ta có : x3 ax b x2 2x 2 x 2 a b x b 4 Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4 Bài 15: Tìm hế số a để: x4 ax2 bx2 x 1 HD: Hạ phép chia ta có : x4 ax2 b x2 x 1 x2 x a a 1 x a b Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1 Bài 16: Tìm hế số a để: ax3 bx2 5x 50x2 3x 10 HD: Hạ phép chia ta có : ax3 bx2 5x 50 x2 3x 10 ax 3a b a 3b 5 x 30a 10b 50 Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0 Bài 17: Tìm hế số a để: ax4 bx3 1 x 1 2 HD: Hạ phép chia ta có : 4 3 2 2 ax bx 1 x 2x 1 a.x 2a b x 3a 2b 8a 5b x 3a 2b 1 Để là phép chia hết thì :8a+5b=0 và 3a+2b-1=0 Bài 18: Tìm hế số a để: x4 4 x2 ax b HD: Tách: x4 4 x2 2x 2 x2 2x 2 Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2 Bài 19: Tìm hế số m để: x4 3x3 6x2 7x mx2 2x 1 HD: Ta có: x4 3x3 6x2 7x m x2 2x 1 x2 x 3 m 3 Để là phép chia hết thì m – 3=0=> m=3 Bài 20: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3 HD: Hạ phép chia ta có:10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho A và B là hai đa thức (B 0) , Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho: A B.Q R Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. 2. Mở rộng Có thể dử dụng thêm các phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức: a3 b3 : a b a2 ab b2 hoặc a2 b2 : a b a b Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm. Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner. II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ 1. Định nghĩa: Định lý Bơ-zu:”Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”. 2. Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x  x a . Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x 3x3 2x2 9x 2 có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không? HD: Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: f 2 2.23 2.22 9.2 2 0 . Vậy f x  x 2 Tương tự: Số dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho x+2 có giá trị là: f 2 2. 2 3 2. 2 2 9. 2 2 4 Vậy f x  x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1