Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 3: Chia hết với số nguyên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 3: Chia hết với số nguyên

1. CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN I.LÝ THUYẾT. 1.Định nghĩa: 2.Tính chất: Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau Trong n n 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b với n là số tự nhiên lẻ Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau ab ac 1. Nếu ac 2. Nếu (ma nb)cm,n Z bc bc ab ab 3. Nếu a[b,c] ( BCNN) 4. ac ab.c ac (b,c) 1 abc p P(songuyento) a p 5. Nếu ac 6. Nếu (b,c) 1 ab p b p 7. Nếu ab a b 8. Nếu an bn ab(n Z ) 9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n 10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích am a bm n ac a) b) am a m(n N) c) abcd bm abm bd II.LUYỆN TẬP Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp giải : Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có 1 nhân tử là m A(n)m Nếu m là hợp số, ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó. Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất là ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n3 5n6. HD: Ta có: n3 5n n3 n 6n , như vậy ta cần chứng minh n3 n6 n n 1 n 1 6 . Do n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Bài 2: Chứng minh rằng : n3 11n6,n Z HD: Ta có: n3 11n n3 n 12n n n2 1 12n n n 1 n 1 12n Vì n n 1 n 1 là ba số nguyên liên tiếp n n 1 n 1 6 và 12n6 n3 11n6 Bài 3: Chứng minh rằng a. a2 a2(a N) b. a3 a3(a Z) c. a5 a5;6;30(a Z) d. a7 a2(a Z) HD: a. Ta có : a2 a a(a 1)2 b. a3 a a(a 1)(a 1) (a 1)a(a 1)3 a5 a a(a4 1) a(a 1)(a 1)(a2 1)  2,3 6 c. 5.6 30 a5 a a(a2 1)(a2 1) a(a2 1)[(a2 4) 5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5n(n2 1)   5 5 d. a7 a a(a6 1) a(a2 1)(a2 a 1)(a2 a 1) Nếu a 7k(k Z) a7 Nếu a 7k 1(k Z) a2 1 49k 2 14k7 Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Bài 4: Chứng minh rằng a. n3 11n6 b. mn(m2 n2 )6 HD: n3 11n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12n a.  6 6 mn(m2 n2 ) mn[(m2 1) (n2 1)]= mn(m-1)(m+1) mn(n 1)(n 1) b.   6 6 Bài 5: Chứng minh với mọi n lẻ thì a. A n2 4n 38 b. C n12 n8 n4 1512 c. D n4 10n2 9384 HD: a. Ta có: n2 4n 3 (n 1)(n 3) Vì n là số lẻ nên n + 1 và n + 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 n12 n8 n4 1 (n8 1)(n4 1) (n4 1)2 (n4 1) (n2 1)2 (n2 1)2 (n4 1) b. 16.[ k(k+1)]2 .(n2 1)2 .(n4 1) 24.22.22.2 512    24 22 chan 22 chan 2 c. n4 10n2 9 (n4 n2 ) (9n2 9) n2 (n 1)(n 1) 9(n 1)(n 1) (n 3)(n 1)(n 1)(n 3) Đặt n = 2k + 1 ( k thuộc Z ) D (2k 2)2k(2k 2)(2k 4) 16k(k 1)(k 1)(k 2) D384  24 Bài 6: Chứng minh rằng số A n3 (n2 7)2 36n5040n N HD: A n3 (n2 7)2 36n n[n2 (n2 7)2 36] n[(n3 7n)2 36] n(n3 7n 6)(n3 7n 6) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 1)(n 2)(n 3) Là tích của 7 số nguyên liên tiếp Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5 Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Bài 7: Chứng minh rằng A 3n4 14n3 21n2 10n24 HD: A 3n4 14n3 21n2 10n n(3n3 14n2 21n 10) n(3n3 3n2 11n2 11n 1on 10) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. A n(n 1)(3n2 11n 10) n(n 1)(3n2 6n 5n 10) n(n 1)(n 2)(3n 5) n(n 1)(n 2)(3n 9 4) A (3n 9)n(n 2) 4n(n 1)(n 2) 3n(n 1)(n 2)(n 3) 4n(n 1)(n 2)   8 24 6 24 Bài 8: Chứng minh rằng: A n5 5n3 4n120 22.3.5n Z HD: A n5 5n3 4n n(n4 5n2 4) n(n4 n3 n3 n2 4n2 4n 4n 4) n(n 1)(n3 n2 4n 4) A n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120. Bài 9: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có: A n3 6n2 8n48 HD: A n3 6n2 8n48 n(n 2)(n 4) A 2k(2k 2)(2k 4) 8k(k 1)(k 2) A48 Đặt n = 2k  6 Bài 10: Chứng minh rằng với mọi n lẻ thì : A n8 n6 n4 n2 1152n N HD: 1152 = 9.27 = 32.27 A n2 (n6 n4 n2 1) n2[(n4 n2 ) (n2 1] n2 (n2 1)(n4 1) n2 (n2 1)2 (n2 1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n2 1) A9(1)  3 9 Vì n lẻ nên n – 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4 tích 2 số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn chia hết cho 2 A82.2 27 (2) Từ (1)(2) A27.32 (dpcm) Bài 11: Chứng minh rằng: A n n 1 2n 1 6,n N HD: Ta có: A n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 2 6 Bài 12: Chứng minh rằng: m3 3m2 m 348,m lẻ HD: Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1, k N Khi đó ta có : A m3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3 Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8 k 2 k 1 k Vì k k 1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN I.LÝ THUYẾT. 1.Định nghĩa: 2.Tính chất: Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau Trong n n 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b với n là số tự nhiên lẻ Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau ab ac 1. Nếu ac 2. Nếu (ma nb)cm,n Z bc bc ab ab 3. Nếu a[b,c] ( BCNN) 4. ac ab.c ac (b,c) 1 abc p P(songuyento) a p 5. Nếu ac 6. Nếu (b,c) 1 ab p b p 7. Nếu ab a b 8. Nếu an bn ab(n Z ) 9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n 10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích am a bm n ac a) b) am a m(n N) c) abcd bm abm bd II.LUYỆN TẬP Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1