Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

1. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D 3. Tính chất: A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx HD: Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HD: Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. HD: Xét hiệu ta có: x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 , Dấu bằng khi x=y=z=1 2 a2 b2 a b Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 2 2 HD: a2 b2 a2 2ab b2 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0 2 4 a2 2ab b2 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=- b 2 a2 b2 c2 a b c Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 3 3 HD: a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac Ta có: 3 9 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b c 2 Bài 6: CMR : a2 b2 c2 3 HD: Ta có:3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b 2 Bài 7: CMR : a2 b2 2ab 2 HD: a b 2 Ta chứng minh: a2 b2 2a2 2b2 a2 2ab b2 2 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=b 2 a b 2 Ta chứng minh 2ab a2 2ab b2 4ab a b 0 , Dấu bằng khi a=b 2 b2 Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 ab 4 HD: Ta có: 4a2 b2 4ab 2a b 2 0 Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực. CMR : a2 b2 1 ab a b HD: Ta có: a2 b2 1 ab a b 0 2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 . Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e HD: Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 4ae 4e2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2e 2 0 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e 1 1 Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 9 a b HD: a b a b b a a b Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b 2 2 1 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b b a b a 2 2 x y Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy 2 HD: Ta có: x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 2 0 , Dấu bằng khi x=y Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2 HD: Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0 2 a b a2 b2 0 a b a b 0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2 Bài 14: Cho a b 1, CMR: 1 a2 1 b2 1 ab HD: 1 1 1 1 a b a b a b Xét hiệu: 2 2 0 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 0 , Dấu bằng khi a=b hoặc a.b=1 1 ab a2 1 b2 a Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t HD: Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. a2 Bài 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc 4 HD: Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0 a2 4a b c 4 b c 2 0 a 2a 2c 2 0 Bài 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz HD: Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0 Bài 20: CMR : x4 y4 z4 1 2x xy2 x z 1 HD: Ta có: x4 y4 z4 1 2x2 y2 2x2 2xz 2x 0 x4 y4 2x2 y2 x2 2xz z2 x2 2x 1 0 2 2 2 x2 y2 x z x 1 0 , Dấu bằng khi x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a2 b2 c2 ab bc ca HD: Ta có : a2 b2 c2 ab bc ca 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Bài 22: CMR : a2 b2 ab HD: 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b Ta có: a b ab 0 a 2a. 0 a 0 2 4 4 2 4 Bài 23: CMR : x2 xy y2 0 HD: 2 2 2 2 2 y y 3y y 3y Ta có: x 2x. 0 x 0 2 4 4 2 4 Bài 24: CMR : a a b a c a b c b2c2 0 HD: a a b c a b a c b2c2 0 a2 ab ac a2 ab ac bc b2c2 0 2 a ab ac x 2 2 2 Đặt , Khi đó ta có: x x y y 0 x xy y 0 bc y 2 Bài 25: CMR : a2 b2 a4 b4 a3 b3 HD: Ta có: a6 a2b4 a4b2 b6 a6 2a3b3 b6 a4b2 a3b3 a2b4 a3b3 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D 3. Tính chất: A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx HD: Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HD: Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1