›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 7: Số chính phương, số nguyên tố

1. Định nghĩa:

Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên

2. Tính chất:

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn

- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

- Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn

- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2

- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.

doc 42 trang Hoàng Cúc 03/03/2023 3960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 7: Số chính phương, số nguyên tố", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_8_chuyen_de_7_so.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 7: Số chính phương, số nguyên tố

  1. CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên 2. Tính chất: Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 - Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 - Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 - Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. B. LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho số A 11 11122 2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2). Chứng minh rằng A là số chính phương HD: Ta có: 9A 100 00100 0025 100 00 100 00 25 2004 2005 4012 2007 2 2 2 2006 9A 100. 00 2.5.100 00 5 10 5 , là số chính phương 2006 2006 Bài 2: Chứng minh rằng số C 44 4488 89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên HD: n Đặt 111 11 a 10 9a 1 n n Ta có: 444 448 8 89 444 44888. 8 1 4a.10 8a 1 n n 1 n n 2 2 2 4a 9a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1 666. 67 n 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. Bài 3 : Chứng minh rằng số A 1 1 1 4 4 4 1 là số chính phương 2n n HD : 2 10n 2 Biến đổi A khi đó A là số chính phương 3 Bài 4 : Chứng minh số B 1 1 1 1 1 1 6 6 6 8 là số chính phương. 2n n 1 n HD : 2 10n 8 Biến đổi tổng B khi đó B là số chính phương 3 Bài 5 : Chứng minh rằng số C 4 4 4 2 2 2 8 8 8 7 là số chính phương. 2n n 1 n HD : 2 2.10n 7 Biến đổi C khi đó C là số chính phương 3 Bài 6 : Chứng minh rằng A 2249 9 910 0 09 cũng là số chính phương n 2 n HD : A 224.102n 99 9.10n 2 10n 1 9 224.102n 10n 2 1 .10n 2 10n 1 9 2 A 224.102n 102n 10n 2 10n 1 9 225.102n 90.10n 9 15.10n 3 Vậy A là số chính phương. Bài 7 : Chứng minh rằng B 1 1 15 5 56 cũng là số chính phương. HD : n n n 10 1 n 10 1 B 1 1 15 5 5 1 1 1 1.10 5.1 1 1 1 B .10 5. 1 n n n n 9 9 2 102n 10n 5.10n 5 9 10n 2 B , Vậy B là số chính phương 9 3 Bài 8 : Cho a 11 1 (2008 chữ số 1) và b 100 05 ( 2007 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab 1 là số tự nhiên. HD: 2008 10 1 2008 Ta có: a 1 1 1 ,b 10 5 2008 9 2 2008 2008 1008 2008 2 10 1 10 5 10 4.10 5 9 102008 2 ab 1 1 9 9 3 Vậy ab 1 là 1 số tự nhiên Bài 9 : Cho m 111. 1,n 444. 4 , Chứng minh rằng m n 1 là số chính phương. 2k k Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. HD: 102k 1 10k 1 102k 1 10k 1 102k 1 4.10k 4 9 Ta có: m ,n m n 1 4. 1 9 9 9 9 9 2 10k 2 , Vậy m n 1 là số chính phương. 3 Bài 10: Cho số nguyên dương n và các số A 444. 4 và B 888. 8 . 2n n Chứng minh rằng: A 2B 4 là số chính phương. HD: n Ta có: A 444  4 444 . 4000. 0 444  4 444  4. 10 1 888  8 2n n n n n n 2 4.111  1.999  9 B 4.111  1.9.111  1 B 6.111  1 B n n n n n 2 2 3 3 .888  8 B B B 4 n 4 2 2 2 3 3 3 3 A 2B 4 B B 2B 4 B 2. B.2 4 B 2 4 4 4 4 2 2 2 3 .888  8 2 3.222  2 2 666  68 Vậy A 2B 4 là số chính phương. 4 n n n 1 Bài 11: Cho: A 111 1 ( 2m chữ số 1); B 111 1 (m + 1 chữ số 1); C 666 6 (m chữ số 6) . Chứng minh A B C 8 là số chính phương HD: m 102m 1 10m 1 1 6 10 1 Ta có: A 111 1 và B 111 1 và C 666 6 9 9 9 m 2 102m 1 10m 1 1 6 10 1 102m 16.10m 64 10m 8 Khi đó : A B C 8 8 9 9 9 9 3 Mà 10m 83 10m 8 Z . Vậy A B C 8 là số chính phương. Bài 12: Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; . Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. HD : Xét số tổng quát : n 4 4 48 8 89 4 4 48 8 8 1 4 4 4.10 8 8 8 1 n n 1 n n n n n n n 10 1 n 10 1 4.1 1 1.10 8.1 1 1 1 4. .10 8. 1 n n 9 9 2 4.102n 4.10n 8.10n 8 9 4.102n 4.10n 1 2.10n 1 9 9 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. Mà 2.10n 1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính phương Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 a 3b2 b Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. HD: Ta có: 2a2 a 3b2 b a b 2a 2b 1 b2 (*) Gọi d là UC a b;2a 2b 1 với d N * , Thì: a bd 2 2 2 a b 2a 2b 1 d b d bd , 2a 2b 1d Mà : a b d ad 2a 2b d , mà 2a 2b 1 d 1d d 1 Do đó : a b,2a 2b 1 1 , Từ (*) ta được : a b,2a 2b 1 là số chính phương Vậy 2a 2b 1 là số chính phương. Bài 14: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2x2 x 3y2 y Chứng minh : x y;2x 2y 1;3x 3y 1 đều là các số chính phương. Bài 15: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . CMR : n2 m không là số chính phương. HD: Giả sử: n2 m là số chính phương. Đặt: n2 m k 2 k N (1) 2n2 Theo bài ra ta có: 2n2 mp p N m Thay vào (1) ta được : p 2 2n 2 n2 k 2 n2 p2 2pn2 p2k 2 n2 p2 2p pk p 2 Do n2 , pk là các số chính phương, nên p2 2p là số chính phương. 2 Mặt khác: p2 p2 2p p 1 p2 2p không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n2 m không là số chính phương. Bài 16: Chứng minh: A 13 23 1003 là số chính phương Bài 17: Chứng minh rằng : S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 thì 4S 1 là số chính phương. HD : Ta có : 4S 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 k k 1 k 2 k 3 k 1 4S 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 k k 1 k 2 k 3 k 1 k k 1 k 2 4S k k 1 k 2 k 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên 2. Tính chất: Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 - Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 - Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 - Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. B. LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho số A 11 11122 2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2). Chứng minh rằng A là số chính phương HD: Ta có: 9A 100 00100 0025 100 00 100 00 25 2004 2005 4012 2007 2 2 2 2006 9A 100. 00 2.5.100 00 5 10 5 , là số chính phương 2006 2006 Bài 2: Chứng minh rằng số C 44 4488 89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên HD: n Đặt 111 11 a 10 9a 1 n n Ta có: 444 448 8 89 444 44888. 8 1 4a.10 8a 1 n n 1 n n 2 2 2 4a 9a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1 666. 67 n 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1