Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 9: Phương trình nghiệm nguyên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề 9: Phương trình nghiệm nguyên

1. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a a 1 k 2 Phương pháp: “ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”. Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 x y2 0 HD: 2 x 0 x x 1 y => x 1 0 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3xy x2 y2 HD: x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x 2y 1 HD: x2 x y2 2y 1 y 1 2 x x 1 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy y2 x2 y2 HD: 2 xy 0 x y x2 y2 xy xy xy 1 xy 1 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN 1 10 Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: x (*) 1 7 y z HD: 10 1 7 7 Từ(*) ta thấy : x thay vào (*) ta được : y y 2 z 3 7 z 3 3 Bài 2: Tìm x, y,z,t N * thỏa mãn: 31 xyzt xy xt zt 1 40 yzt y t (*) HD: xyzt xy xt zt 1 40 zt 1 40 Từ (*) x (1) yzt y t 31 yzt y t 31 40 yzt y t 31 t 31 Từ (1) x 1 , Thay x 1 vào (1) ta suy ra : y (2) 31 zt 1 9 zt 1 9 31 zt 1 9 1 9 Từ (2) y 3 thay y 3 vào (2) ta được : z (3) 9 t 4 t 4 Từ (3) z 2,t 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp giải: Cơ sở của phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn, vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên ( Số số hạng của hai vế là bằng nhau ) Ta sẽ đi giải các phương trình tương ứng sau A2 m2 A2 n2 A2 p2 2 2 2 2 2 2 B n ; B m ; B m 2 2 2 2 2 2 C p C p C n Bài 1: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: 5x 2 4xy y2 169(1) HD: (2x y)2 x2 122 52 (1) (1) 4x2 4xy y2 x2 144 25 169 0 2 2 2 2 (2x y) x 13 0 (2) 2 2 (2x y) 12 x 5 x 5 2 2 ; x 5 y 2 y 22 Giải (1) 2 2 (2x y) 5 x 12 x 12 ; 2 2 y 19 y 29 x 12 2 2 (2x y) 13 x 0 2 2 x 0 y 13 Giải (2) 2 2 (2x y) 0 x 13 2 2 y 26 x 13 (x, y) (5; 2),(5; 22),( 5,2);( 5,22),(12; 19),(12; 29),( 12;19),( 12;29),(0;13),(0; 13),(13;26),( 13; 26) Bài 2: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x2 y2 x y 8(1) HD: 2 2 (2x 1) 3 x 2; x 1 2 2 (2y 1) 5 y 3; y 2 (1) 4x2 4x 4y2 4y 32 (2x 1)2 (2y 1)2 52 32 2 2 (2x 1) 5 x 3; x 2 2 2 y 2; y 1 (2y 1) 3 Vậy (x, y) (2,3),(2; 2),( 1;3),( 1; 2),(3,2),(3; 1),( 2,2),( 2; 1) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1) HD: (1) x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0 . Vậy y 5 và 25 y2 là số chính phương. Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y2 không là số chính phương (loại). 2 x 9 8 x 17 Với y = 3 ta có: (x 9) 4.16 . x 9 8 x 1 2 x 12 6 x 18 Với y = 4 ta có: (x 12) 36 . x 12 6 x 6 Với y = 5 ta có: (x – 15)2 = 0 x = 15. Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5). Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 5y2 2y 4xy 3 0 HD: x2 5y2 2y 4xy 3 0  (x 2y)2 (y 1)2 4 22 02 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 6 y2 2x3 y 64 HD: 2x 6 y2 2x3 y 64  t 2 (t y)2 64(t x3 ) Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x2 1)(x2 y2 ) 4x2 y HD: (x2 1)(x2 y2 ) 4x2 y  x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y (x2 y)2 x2 (y 1)2 0 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0 HD: 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0  (x2 2xy y2 ) 6x 2y x2 5 0  (x y)2 2(x y) 4x x2 5 0  (x y 1)2 (x 2)2 0 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 2y2 2z2 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34 0 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5.  (2x)2 4x(y z) (y2 2yz z2 ) (y2 6y) (z2 10z) 34 0  (2x z y)2 (y2 6y 9) (z2 10z 25) 0  (2x y z)2 (y 3)2 (z 5)2 0 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8y2 8xy 4y 8 0 HD: 2x 2y 2 2y 1 2 9 02 32 Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 169 HD: x 2y 2 y2 169 Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 5y2 2y 4xy 3 0 HD: x 2y 2 y 1 2 4 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x2 13y2 6xy 100 HD: x 3y 2 4y2 100 1 1 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 4 x y HD: 2 2 1 1 x y 4 x y => x y 1 2 x 2 2 0 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4y2 2x 4y 2 0 HD: x2 2x 1 4y2 4y 1 0 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: m2 n2 9m 13n 20 HD: Nhân 4 4m2 36m 81 4n2 52n 169 170 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 6xy 13y2 100 HD: (x 3y)2 4(25 y2 ) , mà y2 25, y2 là số chính phương nên =>y Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 4xy 5y2 16 0 HD : Ta có phương trình trở thành : x2 4xy 5y2 16 0 => x2 4xy 4y2 y2 16 x 2y 2 y2 16 , Vì x,y là số nguyên nên x 2y Z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a a 1 k 2 Phương pháp: “ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”. Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 x y2 0 HD: 2 x 0 x x 1 y => x 1 0 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3xy x2 y2 HD: x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x 2y 1 HD: x2 x y2 2y 1 y 1 2 x x 1 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy y2 x2 y2 HD: 2 xy 0 x y x2 y2 xy xy xy 1 xy 1 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1