Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.1: Tính giới hạn bằng định nghĩa

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.1: Tính giới hạn bằng định nghĩa

1. 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA. 1 a1 a a Bài 1. Cho dãy số an xác định bởi : 3 2 . Chứng minh rằng với mọi số thực 2a 2a 2 n n an 1 2 3an 4an 1 a 0 thì dãy an hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy an . Hướng dẫn giải 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM). a 1 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a 2. a a * Nếu a 1 thì a1 2 . Ta chứng minh: an 2, n ¥ . Hiển nhiên a1 2 . 2.23 2.22 2 Giả sử a 2 a 2 . k k 1 3.22 4.2 1 Vậy lim an lim 2 2 . a 0 * . Nếu thì a1 2 . Ta chứng minh an 2 n ¥ . a 1 Rõ ràng a1 2 . . Giả sử ak 2 . Ta chứng minh ak 1 2 . 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 2 2 2 2ak ak 2 0 ( đúng). 3ak 4ak 1 Ta chứng minh an là dãy giảm, thật vậy :. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 ( do tử âm, mẫu dương vì. 2 7 an 2 3 3an 4an 1 0 . 2 7 a n 3 2 7 Mà a 2 3a 2 4a 1 0 ). n 3 n n an giảm và bị chặn dưới an có giới hạn là L . 1
2. 3 2 3 2 2an 2an 2 2L 2L 2 lim an 1 lim 2 2 3an 4an 1 3L 4L 1 . L 2 an 2 L 1 Vậy lim an 2 . . Nếu a 0 thì a1 2 . Tương tự, ta có:. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 nên an tăng. Hơn nữa an bị chặn trên bởi 1, thật vậy. 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 1 2 1 ak 1 (2a 3) 0 . 3ak 4ak 1 Vậy an tăng và bị chặn trên an có giới hạn là L . an 1,n , an 1 an 0,n 2L3 2L2 2 . L L 1 a 1 L 2 3L2 4L 1 n Vậy lim an 1. Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 . a 0 + Nếu thì lim an 2 . a 1 + Nếu a 0 thì lim an 1. x1 0 Bài 2. Cho dãy số xn được xác định bởi 1 2 3 2015 * . Tìm giới hạn x x L n ¥ n 1 n 2 3 2015 xn xn xn xn của dãy nxn khi n , với là số thực cho trước. Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được xn 0,n 1 bằng qui nạp. Ta có. 2 1 2 1 2 1 2 xn 1 xn , n 1 xn 1 xn xn 2 2 xn 2 ; n 1. xn xn xn 2 2 2 2 Bởi vậy n N, n 2 thì xn xn 1 2 xn 2 4  x1 2 n 1 . xn 1, n 2 và lim xn . n * 1 2 3 2015 Với n N , đặt xn 1 xn tn trong đótn 2 3  2015 . xn xn xn xn 2
3. t xn 1; n 2 0 tn 2 , với t 2 3  2014 2015 (1), suy ra. xn 2 2 2 1 2 1 2 2tn xn 1 xn xn tn xn 2 tn 2 2xntn 2 .khi n . xn xn xn 2 b1 x1 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn với 2 2 . bn xn xn 1, n 2. b1 b2  bn ta có lim bn 2 suy ra lim limbn 2.. n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 b b  b n 1 Mà n 1 2 n suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 n 1 Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro). n 2 xn 2 2 2 2 Xét dãy cn : c1 x1 2; cn xn xn 1 2 với n 2,3. *  lim cn 0 nên  0 tồn tại m N sao cho cn ,  n m. . n 2 Gọi M max ci  với 1 i m 1. 2 m 1 M 2 m 1 M m 1 M  Với  ở trên tồn tại m 1 thì m' hay .   m 2 Xét n max m,m'.ta có.  n n m 1 n m 1 | ci | ci | ci | m 1 M  m 1 M   i 1 i m i 1 2 . o đó theo định n n n n n 2 m 2 2 n | c | nghĩa lim i 1 i 0 . n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 c c  c n 1 n 1 2 n 2 . suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 1 Nếu 2 thì n.x n.x 2 khi n . n n 2 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn khi n . 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn 0 khi n . Cho hai số a ,b với 0 b 1.Lập hai dãy số a , b với n 1,2,...Theo quy tắc Bài 3. 1 1 1 a1 n n 1 sau: giải nghĩa cái đó là:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn Tính: lim an và limbn . 2 . n n Hướng dẫn giải 3
4. Tính a ,b với 0 b a 1ta có thể chọn 0 a sao cho: b cosa ,. 2 2 1 1 2 1 2 Suy ra a1 cos a . 1 1 a a (cos2 a cos a) cos a(cos a 1) cosa.cos2 . 2 2 2 2 a a b cos a.cos2 .cos a cos a.cos . 2 2 2 Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a a cos a.cos ...cos cos (1) b cos a.cos ...cos (2) . n 2 2n 1 2n 1 n 2 2n 1 a Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n 1 a sin 2a.cos n 1 sin 2a a 2 , b . n a n a 2n.sin 2n.sin 2n 1 2n 1 Tính giới hạn:. sin 2a sin 2a lim an , limbn . n 2a n 2a 1 an Bài 4. Cho dãy số an ,a1 1 và an 1 an .Chứng minh: lim 2 . n an n Hướng dẫn giải 1 n n 1 n 1 1 a2 a2 2 a2 a2 2(n 1). k 1 k 2  i  j  2 . ak i 2 j 1 j 1 a j n 1 1 a2 2n 1 . n  2 Vậy an 2n 1 , n 2.. j 1 a j 2 1 1 1 1 1 1 1 ak 2k 1 k 2 4 2 2 . a k (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 5 (1 ) 1 Suyra:  4  4 . k 2 ak 4 n 1 4 j 1 a j 4 4 n 1 1 n 1 1 5 Suyra: (n 1) (n 1) (n 2)..  2  4 j 1 a j j 1 a j 4 5(n 1) Vậy: a2 2n 1 (n 2) . n 2 5(n-1) 1 a 5(n-1) Suyra: n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < n 2n-1+ . n 2 n n 2 4
5. a Dođó: lim n 2 . n n Bài 5. Cho hai số a ,b với a cos2 , b cos . Lập hai dãy số a , b với n 1,2,...theo quy 1 1 1 8 1 8 n n 1 tắc sau:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn . Tính: lim an và limbn . 2 n n Hướng dẫn giải +Tính a2 ,b2 :. 1 1 a (cos2 cos ) cos (cos x 1) cos .cos2 . 2 2 8 8 2 8 8 8 16 b cos cos2 cos cos cos . 2 8 16 8 8 16 + Bằng quy nạp, chứng minh được:. a cos cos ...cos cos (1) b cos cos ...cos (2) . n 2.4 22.4 2n .4 2n.4 n 2.4 22.4 2n .4 +Nhân hai vế của (1) và (2) chosin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n .4 sin .cos n sin a 4 2 .4 , b 4 . n n 2n.sin 2n.sin 2n .4 2n .4 +Tính giới hạn:. 4sin 4sin 4 4 lim an , limbn . n n Bài 6. Cho dãy số un biết:. u1 1 * u ,n N . u n n 1 2 1 un Hãy tính lim (un n) . n Hướng dẫn giải * Ta có:u1 0 un 0 ,n N . 2 3 2 * un 1 un un / (1 un ) un ( un ) / (1 un ) 0 n N . un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 . lim un a (a R,a 0) n . 5
6. 2 Từ un 1 un / (1 un ), cho n ta được:. 3 a a / (1 a ) a 0. Vậy lim un 0 . x 2 2 * Đặt vn 1/ (un 1) 1/ (un ), n N . 2 2 2 2 Ta có vn ((1 un ) / un ) 1/ (un ) 2 un 2 khi n ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:. 1 1 v v  v u2 u2 lim 1 2 n 2 lim n 1 1 2 . n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 u u u u lim n 1 n n 1 2 . n n 1 1 1 u2 u2 v u2 1 Mà lim n 1 n lim n 0 ; lim 1 lim 0 . n n n n n n n n 1 2 un 1 1 lim 2 lim 2 lim (un n) . n n 2 n n n.un 2 U 2 1 Bài 7. Cho dãy U xác định bởi: 2 n N * . n Un 2009Un Un 1 2010 n Ui  Ta lập dãy Sn với Sn  .Tính lim Sn .  x i 1 Ui 1 1 Hướng dẫn giải a Tacó a 0 0 . 1 2 Giả sử a1,a2 ,...,an 1 0 . Tacó. a a a n n 1 ... 0 0 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 an an 1 an 2 ... a0 . a a a 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 2 ... 0 0 1 2 n a a a a Hay a n 1 n 2 ... 1 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) Do a1,a2 ,...,an 1 0 nên. 6
7. an 1 an 2 a1 2an 1 3an 2 na1 ... ... 1.2 2.3 (n 1)n 1 2 n 1 . 2 2 an 1 an 2 a1 a0 ... 2 1 2 (n 1) n 2 an 1 an 2 a1 a0 ... . 1.2 2.3 (n 1)n 2 2an 1 3an 2 na1 n ... 1 2 n 1 Ta lại có. 2an 1 3an 2 na1 2an 1 3an 2 a1 ... n ... 1 2 n 1 n 2n n 1 . an 1 an 2 a1 a0 n ... n a0. 1 2 n 1 n an 1 an 2 a1 a0 ... 2 . 1.2 2.3 (n 1)n n a a a a a a a n 1 n 2 ... 1 0 0 0 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) n2 n(n 1) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2 1 un 1 Bài 8. Cho dãy số un xác định bởiu1 1, un 1 ,n 1. un a) Chứng minh:. u tan ,n 1.. n 2n 1 b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của un . HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh bằng quy nạp toán học. b) Nhận xét 0 n 1 ,n 1 và hàm số tanx đồng biến trên 0; . 2 4 4 nên dãy số un giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0 . và bị chặn trên bởi số tan 1. 4 . Bài 9. Cho dãy số xn xác định bởi:. 1 2 3 2014 2015 * x1 0; xn 1 xn 2 3 ... 2014 2015 ,n ¥ . . xn xn xn xn xn * n 1.Với mỗi n ¥ ,đặt yn 2 .Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. xn 7
8. 2.Tìm các số để dãy nxn có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2 2 1 2 1.Từ giả thiết suy ra xn 1 xn 0 xn 1 xn 2 2 xn 2 xn xn . Suy ra x2 x2 2 x2 2 ... x2 2n do đó lim x n 1 n n 1 1 n . Xét 2 2 1 2 3 2014 2015 1 2 3 2014 2015 xn 1 xn xn 1 xn xn 1 xn 2xn 2 3 ... 2014 2015 2 3 ... 2014 2015 xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn . 1 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 2 2 3 4 ... 2015 2016 1 2 ... 2013 2014 xn xn xn xn xn xn xn xn xn . Suy ra lim x2 x2 2 n 1 n . 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 ... x2 x1 x1 Ta có n . n n Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 ... x2 x1 x1 lim n lim 2 . n n n 1 Do đó lim x2 2 n . n 2.Xét z nx x 2 n n x2 n n . Từ đó:. +) Nếu 2 thì lim zn . +)Nếu 2 thì lim zn 0 . 1 +) Nếu 2 thì lim z n 2 . Vậy 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. 3 Bài 10. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 ... yn ,n 1. 8
9. y  Chứng minh rằng dãy số n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 , n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì. n 1 n n  nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) . 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 ... y2 n 1. 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có. n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0. n 1 n 1 n un (0;1) Bài 11. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: n 1 un 1(1 un ) c . đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1. 4 1 un un (1 un ) 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra u (4c)n 1u . Do 4c 1 nên u khi n . Do đó, c n 1 n 4 không thỏa mãn. 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu , thì tồn tại sao cho . Thật vây, lấy 0 c a,b ; , a b 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c đặt , thì. a ; , b a x (x 0) 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi. a nêu n 2m un . b nêu n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4 9
10. 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ. 4 4(1 un ) 4un (1 un ) 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu .. n 4 2 n 2 1 x 1 2 Bài 12. Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 . k 2 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 2 xk k k 1 . k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 . k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1. xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 4 2 un 2013 * Bài 13. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014, un 1 3 ,n ¥ . Đặt un un 4026 n 1 v , n * . Tính lim v . n  3  ¥ n k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải 4 2 3 un 2013 (un 2013)(un 2013) + Ta có un 1 2013 3 2013 3 (1). un un 4026 (un 2013) (un 2013) * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ . 10