Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.2: Tính giới hạn bằng các công thức cơ bản

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.2: Tính giới hạn bằng các công thức cơ bản

1. 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u1 1 Bài 1. Cho dãy số an thỏa mãn 1 .Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số unn 1 u n * 3 un ua x xác định bởi x n ( n *) hội tụ và giới hạn của nó khác 0. n n n Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un là dãy số dương và tăng(1). 1 Giả sử bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt Lu lim , ta có ngay LL (vô lý). n 3 L Vì vậy không bị chặn trên(2). Từ (1) và (2) ta có limun . 44 33 1 Xét lim uunn 1 . Đặt vn 4 ( ), ta có limvn 0 . 3 un 4 3 4 44111 11 v 3 v32 4 v 6 v 4 u33 u v 4 n n n n . n 1 n 3 n vv 8 4 4nn1 vv 3 1 3 1 vn nn 4 44 3 334 un 4 Suy ra lim uunn 1 . Từ đó lim (sử dụng trung bình Cesaro). 3 n 3 4 khi a 4 3 a 4 uu3 a 4 Ta có limnn lim .ua3 0 khi . n nn 3 44 khi a 33 4 Vậy a là giá trị cần tìm. 3 1 uu ;3 122 Bài 2. Cho dãy số xác định như sau: uu.1 nn 1 * un 2 ,  n N uunn 1 a)Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un 1. b)Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1
2. * uunn 1 11 a)Trước hết ta luôn có un 0,  nN. Xét un 2 1 (1). uunn 1 * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u31n 1,  n N và u32n 1, . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. uunn 1 11 b)Ta có un 2 1 (2). uunn 1 u 1 u 1 u 1 Chia vế của (1) cho (2) có n 21 n., n nN * . u 1 u 1 u 1 un n 21 n n un 1 * * Đặt vn  n N , ta có vn 21 v n. v n  n N . un 1 FFnn 12 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn v21. v , với Fn là dãy số Phibonxi: FF12 1 * . Fn 21 F n F n ,  n N FF 11 nn 12 Hay vn .0 khi n , dẫn đến limun 1. 23 Bài 3. Cho dãy số được xác định như sau. u1 1 . u u u 2 u 4 u 6 16,  n * n 1 n n n n n 1 Đặt vn  , hãy tính limvn . i 1 ui 5 Hướng dẫn giải * Dễ thấy unn 0,  . Theo bài ra ta có. 2 2 22 2 un 1 u n 6 u n u n 6 u n 8 16 u n 6 u n 4 u n 6 u n 4 . 1 1 1 Suy ra un 1 1 u n 1 u n 5 . un 1 1 u n 1 u n 5 nn1 1 1 1 1 1 1 Do đó vn  . ii 11ui 5 u i 1 u i 1 1 u 1 1 u n 1 1 2 u n 1 1 2 Mặt khác, từ un 1 u n 64 u n ta suy ra uunn 1 6 . Kết hợp với u1 1 ta có. n 1* 1 unn 6 ,  n lim u lim 0 . un 1 1 2
3. 1 1 1 Từ đó ta có limvn lim . 2un 1 1 2 * 2* Bài 4. Cho dãy số th aựnc với n thỏa mãn ln 1 unn nu 1,  n . n 1 nu Tìm lim n . n un Hướng dẫn giải 2 Với mỗi , đặt fn x ln 1 x nx 1, x . un 2 2x x 1 Ta có f' x n n 10 . n 11 xx22 ' x 1 fxn 0 . n 1 Do đó fxn là hàm tăng thực sự trên . fn 0 1 0 Ta có 11 . fn ln 1 2 0 nn 1 Do đó  !u sao cho fu 0 và 0 u . n nn n n Ta thấy limun 0 . n 1 2 u2 lim ln 1 un n 1 Do đó: n . 2 limnunn lim 1 ln 1 u 1 nn 2 1 n1 nu nuln 1 n n 2 u2 Vậy lim lim limnunn ln 1 u n 1. . n n n uunn 4 a1 Bài 5. Cho dãy số thỏa mãn: 3 nn 1, . 2 2 n 21 an n a n 11 n a n a n Tìm liman . Hướng dẫn giải 2 2 * n 2 n Dễ thấy ann 0,  . Từ giả thiết ta có n 1 . aann 1 11 Với mỗi , đặt yn ta có y1 1 và. an 4 3
4. 2 22 11 22 n ny 2 n 1 ny n nnynyy 1 2 n 1 n n 1 2 y n . 44 n 2 2 2 2 2 nn 1 2 1 4 41nn2 Do đó yyn ... 1 2 an 2 . nn 1 1 3 nn 1 2 16 nn2 1 Vậy liman 4 . Bài 6. Tính các giới hạn sau: x3 8 21x a) lim 2 . b) lim . x 2 x 4 x 2 x 2 Hướng dẫn giải 2 x3 8 xx 24 a).lim lim 3. xx 22xx2 42 21x b) lim . x 2 x 2 x x2 ... xn n Bài 7. Tính giới hạn lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải x x22 ... xnn n ( x 1) ( x 1) ... ( x 1) lim lim xx 11xx 11 (x 1)[1 ( x 1) ( x21 x 1) ... ( xn ... 1)] lim . x 1 x 1 lim 1 (x 1) ( x21 x 1) ... ( xn ... 1) . x 1 nn( 1) 1 2 3  n 2 . n 1 ax 1 a Bài 8. Cho n là số nguyên dương và a 0.Chứng minh rằng: Lim .. x 0 xn Hướng dẫn giải Đặt y n 1 ax, khi đó từ xy 0 1.. n 1 axy 1 y 1 a Vậy Lim aLim a Lim ... .. x 0x y 1 yn 1 y 1 y 1 ynn 12 y ... y n Bài 9. Tính các giới hạn sau:. 1 13 5 3 9 3 ... (4n 3) 3 cos5x xxsin a/ lim 2 b/ lim . n 1 5 9 ... (4n 3) x 0 cos3x Hướng dẫn giải Câu a. 4
5. nn 13 5 3 9 3 ... (4n 3) 3 (4 i 3) 3 (64 i 3 144 i 2 108 i 27). ii 11 n n n = 64i32 144  i 108  i 27 n. i 1 i 1 i 1 nn(4 2) 159...(4 n 3) 2 n2 n . xn 2 n n n 2 nn( 1) 2 n( n 1)(2 n 1) 3 nn( 1) Mà ta có các công thức: i ; i ; i . i 1 2 i 1 6 i 1 2 Do đó: P() x 13 5 3 9 3 ...(4 n 3) 3 là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc là 64 / 4 16. Và Q() x  15 9 ... (4 n 3)2 là một đa thức bậc có hệ số bậc là . 13 5 3 9 3 ... (4n 3) 3 16 Do đó: lim 4. n 1 5 9 ... (4n 3)2 4 Câu b. cos5xx cos3 cos3x xsin x .cos3 x cos5xx cos3 cos5xx cos3 = lim 1 . x 0 cos3x cos5x cos3 x 2sin 4 x sin x sin 4 x sin x 8 Vì lim lim lim . . 8 . x 0xsin x .cos3 x x 0 x sin x .cos3 x x 0 4 x x cos3 x 1 1 xxsin cos5xx cos3 cos5x 8 Vì lim 0 và áp dụng công thức lim 1 ue u , nên lim e . x 0 cos3x u 0 x 0 cos3x x 2 1 Bài 10. Cho dãy số thỏa mãn x 2 x 3 x ... ( n 1) x .Tìm limu với x 1 2 3n 1 , n 1, n . n n 2 nn( 1) 3 unn ( n 1) x . . Hướng dẫn giải 1 Ta có x . 2 3 3 Với n 3: x1 2 x 2 3 x 3 ... nxnn n x (1). 3 x1 2 x 2 3 x 3 ... ( n 1) xnn 1 ( n 1) x 1 (2). 33 Từ (1) và (2) ta có nxn n x n ( n 1) x n 1 . 1 (nx 1)3 nn 1 cos5x xxsin Suy ra xx n 1 ()..2 . lim nnn3 n n n 1 1 x 0 cos3x n 1 n 2 2 n n 1 3 xx( )2 .( ) 2 ...( ) 2 . . ... . n n n 1 3 n 1 n 4 2 5
6. 2 2 22 4 11 22 4(n 1) n ny xn2 2 n 1 suy ny ra n = lim nnynyy 1 2 42 . n 1 n n 1 2 y n nn ( 1)44 n n 2 * 3 an n 3xx 1. 2 2 Bài 11. Tính giới hạn hàm số : L lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải Ta có:. 31.2x 33 x 2 31.2 x x 31312 x x lim lim . xx 11xx 11 3 2 xx 1 3 1 2 = lim 3x 1 lim . xx 11xx 11 33 3 2 ( 2 x 1) (2 x ) 2 x 1 ( 3xx 1 2)( 3 1 2) = lim 3x 1 lim . xx 11(x 1) 3 (2 x )2 3 2 x 1 (xx 1)( 3 1 2) (2 xx 1) (3 1 4) = lim 3x 1 lim . xx 11(x 1) 3 (2 x )2 3 2 x 1 (xx 1)( 3 1 2) ( 3x 1) 3 1 = lim lim = . xx 11 3 (2 xx )2 3 2 1 ( 3x 1 2) 12 xx2 3 2011 2009 Lim Bài 12. Tính: x 1 x 1 . Hướng dẫn giải x22 3 2 2011( x 1) x 3 4 lim lim[ 2011] xx 11x 1 (xx 1)( 3 2) . limun x 1 4021 lim( 2011) x 1 x 32 2 Bài 13. Cho dãy số thỏa mãn: 4 .Tìm . a1 3 nn 1, 2 2 n 21 an n a n 11 n a n a n Hướng dẫn giải liman Dễ thấy . Từ giả thiết ta có . n 2 2 2 Với mỗi , đặt * ta có và. n ann 0,  n 1 aann 1 11 . yn y1 1 an 4 6
7. Do đó . Vậy . 2 2 2 2 nn 1 2 1 4 41nn2 yyn ... 1 2 an 2 nn 1 1 3 nn 1 12 16a nn2 1 Bài 14. Cho dãy số x  thỏa mãn x 0, x (3 x ), n 2,3,... . n 11nn4 x3 x n 1 liman n 4 Hướng dẫn giải 1 a 4 Ta có xn () x n 111 x n x n 3 a với mọi n 2 . 4 xn 1 Do đó dãy bị chặn dưới. xn 3a 3 1 Với mọi n 3, ta có 4 1 xxnn –1 . xxnn 114 4 4 4 Do đó là dãy giảm. 4 Từ đó suy ra dãy có giới hạn và dễ dàng tìm được lim xan . x1 3 Bài 15. Cho dãy số thực : 1 . Xét dãy số yn cho bởi : xn 3 ,  1,2,3,... n 1 xn (3 5)n ynn n ;  1,2,3,...Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó. 2 .x1 . x 2 . x 3 ... xn Hướng dẫn giải 1 .Ta có : xn 11 3 x n . x n 3 x n 1 ;  n 1,2,3,.... xn .Đặt : znn x1. x 2 . x 3 ... x thì ta có zn 2 x 1. x 2 . x 3 ... x n . x n 1 . x n 2 . zn.. x n 12 x n . zxnn.(3 1 1) . 3zn x n 1 z n . 3zznn 1 . zx11 3 8 Khi đó : z2 x 1. x 2 3. 8 . Suy ra zn là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. 3 zn 21 3 z n z n ;  n 1,2,3,... 35 Xét phương trình đặc trưng : t2 3 t 1 0 t . 2 7
8. nn 3 5 3 5 Dãy có số hạng tổng quát dạng z . n 22 3 5 3 5  3 5 3 5 22 10 trong đó : . 7 3 5 7 3 5 5 3 5   8 22 10 .Lúc này, ta có. un nn 3 5 3 5 n (3 5) 22 1 yn n n n n . 2 .x1 . x 2 . x 3 ... xnn z 3 5 3 5 3 5   22 35 1 1 1 3 5 5 Suy ra : lim yn n . 35  5 3 5 2 .lim 10 35 3 5 5 .Vậy: y khi n n 2 un 3 Bài 16. Cho dãy số xác định bởi: u0 1, unn 1  . Tìm limnun ? . 22 n n unn u 1 Hướng dẫn giải u 1 n Từ giả thiết ta có un n  * nên v xác định bởi có n 1 22 n vunk  n un n k 0 giới hạn hữu hạn, giả sử lim vcn (c hữu hạn). n 112 Cũng từ ta có n un  n . uunn 1 11 2 n un  n . uunn 1 11 2 Do đó 0 u0 . uu10 11 2 1 u1 . uu21 . 11 2 (nu 1) n 1 . uunn 1 8
9. 1 1 (n 1) n (2 n 1) n 1 Cộng theo vế ta được : uk . uun 0 6 k 0 1 (n 1) n (2 n 1) vn 1 1 3 3 3 . n un 6 n n 1 vn Mà limx3 0 ( do )nên. n n n 1 (n 1) n (2 n 1) 1 3 lim lim hay limnun 3. nn 33 n n un 63 n 4 Bài 17. Cho dãy số xác định bởi : x11 1, xn 1 ,  n 1. Chứng minh dãy có giới 1 xn hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 4 4 4 Ta có x 1 3; x 1 2 x ; x 1 x . 22 3 4 1 4 3 2 4 Hàm số fx( ) 1 liên tục và nghịch biến trên [0,+ ), 1 fx ( ) 5 . 1 x 4 Ta có xnn 1 1 f ( x ),  n ()xn bị chặn. 1 xn xx1 3 fx()() 1 fx 3 xx 2 4 fx ()() 2 fx 4 xx 3 5 .... suy ra dãy ()x21n tăng và dãy ()x2n giảm suy ra (xx2nn 1 ),( 2 ) là các dãy hội tụ. Giả sử limx2nn a ;lim x 2 1 b ( a , b 1) . Từ x2n 1 f( x 2 n ) lim x 2 n 1 lim f ( x 2 n ) b f ( a ) . lim vcn Từ x2n 2 f( x 2 n 1 ) limn x 2 n 2 lim f ( x 2 n 1 ) a f ( b ) . 4 b 1 1 a Giải hệ phương trình ab 42 . Vậy limx 2 . 4 n a 1 1 b 1 xn Bài 18. Cho xx12 2014, 2013 và xxnn 21 (1 ) , n 2,3,... Tìm lim xn . nn n Hướng dẫn giải nnn k xxnn 1 ( 1) ( 1) ( 1) Ta có xn 2 x n 1 x n 2 x n 1 () x 2 x 1 và xxn 2 1  . n n!! n k 1 k! ( 1)kk ( 1) 1 Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là x1  x 1 11 x 1 . kk 10k!! k e 9
10. 1 Từ đó suy ra limxn 2015 . n e 10