Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.3: Tính giới hạn bằng định lí kẹp

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.3: Tính giới hạn bằng định lí kẹp

1. 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 1 Bài 1. Tìm lim . n n n! Hướng dẫn giải n Trước hếtta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n(*) ( n N*). 3 1 Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có1 > (đúng). 3 k Giả sử(*) đúng vớin = ktức là : k! > ( )k. Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 n = k+1. k 1 3 Ta có(k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1. > ( )k+1. 1 3 (1 )k k Bất đẳng thức cuối này đúng vì :. 1 k kk( 1) 1 k( k 1)( k 2)....( k k 1) 1 (1+ )k =1+ + . +.+ . =. k k 2! k 2 k! k k 11 1 1 2k 1 1 1 1 1 = 1+1+ (1 ) +.+ (1 )(1 )...(1 ) < 1+1+ + + <1+1+ +.+ <. 2! k k! k k k 2! n! 2 2n 1 1 <1+1+ +.+ +.< 1+ = 3. 1 1 2 n n , n n Vậy (*) đúngvới nk 1. Do đó n! từ đây ta suy ra n! . 3 3 3 => 0 < < . n Vì = 0. Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: = 0. 1 Vậy lim(2014 ) =2014. n n! xx12 1; 2 5 Cho dãy số xn thoả mãn 2 x . xn n 1 ;  * n 2 2 4 xn Tính Ix lim n . Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương. 1
2. yy12 0; 1 Đặt yxnn log2 , ta có dãy * . 2yn 21 5 y n 2 y n ;  n z1 2, z2 1 zz 2; 1 12 2zn 2 5zn 1 zn Lại đặt yznn 2, ta có dãy * . 2zn 21 5 z n z n ;  n 1 Tìm được số hạng tổng quát của dãy là z 4. . n 2n Từ đó ta có limyxnn 2 lim 4 . 2 aann 5 10 Bài 2. Cho dãy ()ann 1 : a1 1; an 1 ,  n 1. 5 an a)Chứng minh dãy ()an hội tụ và tính liman . a a ... a 55 b)Chứng minh 12 n ,  n 1.. n 2 Hướng dẫn giải 3 a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1, a n . n 2 55 xx2 5 10 10 Đặt A và xét hàm f(), x x (x 5) . 2 55 xx 10 3 1 Suy ra fx ( ) 1 0,  x 1; ., như vậy fx() nghịch biến trên đoạn ;1 .. 2 5 x 2 2 a1 a 3 a 5 ... a 2k 1 ... A lima21k b A Dẫn đến . . a2 a 4 a 6 ... a 2k ... A lima2k c A Kết hợp công thức xác định dãy ta được. cc2 5 10 b 5 c 55 bc . bb2 5 10 2 c 5 b 55 Vậy lima . . n 2 55 b) Nhận xét:  t 1; . thì t f( t ) 5 5.. 2 Dẫn đến aa2kk 1 2 55 ,  k 1. 55 a a ... a a 2 k .(1). 1 2 2kk 1 2 2 Như vậy bất đẳng thức đúng với nk 2 . 2
3. 55 Trường hợp nk 21, chú ý a , kết hợp với (1) thu được:. 21k 2 55 a a ... a a a (2 k 1) . 1 2 2k 1 2 k 2 k 1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. un 1 uen * Bài 3. Cho dãy số thực uun :,1 unn 1 ,  .Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu 2 1 eun hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Chứng minh 1 unn 0,  2 1 . 1 e Với n 2, u 2 1;0 đúng. 2 1 e Giả sử 1 đúng với nk 2, ta chứng minh đúng với . un un un uen Ta có uen 01 1 e 0 0 . 1 eun ueun un 1 n uunn un uen 1 ; 11 un e e eu n 11 (luôn đúng). e 1 eun Vậy (1) được chứng minh. xx xex e 1 x e Xét hàm fx x trên ;0 .Ta có fx' 2 . 1 e 1 ex Hàm g x 1 xnk ex có1 g' x 1 ex 0 với mọi x ;0 nên hàm này đồng biến trên . exx 1 x e Suy ra g x g 00 , suy ra fx'0 2 . 1 ex hay hàm fx nghịch biến trên . e e 21 e 1 e e 21 e 2 e Ta có u2 , u3 , uu42 . 1 e 21 e e 21 e 1 e Suy ra f u42 f u u5 u 3 0 u 1 . Quy nạp ta được dãy u21n giảm và dãy u2n tăng. Hơn nữa 1 unn 0,  2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limua2n , limub21n ab, 1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được. 3
4. beb a a b ae 1 e aa2 a 1 e e e1 e . aea b 1 ea t a 1 2 Đặt e t t ;1 , ta được phương trình 1 t t . t1 t 21ln1 t t 1ln t t t ln0 t . e Hàm h t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận 1 thấy t là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất. 2 1 1 Suy ra a ln , thay vào được b ln . 2 2 1 Vậy limu ln . n 2 23n Bài 4. Cho dãy số an ,1 thỏa mãn a 1, a a , n 2 và dãy bn ,1 thỏa mãn n 11nn2n n n bni  a,1 n . Chứng minh dãy bn có giới hạn và tìm giới hạn đó. i 1 Hướng dẫn giải Ta có 2nan 2 n 3 a n 1 a n 1 2 n 1 a n 1 na n , n 1. n Do đó bn 2 ia i i 1 a i 11 2 1 n 1 a n . i 1 1 Ta chứng minh bằng quy nạp rằng na ,1 n . n n Thật vậy:. - Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định đúng. 2 n 1 3 2n 1 1 - Giả sử khẳng định đúng với n n 1 . Ta có aann 1 , ta cần chứng 2 nn 1 2 2 nn 2n 1 1 1 minh 2n 1 n 1 2 n n . 22n n n n 11 n 4n23 4 n 1 n 1 4 n 1 3 n . Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1. Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh. 1 Ta có 2 1 2 1 n 1 ann 1 b 2 . n 1 Theo nguyên lí kẹp thì dãy có giới hạn và limbn 2. 4
5. 1 u1 2 Bài 5. Cho dãy số được xác định bởi: . 11 u u u 2 n 1 n n n 24 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limun . x Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh un cot ;  (*). n 22nn 1 11 Thật vậy: n 1 : u cot . 1 21 2 1 1 2 (*) đúng với . 1 Giả sử (*) đúng tới nk ,k * , nghĩa là có : u cot . k 22kk 1 11 Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy u u u 2 . k 1 24 k k k bn 1 1 1 1 1 cot cot2 cot cot2 1 . k k 11 k k k k 1 k 1 k 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 11 cot ( vì khi k thì 0; sin 0 ). kk 11 k 1 22 sin 2 2k 1 cos 1nk 1 2cos2 1kk 12 1 1 .22 cot . k 1 k 1 k 1 k 2 2sin 2 2sin cos 2 2 2k 1 2 k 2 2 k 2 (*) cũng đúng với . 1 Vậy un cot ;  . n 22nn 1 cos 22nn 111 2 2 limun lim . lim cos . x x nn x 1 22 22nn 11 2 Vậy dãy hội tụ và có limun . x Bài 6. Cho phương trình: xn x2 x 10 với n N, n 2 . 1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất xn . 2)Xét dãy số sau đây: U1n nx n , n 2,3,4,... Tìm limUn ? . 5
6. Hướng dẫn giải Xét phương trình: fx xn x2 x 1 0, với n nguyên, (1). +) Ta có: f’ x nxn 1 – 2 x –1.Do , nên khi x 1 thì fx’0 . Vậy là hàm số đồng biến trên 1; . Lại có: f 1 2 0 ; f 2 2n – 7 0 ( vì n nguyên và n 3). Ta có: ff 1 2 0 và liên tục, đồng biến nên phương trình fx 0 có nghiệm duy nhất trên . +) Mặt khác với 01 x thì xxn 2 ( do ) suy ra fx 0 với mọi . Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, . Gọi là nghiệm dương duy nhất của phương trình xn – x2 – x –1 0. Bây giờ xét dãy Un với Un n xn 1 , n 3,4,5, . n 2 n 2 Ta có: xn xn xn 1 0 hay xn xn xn 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:. 2 xn xn 1 1 .... 1 n 2 2 n so1 xn xn xn 1 n xn xn 1 .1.1....1 < (2). n 1 sô1 n 2 (Chú ý rằng ở đây 1 xn nên xn xn 1 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng). 6 +) Mặt khác do x 2, nên x2 x 6 , nên từ (2) có: 1 x 1 (3). n n n n n 6 Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và lim 0 nên từ (3) ta có: lim x 1. n n 2 n 2 2 ln xn xn 1 +) Ta có: xn xn xn 1 nln xn ln xn xn 1 n . ln xn fx xn 1 2 Từ đó: n xn 1 ln xn xn 1 (5). ln xn Đặt yn xn 1 lim yn 0 . Ta có:suy ra từ (5) limUnn lim n x 1 ln3. Vậy: limUn ln3. ln xn ln ytn 1 ln 1 Bài 7. Cho số thực a, xét dãy số xn được lim lim lim 1 xác định n 1 t 0 xnn n1 2 y t 3 xxnn 66 xn bởi x11 a, xn 2 , n 1,2,.....Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn 397xxnn hữu hạn, tìm giới hạn đó?. 6
7. Hướng dẫn giải Với a 1thì xnn 1,  1nên limxn 1. n 33 xxnn 11 12 Với a 1 thì xnn 1 22 , x 2 ,  n 2 . 3xn 1 9 x n 1 7 3 x n 1 9 x n 1 7 3 3n 1 xxnn 22 1 a 2 Do đó ... , n 1. xnn 1 x 1 1 a 1 nn 11 2 aa 1 33 2 Từ đó, tính được xnn nn 11,1  ,. aa 21 33 3 Kết luận+ a a 1 a 2 lim xn 2. 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xnn ,  n 1 lim x .. 2 2n 2 2012 u1 Bài 8. Cho dãy số ()un xác định như sau: 2013 . Tìm lim un . n 2 unn 2 u 1 1 0 ,  n 1,2,3,... Hướng dẫn giải u2 1 Ta có : u2 2 u 1 0 u n . n n 11 n 22 xx22 1 1 1 Xét hàm số : fx() . 2 2 2 2 f'( x ) x . x 1 0 1 . 2 Ta có :. fx fx 3 8 1 1 1 3 u 1 u 0 u 0. 21 2 2 2 3 8 Vậy :  n 2 thì 10 un . u2 1 u2 2 u 1 0 u n . n n 11 n 2 7
8. x2 11 Gọi a là nghiệm của : x( x ( ;0)) a 1 2 . 22 Ta có : unn 1 a f()() u f a . Theo định lí La-grăng : f( unn ) f ( a ) f '( a ) . u a . 11 Do f'( a ) f ( u ) f ( a ) u a . 22nn 2 n 1 1 1 un 1 a u n a u n 1 a ... u 1 a . 2 2 2 n 1 Mà lim 0 lim (unn 11 a ) 0 lim u a 1 2 . n 2 n n Vậy : limun 1 2 . n 1 u0 2 Bài 9. Cho dãy số u  xác địnhnhư sau: 2 .Chứng minh rằng dãy số n u 5 n unn 1 ,  22 un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Vì 01 u0 nên 0 unn 1,  . 9 * Áp dụng BĐT Cauchy ta có un 26 . Dấu bằng xảy ra un 1. un 2 9 un 26 , n . un 2 2 un 5 19 * unn 1 u 2 2 1,  n . 2 uunn 2 2 2 19 * un 1 u n u n 1 . 2 2 un 2 19 Xét hàm số f x x 1 . 2 2 x 2 19 f' x 0,  x 1 fx nghịch biến trên 1; . 2 22 x 2 * * Vì un 1 f u n f 1 0 u n 1 u n ,  n . ungiảm và bị chặn dưới có giới hạn hữu hạn. 2 un 5 * Giả sử limuan 1 a . Từ un 1 chuyển qua giới hạn ta có. 22 un 8
9. a2 5 a 1 a . 22 a a 5( loai ) * Vậy limun 1 . 2 * un 1 Bài 10. Cho dãy số được xác định bởi: u1 4 và uunn 1 2 , với n .Tìm lim . n u12. u ... un Hướng dẫn giải Với mọi n 1,2,... ; ta có. 2 22 4 2 2 2 2 2 2 un 1 4 u n 2 4 u n 4 u n u n u n 4 u n . u n 1 ( u n 1 4). 2 2 2 2 2 2 ... un u n 1 ... u 2 u 1 ( u 1 4) 12 u n . u n 1 ... u 1 (1). 2 u 4 Từ (1) ta có: n 1 12 ; n 1,2,...(2). u. u ... u 2 12 n u12. u ... un Mặt khác, vì u1 42 nên từ và chứng minh bằng quy nạp ta thu đượcun 2 với mọi . ()u 44 Do đó u. u ... u 2n ;  n n * .Khi đó, 0 ; n 1,2,.... 12 n 2 22n u12. u ... un 4 nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim 0 . n 2 u12. u ... un 2 u Vậy, từ (2) suy ra: limn 1 12 . n u12. u ... un Mặt khác, hàm số f() x x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên. 22 u u u limn 1 lim n 1 lim n 1 12 . n n n u1 u 2... un u1 u 2... un u1 u 2... un u Kết luận: limn 1 12 . n u12. u ... un Bài 11. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực ()xnn 0 thỏa mãn. xx x 1, 0 xn 1  1và (1 x )22 (1 x ) nn 1  n 1.. 0 n nn 1 2 b) Với dãy ()xn xác định như trên, xét dãy ()ynn 0 xác định bởi ynn x01 x ... x  n 0. Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 9
10. a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xác định duy nhất với mỗi n 0. Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1] , phương trình tm (1 tm )22 (1 ) có đúng một nghiệm trên [0;1] . 2 1 1 1 1 1 b) Để ý rằng y x( x x ) ( x x ) ( x  x ) x n 1.. n20 2 0 1 2 1 2 2 n 1 n 2 n 3 Ta có giới hạn cần tìm bằng . . 2 Bài 12. Giả sử Fnn 1,2,... là dãy Fibonacci ( FFFFF1 2 1; n 1 n n 1 với ). Chứng minh F rằng nếu a n 1 với mọi n 1,2,3,...thì dãy số , trong đó Fn 1 x11 a, xn n 1,2,3... , là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn. 1 xn Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Giả sử x12, x ,..., xm đã được xác định. Khi đó xm 1 được xác định khi xm 1. 1 * Nếu xm 1 thì do xm nên xm 1 2. 1 xm 1 F2 F3 Từ giả thiết ta viết xm , xm 1 . F1 F2 Fi 2 Giả sử xmi , với i nào đó, 02 im . Fi 1 1 1 FFii 13 Vì xmi nên xmi 1 11 . 1 xmi 1 xm i F i 22 F i Fm 1 Fm 1 Khi đó x1 . Mâu thuẫn với giả thiết x1 . Như vậy là dãy số xác định. Fm Fm 1 5 1 5 1 Phương trình x x2 x 10 có hai nghiệm uv , . Có hai trường hợp xảy ra:. 1 x 22 51 Trường hợp 1: xv1 . Khi đó xn x1,1  n . Do đó lim xn . n 2 11 v Trường hợp 2: xv1 . Chú ý v xnn x v . Do đó xn v,1  n . 1 xvn ()xn xu Đặt z n , ta có. n xn xvn xn 10