Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.4: Các dạng khác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Dãy số-Giới hạn - Phần 3.4: Các dạng khác

1. 3.4. CÁC DẠNG KHÁC x 2016 1 Bài 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để dãy số xn : m * có giới hạn hữu hạn. xn 1 2  n N 1 xn Hướng dẫn giải *) m 0 0 xn m  n 1. m 2mx Xét hàm số: fx() ta có fx'( ) fx nghịch biến trên 0; m . x2 1 (x22 1) Suy ra (xx2nn ),( 2 1 ) đơn điêụ và bi ̣chăṇ . 2017 x1 x 3 x 5 ... + 0, m x1 x 2 x 3 . 2016 xxx2 4 6 ... 4mm f( f (1)) 1, x 1 x 1  n N * . m2 422 2017 n a(1 b2 ) m Giả sư limx a ,lim x b a 1, ( I ) . ̉ 2nn 2 1 2 b(1 a ) m ab ()II 3 a a m 1 ()I b . a ()III 1 am a Khi om 2hê ̣(I) có nghiệm duy nhất có giới hạn hữu hạn. 2017 Khi 2 m hê ̣ (II) có nghiệm duy nhất lớn hơn 1và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a b . Do đó 2016 limx2n lim x 2 n 1 ( x n ) không có giớ i haṇ . 2017 x1 x 3 x 5 ... m 2017 2016 x1 x 2 , x 1 x 3 . 2016 xxx2 4 6 ... limx2n lim x 2 n 1 ( x n ) không có giớ i haṇ . * + m 2017 2016 xnn 2016  n N l imx 2016 . x1 x 3 x 5 ... + m 2017 2016 x1 x 2 , x 1 x 3 . xxx2 4 6 ... limx2n lim x 2 n 1 ( x n ) không có giớ i haṇ . *) m 0 tươṇ g tư ̣ ta có 02 m và m 2017 2016 . 1
2. xx3 66 Bài 2. Cho số thực xét dãy số x được xác định bởi x a, x nn , n 1,2,.....Tìm a, n n 1 11n 2 397xxnn tất cả các giá trị của để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a 1thì xnn 1,  1nên limxn 1. n 33 xxnn 11 12 Với a 1 thì xnn 1 22 , x 2 ,  n 2 . 3xn 1 9 x n 1 7 3 x n 1 9 x n 1 7 3 3n 1 xxnn 22 1 a 2 Do đó ... , n 1. xnn 1 x 1 1 a 1 nn 11 2 aa 1 33 2 Từ đó, tính được xnn nn 11,1  ,. aa 21 33 3 Kết luận+ a a 1 a 2 lim xn 2. 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xnn ,  n 1 lim x .. 2 2n 2 1 an 1 abnn ab, ab 3, 2 1 a Bài 3. Cho hai dãy số dương nn nn 00 xác định bởi: 00 và n 1 22 abnn 1 n 0,1,2,.... Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 a tan , b , n 0,1,2,... (*) . Thật vậy. a nnn 3.2 cos 3.2n 1 n 0 ab 3 tan tan , 2 , vậy * đúng. 000 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 n 1 ab tan tan , , vậy đúng. 111 336 3.2 cos 3.21 1 n k,1 k , tức là ab tan , . nnn 3.2 cos 3.2n 1 ab tan , . Thật vậy. Từ 1 ta có. nn 11n 1 3.2 cos 3.2n 1 2
3. sin 1 2sin cos sin22 cos 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 22 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2 n 11 3.2 n 2 sinnn 11 cos 3.2 3.2 cosn 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 sin cos tan 1 n 1 nn 11 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 n 1 cos sin 1 tan 3.2 3.2n 1 3.2 n 1 3.2 n 1 11 Khi đó từ 2 , suy rab2 a 2 1 tan 2 1 b . n 1 n 1n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2nn 11 3.2 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan , b , n 0,1,2,... . nnn 3.2 cos 3.2n 11 Do đó limabnn lim tan tan 0 0; lim lim 1. n n n n 3.2n cos cos0 3.2n Kết luận: limabnn 0; lim 1.■. n n u1 2014 Bài 4. Cho dãy số ()un xác định như sau : 22.Tìm điều kiện của unn 1 u (1 2 a ) u n a ;  n 1,2,... để dãy số có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 11 u n ( u n a ) 0 u n u n ;  n 1,2,3,.... a * Suy ra dãy số tăng knn ; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. 22 Giả sử limun L ( L ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 u n (1 2 a ) u n a ta có: n L L22 (1 2 a ) L a L a . * - Nếu có chỉ số k mà uak thì un a;  n k trái với kết quả lim un L a . n 22 Do đó: uak với mọi k 1,2,... hay unn (1 2 a ) u a a ,  n 1,2,3,.... a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 22 (uaua1 1)( 1 )0 u 1 (12) auaa 1 0 ua 2 . và u1 u 2 a 1 u 2 a . 3
4. Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a ,  n 1,2,3,... (H/s trình bày ra). Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn. xn Kết luận: Với điều kiện aa 1 2014 thì dãy số có giới hạn hữu hạn khi và lim uan . n xa1 Bài 5. Cho dãy số thỏa mãn 2x3 .Tìm a sao cho dãy số xác định và có xn n , 1,2,3,... n 1 2 31xn giới hạn hữu hạn. Hướng dẫn giải 23x3 Đặt f x , x . Ta có x a, x f x . Ta có. 3x2 1 3 11nn 22 66xx42 61xx fx' 22. 3xx22 1 3 1 Bảng biến thiên. 3 Ta xây dựng dãy số như sau a , a f a , a f a , a f a ,... . 03 0 1 1 2 2 3 Nhận thấy a1, a 3 ,..., a 2kk 1 ,... 0; a 0 , a 2 ,..., a 2 ,... 0 . 33 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a ;0 , a f 1 a 0; . 1 2 1 33 ()un aa fa fa aa fa fa aa . 2 0 3 1 3 1 4n 2 4 2 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy a đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy a đơn điệu 2k 3 21k 3 tăng và bị chặn bởi và 0. Từ đó tồn tại lim aa2kk , lim 2 1 . a 3 kk Ta có afan n 1 ffa n 2 lim aff n lim a n 2 lffl . 3 2l3 2 2 31l 21 2 4 2 l 2 l l l 1 20 l 15 l 5 0 (*). 2l3 5 31 2 31l 3 3 (do liên tục trên ;0 , 0; và la lim n ). n 3 3 3 13 5 Xét 0 l . Ta có f f an a n a n 2 a n 0 nên * an . Vậy l . 3 5 3 5 4
5. 5 Tương tự ta chứng minh được dãy đơn điệu tăng, hội tụ về . 5 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a thì x2 x 1, x 3 x 2 nên ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. +) Nếu tồn tại n sao cho aa n thì ta có. 3 xafxfa xa fxfa xa,..., xa . 1n 1 n 2 n 1 2 n 1 3 n 2 n 1 0 3 Khi đó không tồn tại xn 2 . Vậy nếu thì dãy không xác định. 5 +) Nếu 0 a thì hai dãy con xx , cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0. 5 2kk 2 1 Nếu a 1 thì x21 f a a x và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1. Khi đó dãy hội tụ về 1. 3 +) Nếu a 1 thì x2 f a 1. Khi a đó ta có thể khảo sát dãy từ x2 . Trường hợp này a dãy đơn điệu 3 2k 21k giảm và bị chặn dưới bởi nên hội tụ về . 1 a +) Nếu a = 1 thì xnn 1 nên dãy hội tụ về . 53 5 3 +) Nếu a ta có lim a2n và a0 nên tồn tại aa2kk, 2 2 sao cho a2kk 2 a a 2 (Thật 53 5 n 3 vậy, các số hạng của không thể cùng nằm bên trái a do , chúng cũng không thể cùng nằm 35 bên phải do nếu thế thì a a22nn lim a ). 35n 3 Vậy aaa ; xaa ; ,..., xaax ; , a ; x . Khi đó ta lại có 222k k 2222 k k 2 k 20220 k 22 k 3 dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1. 53 Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp a0, 1 a , a 1, a 1 ta khảo sát tương tự. 53 5
6. Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là. 35 a ; a ; a a ,  n 1,2,3,.... 35n n Bài 6. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và ann 1  a , n 1.Chứng minh rằng an lim ann 0. n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có aa21 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an nn,2  . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có akk 1 a k 11 akk k ka . ak 2 akk k 1 a k 0 . akk 1 a k 0(đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy (điều phải chứng minh). nn Mặt khác, an 1 n 1 a n n 1 a n n 1. aann a2 n 11 a n a n a n n n n (1). aann Áp dụng (1) ta có. aa22 21 a3 3 a 2 aa33 31 a4 4 a3 . ... ann n a 1 ann 1 1 an a2 2 a 2 1 a 3 3 a 3 1 ... ann n a 1 Suy ra a3 3 a 4 4 ... an 1 n 1 . a23 a... an 6
7. a2 2 a 2 1 a 3 1 ... an 1 ann 1 1 . a23 a... an 1 1 1 an 12 n 1 a 2 1 1 ... 1 . a23 a an n 1 an 12 nlim 1 an n a 2 0 1 (2). n  i 2 ai n an 1 1 ann 1 1 a an n Ta lại có 1 (do an n 1). ann 1 a 11 an an 1 an n 1 aa a a Suy ra  1 1. 2... n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an aa11 Từ (2) an 1 n 1 aa22 2 . 2 . (vì an n ). an n a 0 a n12 a . 1 . n 12n aa11 Mà lim 0 lim a2 2 0 . nn nn Do đó limann 1 1 0 hay . n * 1 a Bài 7. Cho pa ,0 và a1 0 . Xét dãy số ()an được xác định bởi: ann 1 ( p 1) a p 1 , pa n với mọi n 1.Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Côsi ta có:. 11aap 1 p a a a ... a p .p a . a , với  n 1.(1). n 1 p  n n n app 11 p n a p 1 nn 1 a an 1 a n ( p 1) a n p 1 a n pa n Do đó: . p anna a a pp 11 0; n 2 (2) p p.. ann p a Từ (1) và (2) ta có dãy số giảm và bị chặn dưới bởi p a ;. suy ra dãy số có giới hạn hữu hạn khi . p Giả sử lim aLn ; ( La ). n 7
8. Chuyển qua giới hạn hệ thức . 1 a ppx ta có phương trình L ( p 1) L pL ( p 1)n L a . pL p 1 p p L a L a (thỏa mãn điều kiện). p Vậy lim aan . n 1 1 Bài 8. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương thỏa mãn xn 1 1 với xn mọi n * .Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f( x ) x , x 0 . x 1 1 11 x Ta có f'( x ) x 1 ; f'( x ) 0 x x 1 . xx22 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ 1 a a ( p 1) a f(x) nn 1 p 1 pa n f(x0) . 1 1 1 1 Suy ra f( x ) f x0 ( 1) . 11 1 Do đó xxnn 11 1 . xxnn 1 Suy ra xxnn 1 hay là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy hội tụ. 1 Đặt limx  0. Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . un (0;1) Bài 9. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn  n 1 uunn 1(1 ) c đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy . Hướng dẫn giải 8
9. Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có unn 1 41cun ;  . 4 1 uun n(1 u n ) n 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra uun (4c ) 1 . Do 41c nên un khi . Do đó, không thỏa mãn. 1 1 1 4cc 1 1 4 a(1 b ) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,;,b ab sao cho .Thật vây, lấy 4 22 b(1 a ) c 1 1 4cc 1 1 4 a ;, đặt b a x (x 0) , thì. 22n * a(1 a ) c a(1 b ) c a (1 a x ) c x . a Chú ý là b(1 a ) a (1 a ) c . Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số xác định bởi. a khi nm 2 un . bkhi n 21 m thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, cũng không thỏa mãn. 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy radãy tăng và bị chặn. Do đó, hội tụ. 4 4(1 uunn)4 n (1 u ) n 1 1 1 Đặt xu lim , thì từ giả thiết ta có xx(1 ) hay x . Vậy limu . . n 4 2 n 2 2 Bài 10. Cho dãy số un xác định như sau: u1 2 , un 1 u n u n 1, . Tìm giới hạn của dãy 1 1 1 * sn với snn ... , . u12 u un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2. Xét tính đơn điệu của dãy . Từ hệ thức ta suy ra được * 2 n , un 1 u n u n 1 0, vậy dãy số tăng. Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un 1 11 u n u n . 1 1 1 1 1 1 1 (un ) * với . un 1 1 u n u n 1 u n 1 u n un u n 11 u n 1 Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :. 9
10. 1 1 1 1 ... 1 . u1 u 2 unn u 1 1 Do dãy là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:. 1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử limun a a 2 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: n a a22 a 1 a 2 a 1 0 a 1, vô lý. 2) Dãykhông bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên 1 limuunn lim 1 lim 0. n n n un 1 1 1 1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim ... lim 1 1. nn u12 u unn u 3 1 un Bài 11. Cho dãy số (un) thỏa mãn : u01 2016; unn u .Tính lim . 2 n un n Hướng dẫn giải 3 33 1 3 1 (un 1 ) u n 2 u n 3 3 6 . un u n u n 3 331 3 Do unn 0 => (un 1 ) u n 3 36 u n 3 ,  n . uunn 3 3 3 suy ra (un ) u0 3 n 2016 3 n ,  n (1). Lại có. n 3 1 3 1 (u )33 u u 3 n 1 n2 nu 3 6 unn u n u n . 333 1 1 1 uunn 33 3 22 2016 3nn 20163 3n 3n 33 11 => (unn 1 ) u 3  n . n 3n 2 Suy ra. n 111 n 1 n 1 n 1 (u )3 u 3 3( n 1) u 3 3 n . n 11 22   k 1k k 199 k k 1 k k 1 k n 1 1 1 1 1 Do 1 ... 2 2 .  2 k 1 k1.2 2.3 ( n 1) n n 2 nn11 và  nn2 2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki). kk 11kk 10