Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình - Phần I: Phương trình

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình - Phần I: Phương trình

1. I. PHƯƠNG TRèNH 1. Khụng cú tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương Cõu 1. Giải phương trỡnh 3 x4 x2 2 5 x5 x2 2 3 x4 3x 2 2 5 x5 3x Lời giải +Biến đổi phương trỡnh tương đương : x2 3x 2 0 x 1 x 2 Cõu 2. Giải phương trỡnh 4 x 1 2 2x 3 (x 1)(x 2 2). Lời giải Điều kiện: x 1. Nhận thấy x 1 là một nghiệm của phương trỡnh. Xột x 1. Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với 4 x 1 2 2 2x 3 3 x3 x 2 2x 12 4(x 3) 4(x 3) (x 3)(x 2 2x 4) x 1 2 2x 3 3 4 4 2 x 3 (x 1) 3 0. (1) x 1 2 2x 3 3 4 4 Vỡ x 1 nờn x 1 0 và 2x 3 1. Suy ra 3, vỡ vậy x 1 2 2x 3 3 4 4 (x 1)2 3 0. x 1 2 2x 3 3 Do đú phương trỡnh (1) x 3 0 x 3. Vậy phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm là x 1 hoặc x 3. Cõu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trỡnh sau : 3 x 1 3 x 1 3 5x Lời giải 1
2. 3 2 3 x 1 3 x 1 3 5x 2x 3 x 1 3 x 1 3 x 1 5x 3 2 3 5 x 13 5x x 4x 5x 0 x 0;x . 2 5 Thử lại ta thấy phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x = . 2 Cõu 4. Giải phương trỡnh: x2 6x 1 2x 1 x2 2x 3 1 ,với x R . Hướng dẫn giải. 1 x2 2x 3 2x 1 x2 2x 3 4x 2 0 x2 2x 3 2x 1 x2 2x 3 2 0 x2 2x 3 2x 1 2 x 2x 3 2 1 2 x 3 15 x 2x 3 2x 1 2 x 2 3 3x 6x 2 0 Cõu 5. Giải phương trỡnh 3x 2 x 1 2x2 x 3. Hướng dẫn giải. 2x 3 3x 2 x 1 2x2 x 3 (2x 3)(x 1) 3x 2 x 1 Tỡm được nghiệm duy nhất x=2/3 Cõu 6. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 . Hướng dẫn giải Ta cú: x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 2 x2 2x y 1 y 1 4y2 8y 4 7 2 2 x y 1 2y 2 7 3y x 1 y x 3 7 Vỡ 7 là số nguyờn tố nờn ta cú cỏc trường hợp sau: 3y y 1 7 3y y 1 7 3y y 1 1 3y y 1 1 ; ; ; y x 3 1 y x 3 1 y x 3 7 y x 3 7 2
3. Giải ba hệ phương trỡnh trờn ta được: x; y 3;1 , 1; 3 , 7; 3 . Cõu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Húa, 2009-2010) Giải phương trỡnh: 2 1 5 6x x2 x 1 5 x Hướng dẫn giải 2 t 2 4 Đặt t x 1 5 x ta được 1 t 2 t 2 2t 2 0 t 2 Giải ta được t 2 suy ra x 1, x 5 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1. Giải phương trỡnh trờn tập số thực: x2 + x +9 = 2x 4 x +1 (1). Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1. 2 x2 x 9 2x 4 x 1 x 2 5 x 1 2 x 2 x 1 gx 1khụng là nghiệm của phương trỡnh. 2 x 2 x 2 gx 1: pt(1) 5 2 1. x 1 x 1 x 2 Đặt t = . x 1 2 Phương trỡnh trở thành: t2 +5 = 2t +1 t = . 3 20+ 4 7 20 4 7  Khi đú ta cú: 2 x +1 = 3x 6 x = . Vậy S . 9 9  Bài 2. Giải phương trỡnh sau trờn tập số thực: 2x2 3x 7 x 5 2x2 1 . Hướng dẫn giải Phương trỡnh (1) 2x2 1 x 5 2x2 1 3x 6 0 . Đặt t 2x2 1. Ta cú phương trỡnh: t 2 x 5 t 3x 6 0(*). 2 2 x 5 4 3x 6 x 1 . t 3 Phương trỡnh (*) t x 2 3
4. x 2 0 2 2 t 3 2x 1 3 x 2 t x 2 2x 1 x 2 2 x 4x 3 0 x 2 x 2 7 . x 2 7 Vậy S 2;2 7 . Bài 3. Giải phương trỡnh sau trờn tập số thực: 2x2 x 5 x2 x 2 2x2 x 1 x 3 0. Hướng dẫn giải 2 7 a x x 2 a Đặt . Điều kiện: 2 . b x 3 b 0 Ta cú: 2x2 x 5 2a2 3b2 ; 2x2 x 1 2a2 b2. 3 2 2 2 2 2 b b b Thay vào phương trỡnh ta được: 2a 3b a 2a b b 0 3 2 2 0 a a a b 1 a 2 b b 4 2 0 a a 2 b b b +) 4 2 0 : phương trỡnh vụ nghiệm do 0. a a a b 2 x 1 ) 1 b a x 3 x x 2 . a x 1 Vậy x 1; x 1 là nghiệm phương trỡnh. Bài 4. Giải phương trỡnh sau 2x3 10x2 17x 8 2x2 3 5x x3 Lời giải Nhận xột rằng x 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh đó cho. 1 Suy ra x 0 . Chia cả hai vế của phương trỡnh cho x3 rồi đặt t , t 0 , ta cú phương trỡnh x 8t3 17t 2 10t 2 2 3 5t 2 1 2t 1 3 2 2t 1 5t 2 1 2 3 5t 2 1 * Xột hàm số f t t3 2t, t Ă . Ta cú hàm số f t liờn tục trờn Ă và f ' t 3t 2 2 0,t . 4
5. Suy ra hàm số f t luụn đồng biến trờn khoảng ; . Khi đú phương trỡnh đó cho cú dạng f 2t 1 f 3 5t 2 1 2t 1 3 5t 2 1 17 97 8t3 17t 2 6t 0 t (do t 0) 16 17 97 17 97 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm là x và x . 1 12 2 12 Bài 5. Giải phương trỡnh sau : 4x 1 x2 1 2x2 2x 1 Lời giải Đặt y x2 1 1 y2 x2 1 2y2 (1 4x)y 2x 1 0 . 4 y 2x 1 x 3 5x2 2 3 x3 5x2 1 . 6 Điều kiện xỏc định: 5x2 2 0. 5x2 2 Đặt t (t 0). Ta cú 5x2 6t 2 2 . 6 Phương trỡnh đó cho trở thành 3 x3 6t 2 2 1 t x3 6t 2 2 (t 1)3 x3 (t 1)3 x t 1 t x 1 x 1 5x2 2 x 1 x 1 2 5x 2 2 2 6 (x 1) x 12x 8 0 6 x 6 28 (tm đk). Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm là x 6 28. Bài 6. Giải phương trỡnh: log (x2 2x 11) log (x2 2x 12) (1) 2 5 2 2 5 x2 2x 12 0 • Điều kiện: (*) 2 x 2x 11 0 • (2 5)2 9 4 5 và (2 2 5 )2 8 4 5 do đú 2 5 9 4 5 và 2 2 5 8 4 5 . • (1) log (x2 2x 11) log (x2 2x 12) 9 4 5 8 4 5 log (x2 2x 11) log (x2 2x 12) 9 4 5 8 4 5 5
6. • Đặt: a = 8 + 4 5 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0. • Do đú: (1) lna + 1(t + 1) = lnat t a y Cỏch 1: (1) ln (t + 1) = ln t (I) . a + 1 a y t 1 (a 1) y y a 1 • Từ (I) ta được: 1 (2). a +1 a +1 • y = 1: là nghiệm của (2). y y y y a 1 a 1 a 1 a 1 • y < 1: 1, y < 1: 1. a +1 a +1 a +1 a +1 a +1 a +1 a +1 a +1 • Nờn (2) cú nghiệm duy nhất: y = 1. Do đú: (1) t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *) x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . • Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . Cỏch 2: Xột hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1 1 1 • Ta được: y ' 0 vỡ a > 1, nờn hàm số giảm trờn (0; + ) và ta cú f(t) = 0 cú (t 1)ln(a 1) t ln a nghiệm t = a nờn f(t) cú nghiệm duy nhất t = a. 2 • Vậy: (1) (1) lna + 1(t + 1) = lnat t = a x – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *) x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . • Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . Bài 7. Giải phương trỡnh: 3(x2 2x 2) 10 x3 2x2 2x 1 (1). • x3 2x2 2x 1 (x 1)(x2 x 1) nờn điều kiện là: x -1. •x 2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt a x 1 , b x2 x 1 • Với điều kiện x -1: (1) trở thành: 3(a2 + b2) = 10ab 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 (a – 3b)(3a – b) = 0 a = 3b hay a = b/3. • a = 3b x 1=3 x2 x 1 x + 1 = 9(x2 + x + 1) 9x2 + 8x + 8 = 0 (vụ nghiệm) • a = b/3 3a = b 3 x 1 = x2 x 1 9(x + 1) = x2 + x + 1 x2 - 8x - 8 = 0 x 4 2 6 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm: x 4 2 6 . Bài 8. Giải phương trỡnh : x3 3x2 2 x 1 Điều kiện: x -1 +) Nếu x > 3 thỡ: x 3 - 3x 2 + 2 = (x – 1) 3 - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 > x 1 Chứng tỏ x > 3 khụng thỏa món Với -1 x 3 Đặt x = 2cost + 1 ( 0 t ) 6
7. Khi đú phương trỡnh trở thành: (2cost + 1) 3 - 3(2cost + 1) 2 + 2 = 2 cos t 2 8cos 3 t – 6cost = 2(cost 1) t 2cos3t = 2cos 2 t cos3t = cos 2 t 4k 3t 2k t 2 5 t 4k 3t 2k t 2 7 5x2 2 Bài 9. Giải phương trỡnh 3 x3 5x2 1 6 Hướng dẫn giải Điều kiện xỏc định: 5x2 2 0. 5x2 2 Đặt t(t 0). Ta cú 5x2 6t 2 2 . 6 Phương trỡnh đó cho trở thành 3 x3 6t 2 2 1 t x3 6t 2 2 (t 1)3 x3 (t 1)3 x t 1 t x 1 x 1 5x2 2 x 1 x 1 2 x 6 28 . 5x 2 2 2 6 (x 1) x 12x 8 0 6 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là x 6 28. Bài 10. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trỡnh : 1 1 x2 1 x 3 1 x 3 2 1 x2 Bài 11. [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trỡnh x3 1 2 3 2x 1 Lời giải Phương trỡnh tương đương với x3 2x 2x 1 2 3 2x 1 Đặt t 3 2x 1 , ta cú phương trỡnh x3 2x t3 2t 7
8. x t x2 xt t 2 2 x t 0 x t x2 xt t 2 2 0 1 2 2 2 2 t 3t Vỡ x xt t 2 x 2 0 nờn (1) x t 2 4 x 1 3 3 2 x 2x 1 x 2x 1 0 x 1 x x 1 0 1 5 x 2 1 5  Tập nghiệm S 1;  2  Bài 12. Giải phương trỡnh: x 4 x 2 1 3 x 2 1 3 3x ,với x Ă Hướng dẫn giải. Từ pt ta thấy x0 2 1 1 (1) x 2 1 3 x 3 3 x x 1 Đặt: t x ,t 2 x Pt trở thành: t 2 1 3 3 t t 3 2 t 2 t 9t 14 0 1 x 2 x 1 x Giải phương trỡnh x3 5x2 12x 6 2 3 x2 x 1 Bài 13. Giải phương trỡnh: x 2 3x 1 x x2 1. 3 4x . Hướng dẫn giải. Đặt u x;1 ,v 2 3x; 1 x từ phương trỡnh ta cú u.v u . v Như vậy: u,v ngược hướng 2 3x 1 x Suy ra: (1) x 1 8
9. 1 5 Giải (1) và thử lại ta thấy phương trỡnh đó cho cú nghiệm là x 2 Bài 14. Giải phương trỡnh: x 10 10 x ,với x R Hướng dẫn giải. Đk: x 0 Đặt u 10 x,u 10 x 10 u Ta cú: u 10 x x u x u 0 x u x u 1 0 x u u x 1 0(VL) x 10 21 41 x u x x 10 x 2 x 21x 100 0 2 21 41 Vậy phương trỡnh cú một nghiệm: x , 2 4 Giải phương trỡnh: 3 81x 8 x3 2x2 x 2 . 3 3x Bài 15. Giải phương trỡnh: x 1 x2 1 Hướng dẫn giải. Phương trỡnh đó cho cú điều kiện 0 x 1 3x 3x Với điều kiện trờn ta cú: x 1 x2 1 x2 1 1 x (1 x)2(x2 1) 9x2 2 1 1 x 2 2 x 7 0 x x 1 t 1 10 Đặt t x (t 2) ta cú:t2 2t 9 0 t 1 10 x t 1 10 1 10 5 2 x 1 2 Với t 1 10 ta cú : x 1 10 x 1 10 5 2 x 2 9
10. 1 10 5 2 So với điều kiện 0 x 1, phương trỡnh đó cho cú nghiệm x 2 Bài 16. Giải phương trỡnh sau trờn tập số thực: x 1 (2x 1) x 1 2 . Hướng dẫn giải. 1 Điều kiện: x . Đặt y x 1 2 ( y 2 ), 2 x 1 y 2(x 1)y ta thu được hệ 2 y x 1 2 Suy ra x 1 y y2 x 1 (x 1)y y x 1 1 y x 1 y2 x 1 0 y x 1 1 y 2 x 1 0 y 2 x 1 15 33 Do vậy x 1 2 2 x 1 x . 32 15 33 Thay vào, thử lại thấy x thỏa món. 32 15 33 Đỏp số: x . 32 Bài 17. Giải phương trỡnh: x 2 6x 2 4x x 1. Hướng dẫn giải. 2 x  x 0 2 3 6x 4x 0 2 1 5 1 5 pt x 1 x 0 x 2 2 2 2 2 6x 4x (x 1 x ) 2 2 2 6x 4x (x 1 x ) (1) (1) x 4 1 2x 3 2x x 2 = 0 2 1 1 x 2 x 7 0 (x = 0 khụng là nghiệm) x 2 x 1 t 1 10 Đặt t x (t 2) ta được t 2 2t 9 0 x t 1 10 10