Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình - Phần III: Hệ phương trình

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình - Phần III: Hệ phương trình

1. III. HỆ PHƯƠNG TRINH 1. Không có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương y x 1 5 3x (2) Bài 1. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 x x 1 y 2y y y 1 x 2xy (3) Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1. y x 1 y x 1 Phương trình (3) x y 1 y2 2y x2 0 2 2 2 2 y 2y x 0 y 1 x 1 0 y x 1 x 1 y x 1 (vì x 1) . y 1 (vì (1;1) không thỏa phương trình(2)) Thay vào phương trình (2), ta được : 3 x 1 1 x 2 x 1 3 x 1 2 0 (n) . 2 x 1 x 3 x 5 2 3 Vậy x, y 2;1 ; x, y 5 2 3;4 2 3 . x2 y2 6 2 x y 3 x y Bài 2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 3 x 2 2 3 y x 5y 15 0 Hướng dẫn giải x2 y2 6 2 x y 3 x y (1) Đặt . 2 3 x 2 2 3 y x 5y 15 0 (2) x y 0 Điều kiện: x y 0. x 2 (1) x y 2 x y 3 0 y 4 x Thay vào (2) ta được: 3 x 2 2 3 4 x x2 5x 5 0 x 3 3 x 3 2 (x 3)(x 2) 0 3 2 3 x 2 1 (4 x) 4 x 1 x 3 3 2 x 2 0 (*) 3 2 3 x 2 1 (4 x) 4 x 1 1
2. Phương trình (*) vô nghiệm do: x 2 x 2 0 VT 0 . Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình. x3 y(1 y) x2 y2 (2 y) xy3 30 0 Câu 1. Giải hệ phương trình: 2 2 x y x(1 y y ) y 11 0 x 2y 4x y 5 Câu 2. Giải hệ phương trình: x, y ¡ . x y 1 3 2 x3 xy2 y6 y4 x xy e e ln 6 4 0 Câu 3. Giải hệ phương trình: y y y 0 2 8 3 4y 3 24x 16x Lời giải 3 Điều kiện: x 0; 0 y . 4 3 2 x3 xy2 y6 y4 x xy x3 xy2 3 2 y6 y4 6 4 - Ta có e e ln 6 4 0 e ln x xy e ln y y (1). y y 1 Xét hàm số f t et ln t ( t > 0 ) f ' t et 0, t > 0 , suy ra hàm số g(t) đồng t biến trên khoảng 0; . Kết hợp với (1) ta có x3 xy2 y6 y4 x3 y6 y2 x y2 0 x y2 x2 xy2 y4 y2 0 x y2 2 - Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được: 8 3 4y 3 24y2 16y4 16y4 24y2 8 3 4y 3 0 3 Xét hàm số g y 16y4 24y2 8 3 4y 3 16 16 3 g ' y 64y3 48y 16y 4y2 3 0, 0< y 3 4y 3 4y 4 3 Suy ra hàm số g y nghịch biến trên khoảng 0; , từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy 4 1 1 nhất y , suy ra x . 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y , . 2 2 2
3. 2 4 x y 8 y 7x 1 Bài 3. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 6y 2x 4 x y 1. y 1 Điều kiện : 0 x 4 2 x y 2 6y 2x 4 x y 1 2x2 4xy 2y2 2x 6y 4 x y 1 2 x y 1 2 x2 2x y 1 y 1 2 y 1 x 2 x y 1 2 2 y 1 x x y 1 0 y x 1 Thế vào pt đầu ta được 4 x x 7 x2 5x x2 3x 3 x 1 4 x x 2 x 7 2 1 1 x 3x 3 1 x 1 4 x x 2 x 7 3 21 x 2 2 x 3x 3 0 5 21 y 2 2 y x (x y) Bài 4. Giải hpt 3 x y (x, y ¡ ). 2 2 2(x y ) 3 2x 1 11 1 Điều kiện x ≥ 2 Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0. y x2 (x y) 3 x y x2 (x y)( 3 x y 1) x2 (x y) y 0 x2 (x y)(x y 1) x2 (x y) y2 Ta có 0 3 (x y)2 3 x y 1 x2 (x y) y x2 (x y) x y (x y 1) 0 3 2 3 2 (x y) x y 1 x (x y) y x y 1 0 y x 1 3
4. Thay vào phương trình thứ hai ta được 4x2 4x 2 3 2x 1 11 Đặt t = 2x 1 ta được t4 – 3t – 10 = 0 t = 2 5 3 Từ đó tìm được (x, y) ( , ) 2 2 x, y 0 Bài 5. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: x y 2 . x 1 y 1 x y 1 Hướng dẫn giải Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì xx 1 y y 1 1 x 1 ln x y 1 ln y 0 Thay y 2 x ,ta chứng minh f x x 1 ln x 3 x ln 2 x 0 với 0 x 2 1 1 Ta có f ' x ln x ln 2 x x 2 x 1 1 1 1 f '' x 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 1 1 1 1 1 x 1 1 1 0 x 2 x 2 x 2 x x 2 x x 2 x Do đó f ' x nghịch biến trên 0;2 , hơn nữa f ' 1 0 nên f ' x nhận giá trị dương trên 0;1 và âm trên 1;2 .Suy ra f x f 1 0 với mọi x 0;2 . Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x y 1. x4 x3 y 9y y3 x x2 y2 9x Bài 6. Giải hệ phương trình sau: 3 3 x(y x ) 7 Hướng dẫn giải x4 x3 y 9y y3 x x2 y2 9x x(x y)(x y)2 9(x y) x(x y)2 9 3 3 3 3 3 3 x(y x ) 7 x(y x ) 7 x(y x ) 7 3 3 y x 3 y x x y x x x 3 3 3 3 3 3 4 x(y x ) 7 x ( x) x 7 (3 x x) x x 7 x x 4
5. 3 3 y x y x x x 4 3 4 3 2x x 9x 27x x 7 x 27 0 2x x 9x 27x x 7 x 27 0 3 y x x 4 3 3 2 2 ( x 1)(2x 2x x 2x 7x x 7x 7x x 20x 20 x 27) 0 3 3 y x y x x 1 x x y 2 3 ( x 1)((x x 1)(2x 7x x 20) 7) 0 x 1 x x2 y2 9 x x x2 y2 5 Bài 7. Giải hệ phương trình . x 5 3x y 6 5 y Hướng dẫn giải y 0 y 5 ĐK: . x2 y2 2 2 x x y 0 9 x Từ (2)suy ra: x 6 1 (2'). 5 y Do y 0 phương trình (1)tương đương với x x2 y2 y y x x 6 1 (1') .Đặt u x x2 y2 y y y y u u2 1 * Xét y 0:phương trình (1')trở thành: 6u 1. u u2 1 5 Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình:u u 3 u2 1 0 được nghiệm u 0;u . 3 + u 0 suy ra x 0 không thoả mãn loại. 5 x 5 + u .Thế vào (2')được x 5; y 3. 3 y 3 5
6. u u2 1 * Xét y 0 :phương trình 1' trở thành: 6u 1.Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra u u2 1 x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán). Vậy hệ đã cho có một nghiệm x; y 5;3 . 3 2 2 x 2x y 1 x y 1 Bài 8. Giải hệ phương trình : . 2 2 2 x 2x y y 3 y 2x 2 Hướng dẫn giải Ta có: (1) 2x(x2 2) 2(y 1) x2 (y 1) 2x(x2 2) (y 1)(x2 2) 2x y 1 y 2x 1 Thế vào (2) ta có : x 2x2 (2x 1)2 2x 1 3 (2x 1)2 2x 2 x 2x2 6x 1 4x2 6x 1 2x2 6x 1 2x x 2x2 6x 1 2x2 6x 1 2x2 2 2x 6x 1 x x 0 3 15 15 2x2 6x 1 2x x y 2 2 2x 6x 1 4x 6 6 x 0 3 2 3 3 2 3 2x2 6x 1 x x y 2 2 2x 6x 1 x 3 3 3 15 15 3 2 3 3 2 3 Vậy nghiệm của hệ PT là: ; và ; . 6 3 3 3 2 4 x y 8 y 7x 1 Bài 9. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 6y 2x 4 x y 1. Hướng dẫn giải y 1 Điều kiện : . 0 x 4 6
7. 2 x y 2 6y 2x 4 x y 1 2x2 4xy 2y2 2x 6y 4 x y 1 2 x y 1 2 x2 2x y 1 y 1 2 y 1 x 2 x y 1 2 2 y 1 x x y 1 0 y x 1 Thế vào pt đầu ta được : 4 x x 7 x2 5x x2 3x 3 x 1 4 x x 2 x 7 2 1 1 x 3x 3 1 x 1 4 x x 2 x 7 3 21 x 2 2 x 3x 3 0 5 21 y 2 x2 2y2 xy 4 Bài 10. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 2xy 2 (Chưa giải) 2 2 x x y 1 x y x y 1 y 18 Bài 11. Giải hệ phương trình: 2 2 x x y 1 x y x y 1 y 2 (Chưa giải) x3 (y z)2 2 3 2 Bài 12. Giải hệ phương trình: y (z x) 30 3 2 z (x y) 16 (Chưa giải) 3 x y x y Bài 13. Giải hệ phương trình: x y x y 2 (Chưa giải) Bài 14. Giải các hệ phương trình 8xy x3 9z2 27(z 1) x2 y2 16 3 2 a) x y b) y 9x 27(x 1) 2 3 2 x y x y z 9y 27(y 1) (Chưa giải) Bài 15. Giải các hệ phương trình: 7
8. x3 9y2 27y 27 0 x3 2y 1 x2 y2 z2 2xy zx zy 3 a) y3 9z2 27z 27 0 b) c) y3 2z 1 2 2 3 2 x y yz zx 2xy 1 3 z 9x 27x 27 0 z 2x 1 (Chưa giải) 6 3 2 2 x y x 9y 30 28y Bài 16. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình 2x 3 x y Hướng dẫn giải Từ phương trình đầu của hệ ta có x2 y 3 y2 y 6 x2 x4 3x2 10 0 x2 y 3 2 2 4 2 y y 6 x x 3x 10 0 * Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có 3 x4 4 0 x nên (*) vô nghiệm. Do đó hệ phương trình tương đương với 2 x y 3 2 2x 3 x x 3 2x 3 x y x 2x 3 x 2x 3 x 1 2x 3 0 x 1 2x 3 0 Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là 3;6 , 2; 1 Bài 17. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: 3 2 3 2 2x xy x 2y 4x y 2y (1) 2 4x x 6 5 1 2y 1 4y (2) Hướng dẫn giải 1 Điều kiện: y 2 (1) (x 2y)(2x2 y2 1) 0 x 2y . Thay vào (2) ta có phương trình 4x2 x 6 2x 1 5 x 1 (3) Xét x 1 thỏa mãn (3), suy ra y 1 8
9. x 1 Xét x 1: (3) 4x2 x 6 (1 2x) 5 x 1 x 1 4x2 x 6 1 2x x 1 0 x 1(loai) 2 4x x 6 1 2x x 1 (4) 1 x 2 7 Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x 1 2x 1 2 x 2 2 4x 8x 3 0 1 2 7 2 7 Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (x; y) ( 1; );( ; ) 2 2 4 Dạng 2: Đặt ẩn phụ 2 x 2 y 8 Bài 1. Giải hệ phương trình: 2 2 x 4 y y 4 x 4 Hướng dẫn giải x 2cos 2u Điều kiện: x; y [ 2;2]. Đặt với u,v [0; 2 ]. y 2cos 2v sin u cosv 1/ 2 (1 cos 2u)(1 cos 2v) 2 sin2 u cos2 v 1/ 2 HPT cos 2u sin 2v cos 2vsin 2u 1 sin 2(u v) 1 u v 4 sin(u v) sin(u v) 2 sin(u v) 1/ 2 u v 4 u 4 (thỏa). u v u v u v v 0 4 4 4 x 2cos 0 Kết luận: nghiệm hệ phương trình là 2 . y 2cos0 2 x2 1 y2 xy 4y Bài 2. Giải hệ phương trình: y x y 2 x2 1 Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta xét các giá trị y 0 , chia hai vế của PT thứ nhất cho y 0 ta được x2 1 x y 4 y y x y 2 x2 1 9
10. x2 1 Đặt u , v x y ta có hệ phương trình y u v 4 v 4 u u 1 u(v 2) 1 u(4 u 2) 1 v 3 x2 1 u 1 1 Với ta có y (*) v 3 x y 3 Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) 2 2 x y x y 2 4 y 2 Bài 3. Hệ phương trình tương đương với 2 2 x y x y 2 y 2 y 2 0 + Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm + Với y 2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có x2 y2 x y 2 4 y 2 x2 y2 x y 2 0 y 2 x2 y2 Đặt a , b x y 2 y 2 a b 4 a b 4 a 2 Khi đó ta có hệ phương trình 2 ab 4 a 2 0 b 2 x2 y2 2 y x x 1, y 1 Do đó y 2 2 x x 2 0 x 2, y 2 x y 2 2 Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) x 2 2x 1 y 2 2y 1 2. x 2 y 2 Bài 4. Giải hệ phương trình: (x, y ¡ ). x y 2xy x 2 2x 1 y 2 2y 1 1 1 2 Điều kiện x , y , * . Viết lại hệ dưới dạng: y 2 x 2 2 2 x y 2xy 10