Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 1: Căn bậc hai, căn thức bậc hai

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 1: Căn bậc hai, căn thức bậc hai

1. Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1. Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà x2 a . • Với a 0 x 0 x a 2 x2 a a Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương. Với hai số a, b không âm, thì ta có: a b a b . 2. Căn thức bậc hai • Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. • A 0 xác định (hay có nghĩa) khi A 0. • Hằng đẳng thức A2 A . 3. Chú ý • Với a 0 thì: x a x a2 x2 a x a . A 0 hay B 0 • A B A B • A B 0 A B 0 . B. Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính. a) 10 và 3; b) 3 2 và 17 ; c) 35 15 1 và 123 ; d) 2 2 và 2. Giải Tìm cách giải. Khi so sánh hai số a và b không dùng số máy tính, ta có thể: • So sánh a và b 2 2 • So sánh a và b
2. • Sử dụng kĩ thuật làm trội. Trình bày lời giải a) Ta có 10 9 10 9 nên 10 3 . 2 2 2 b) Xét 3 2 32. 2 18; 17 17 2 2 vì 18 17 nên 3 2 17 3 2 17 c) 35 15 1 36 16 1 6 4 1 11, 123 121 11 suy ra 35 15 1 123 . d) Ta có 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 . Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa: a) 8 2x ; b) x 1 11 x ; x c) x 3 . x2 9 Giải Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý: • A có nghĩa khi A 0 A • có nghĩa khi M 0 M Trình bày lời giải a) 8 2x có nghĩa khi 8 2x 0 x 4. b) x 1 11 x có nghĩa khi x 1 0 và 11 x 0 1 x 11. x c) x 3 có nghĩa khi x 3 0 và x2 9 0 x 3; x 3 . x2 9 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) A 6 2 5 6 2 5 ; b) B a 1 a2 2a 1 với a 1 Giải Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng: 2 A B neáu A B a 2 a 1 a 1 và lưu ý: A B B A neáu A B
3. Trình bày lời giải a) Ta có A 6 2 5 6 2 5 A 5 2 5 1 5 2 5 1 2 2 A 5 1 5 1 A 5 1 5 1 2 . b) B a 1 a2 2a 1 với a 1 B a 1 a 1 2 B a 1 a 1 a 1 1 a 2a . Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A 3 2x2 8x 33 ; b) B x2 8x 18 1; c) C x2 y2 2xy 2x 2y 10 2y2 8y 2020 . Giải 2 a) Ta có: A 3 2x2 8x 33 3 2 x 2 25 3 25 8 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x 2 . 2 b) Ta có: B x2 8x 18 1 x 4 2 1 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1 khi x 4 . c) Ta có: C x2 y2 2xy 2x 2y 10 2y2 8y 2020 C x y 1 2 9 2 y 2 2 2012 C 9 2012 2015. Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015. x y 1 0 x 1 Khi . y 2 0 y 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x2 12x 36 x2 16x 64 ; 2 2 2 b) B x 2 x 9 x 1945 .
4. Giải Tìm cách giải. Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng: • A B B A và A 0 • A B A B . Dấu bằng xảy ra khi A.B 0 . Trình bày lời giải a) Ta có: A x2 12x 36 x2 16x 64 x 6 2 x 8 2 A x 6 x 8 x 6 8 x x 6 8 x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi x 6 8 x 0 hay 6 x 8 . b) Ta có: B x 2 2 x 9 2 x 1945 2 B x 2 x 9 x 1945 B x 2 1945 x x 9 x 2 1945 x 0 1943. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi x 2 1945 x 0 và x 9 0 tức là x 9 . Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca 2020 . Chứng minh rằng biểu thức a2 2020 b2 2020 A là một số hữu tỉ. c2 2020 Giải • Ta có: a2 2020 a2 ab bc ca a2 2020 a b a c 1 • Tương tự, ta có: b2 2020 b a b c 2 c2 2020 c a c b 3 a b a c b c b a 2 Từ (1) ,(2), (3) suy ra A a b a b c a c b A a b . Vì a, b là các số hữu tỉ nên a b cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ.
5. Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ. Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 2 Chứng minh rằng: a4 8b2 b4 8a2 6 1 Giải Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương. Với suy nghĩ ấy, cũng như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc. Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra: b2 2 a2 ;a2 2 b2 , dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức chỉ còn một biến. Trình bày lời giải Cách 1. Thay a2 b2 2 vào (1) ta có: Vế trái: a4 4b2 a2 b2 b4 4a2 a2 b2 a4 4a2b2 4b2 b4 4a2b2 4a4 2 2 a2 2b2 b2 2a2 a2 2b2 b2 2a2 3 a2 b2 3.2 6. Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Cách 2. Từ giả thiết suy ra: b2 2 a2 ;a2 2 b2 thay vào (1) ta được: 2 2 a4 8 2 a2 b4 8 2 b2 a2 4 b2 4 a2 4 b2 4 (do a2 4;b2 4 ) 4 a2 4 b2 6 . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. 8.12 1 8.22 1 8.10032 1 Ví dụ 8: Tính tổng: S 1 1 1 12.32 32.52 20052.20072 (Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007) Giải 8n2 1 8n2 1 16n4 8n2 1 8n2 1 Ta có 1 2 2 1 2 2 2n 1 2n 1 4n2 1 4n2 1
6. 2 4n2 4n2 1 1 1 2 1 với n 1. 4n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 8n2 1 1 1 1 Suy ra 1 2 2 1 * 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 Thay n lần lượt từ 1 đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 2 1 3 2 3 5 2 2005 2007 1 1 1003 S 1003 1 1003 . 2 2007 2007 C. Bài tập vận dụng 1.1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: 1 a) A x2 5 ; b) B ; x2 5x 6 1 1 c) C ; d) D ; x 2x 1 1 x2 3 2 e) E x 2x . x Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa là x2 5 0 x 5 . b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là x2 5x 6 0 x 6 x 1 0 x 6 và x 1 cùng dấu x 6 0 x 6 Trường hợp 1. x 1 x 1 0 x 1 x 6 0 x 6 Trường hợp 2. x 6 x 1 0 x 1 Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là x 1; x 6 . c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: 1 1 1 2x 1 0 x x x 2 2 2 x 2x 1 0 2 2 x 2x 1 x 1 0 x 1 1  Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: S x / x ; x 1 . 2  d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:
7. 2 x 3 0 x2 3 x 3 2 2 1 x 3 0 x 3 1 x 2 x 3 Vậy với thì biểu thức D có nghĩa. x 2 2 x2 2 x 0 0 x 0 e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là: x x x 0 2x 0 x 0 vậy không tồn tại x để biểu thức E có nghĩa. 1.2. a) Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn x y z 0 . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: . x2 y2 z2 x y z b) Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 . 22 32 32 42 42 52 1992 2002 Hướng dẫn giải – đáp số 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Xét: 2 2 2 2 . x y z x y z xy yz zx 1 1 1 z x y Mà 0 xy yz zx xyz 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 . x y z x y z x y z x y z b) Áp dụng câu a, ta có: 1 K 1 K 0 1 1 1 1 1 1 1 1 nên: 1 K 2 K 1 2 12 K 2 K 1 2 1 K K 1 1 1 1 1 Suy ra: 1 1 . K 2 K 1 2 K K 1 Thay k lần lượt 2,3, , 199, ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 99 A 1 1 1 198 198 . 2 3 3 4 199 200 2 200 200 1.3. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 20092 1 1 1 1 12 22 22 32 k 2 k 1 2 2009
8. (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số 1 1 1 1 Áp dụng công thức 1 1 ta có: n2 n 1 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 20092 1 1 1 1 1 2 2 3 k k 1 2009 2 1 20092 1 k 1 1 20092 1 k 1 k 1 2009 k 1 2009 k 2008. 1.4. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: 2x y 2 y 2 2 x y z 2 0 Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Ta có: 2x y y 2 x y z 0 * 2 2 Mà 2x y 0; y 2 0; x y z 0 ; 2x y 0 x 1 Nên đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi y 2 0 y 2 . x y z 0 z 3 1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 25x2 20x 4 25x2 30x 9 Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Ta có: P 5x 2 5x 3 5x 2 5x 3 P 5x 2 3 5x 5x 2 3 5x 1 5x 2 0 2 3 Đẳng thức xảy ra khi: x . 3 5x 0 5 5 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x . 5 5 1.6. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c 2 và a2 b2 c2 2 . Chứng minh rằng: 1 b2 1 c2 1 a2 1 c2 1 a2 1 b2 a b c 2 * 1 a2 1 b2 1 c2 Hướng dẫn giải – đáp số
9. 2 Từ a b c 2 a b c 4 a2 b2 c2 2 ab bc ca 4 Mà a2 b2 c2 2 2 ab bc ca 2 ab bc ca 1. Ta có: a2 1 a2 ab bc ca a2 1 a b a c 1 Tương tự, ta có: b2 1 b a b c 2 c2 1 c a c b 3 Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có: 1 b2 1 c2 1 a2 1 c2 1 a 2 1 b2 a b c 1 a2 1 b2 1 c2 a b b c a c b c a b a c a c b c a b a c a b b c a b c a b a c a b b c b c a c a b c b a c c a b 2 ab bc ca 2 . 6 2 5 6 2 5 1.7. Cho x . 2 5 19 20205 Tính giá trị biểu thức: T 1 x21 x10 . Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1 5 1 Ta có: x 2 5 2 5 5 1 5 1 x 1 2 5 19 20205 Vậy T 1 121 110 1. 1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 a) A x 2019 x 2020 ; 2 2 2 b) B x 2018 y 2019 x 2020 ; 2 2 2 2 c) C x 2017 x 2018 x 2019 x 2020 . Hướng dẫn giải – đáp số a) A x 2019 x 2020
10. x 2019 2020 x x 2019 2020 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x 2019 0 và 2020 x 0 hay 2019 x 2020 . b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 2018 x 2020 và y 2019 . c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 2018 x 2019 . 1 1 1.9. Giải phương trình: x x x 4 . 2 4 Hướng dẫn giải – đáp số 1 1 Ta có: x x x 4 2 4 1 1 1 x x x 4 4 4 4 2 1 1 1 1 x x 4 x x 4 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 x x 4 x 4 4 4 4 4 2 1 1 1 1 x 2 vì x 0 4 2 4 2 1 3 1 9 x x 4 2 4 4 9 1 x x 2 . 4 4 1.10. Giải phương trình: a) x2 6 x2 9 x2 7 0 ; b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 . Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) x2 6 x2 9 x2 7 0 x 3 x 7 0 x 3 x 7 0 Trường hợp 1: Xét x 3 phương trình có dạng: x 3 x 7 0 x 5 x 5 . Trường hợp 2: Xét 0 x 3 phương trình có nghiệm: 3 x x 7 0 vô nghiệm.
11. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;5 . b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 2x 5 6 2x 5 9 2x 5 2 2x 5 1 4 2 2 2x 5 3 2x 5 1 4 2x 5 3 2x 5 1 4 Ta có: 2x 5 3 3 2x 5 3 2x 5 Vậy vế trái 3 2x 5 2x 5 1 4 . Do vậy vế trái bằng vế phải khi: 5 2x 5 3 0 2x 5 9 x 7 . 2 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x / x 7. 2  1.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 . Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A a 1 4 a 1 4 a 1 8 a 1 16 2 2 A a 1 2 a 1 4 A a 1 2 4 a 1 a 1 2 4 a 1 A 2 . Đẳng thức xảy ra khi 2 a 1 4 4 a 1 16 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5 a 17 . 1.12. Rút gọn biểu thức: a) A 7 2 6 7 2 6 ; b) B x 2y x2 4xy 4y2 với x 2y ; 2 c) D 1 2020 . 2021 2 2020 . Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A 7 2 6 7 2 6
12. 2 2 A 6 1 6 1 A 6 1 6 1 2 6 . b) B x 2y x2 4xy 4y2 với x 2y ; B x 2y x 2y 2 B x 2y x 2y x 2y 2y x 2x . 2 c) D 1 2020 . 2021 2 2020 2 D 1 2020 2020 1 2020 1 2020 1 2021 2 2020 . 1.13. Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: 2019x 2020 2019x 2020 y 2022 . 2020x 2021 2021 2020x Tính giá trị của y. Hướng dẫn giải – đáp số 2019x 2020 Điều kiện để y có nghĩa là 0 1 2020x 2021 2019x 2020 2019x 2020 và 0 0 2 2021 2020x 2020x 2021 2020 Từ (1) và (2) suy ra: 2019x 2020 0 hay x 2019 Suy ra y 2022 . 2 3 3 x x y x y 1 4x 1 1.14. Tính biết x 1; y 0 và 6 y 1 4x 1 x2 y2 xy3 y4 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Với x 1 4x 4 4x 1 3 4x 10 3 2 Do đó 1 4x 1 4x 1 1 x y x3 y3 4x 1 1 Từ đó 6 1 4x 1 x2 y2 xy3 y4
13. x y x3 y3 x y x y x2 xy y2 6 6 x2 y2 xy3 y4 y2 x2 xy y2 x x2 y2 6y2 x2 7y2 7 y x Mà x 1; y 0 nên 7 . y 1.15. Cho A 6 6 6 6 , gồm 100 dấu căn. Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên. Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A 6 2 . Mặt khác 6 6 6 3 3; 6 6 6 6 3 3 A 3. Do đó 2 A 3 . Chứng tỏ rằng A không phải số tự nhiên. Nhận xét: Nếu A nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp thì A không phải số tự nhiên. 1 1 1 1.16. Cho ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng A a2 b2 c2 là số hữu tỉ. Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết ta có bc ac ab 2ab 2bc 2ca 0 Suy ra a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b c 2 A a2 b2 c2 a b c là số hữu tỉ. 1 1.17. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c . abc 1 b2c2 1 a2c2 Chứng minh rằng: a b . c2 a2b2c2 (thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số 1 Ta có a b c abc a b c 1 abc Do đó: 1 b2c2 abc a b c b2c2 bc a b a c
14. Tương tự, ta có: 1 a2c2 ac a b b c 1 a2b2 ab b c a c 1 b2c2 1 a2c2 1 b2c2 1 a2c2 Suy ra: c2 a2b2c2 c2 1 a2b2 bc a b a c ac a b b c 2 a b a b . c2ab a c b c x y 1.18. Cho x, y thỏa mãn 0 x 1, 0 y 1 và 1. 1 x 1 y Tính giá trị của biểu thức P x y x2 xy y2 . (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết, suy ra: x 1 y y 1 x 1 x 1 y 2x 2y 1 3xy x2 xy y2 x y 2 2 x y 1 x y 1 2 Vậy P x y x2 xy y2 x y x y 1 x 1 Từ giả thiết, ta lại có: 1 x 1 x 2 1 Tương tự ta có: y . Suy ra 0 x y 1, ta có P x y 1 x y 1. 2