Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 14: Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 14: Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất

1. Chuyên đề 14. HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT A. Một số ví dụ Một số hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất, sau một số bước biến đổi thích hợp, chúng ta có thể giải được bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất hoặc tìm được nghiệm một cách giản đơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa: x xy y 9 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình y yz z 4 z zx x 1 (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm 2011 – 2012) Giải x xy y 9 x xy y 1 10 x 1 y 1 10 (1) y yz z 4 y yz z 1 5 y 1 z 1 5 (2) z zx x 1 z zx x 1 2 z 1 x 1 2 (3) Từ phương trình (1), (2), (3) nhân vế với vế, ta được: 2 2 2 x 1 y 1 y 1 10 (4) x 1 y 1 y 1 100 x 1 y 1 y 1 10 (5) • Trường hợp 1. Xét phương trình (4): x 1 y 1 y 1 10 z 1 1 z 0 Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: x 1 2 x 1 . y 1 5 y 4 • Trường hợp 2. Xét phương trình (5): x 1 y 1 y 1 10 z 1 1 z 2 Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: x 1 2 x 3. y 1 5 y 6 Vậy tập nghiệm của phương trình là: x; y; z 1;4;0 , 3; 6; 2 . Nhận xét. Thông thường bài toán có thể giải bằng phương pháp thế : Từ phương trình (1) và (2) biểu diễn x theo y và z theo y thế vào phương trình (3). Ta thu được phương trình một ẩn (ẩn y). Cách giải đó đúng, nhưng dài, có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kỹ, chúng ta thấy hệ số của ẩn có vai trò như nhau trong mỗi phương trình. Vì vậy ta có thể thêm bớt để phân tích thành nhân tử và có cách giải như trên.
2. x 1 y 1 4 (1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: x 1 3y 3 (2) Giải Tìm cách giải. Đặc điểm của hệ phương trình là chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do vậy ta cần nhớ tới một số công thức sau: • A 0 với mọi A, dấu bằng xảy ra khi A 0 A nÕu A 0 • A A nÕu A 0 Trình bày lời giải. Nhận xét: x 1 0 nên suy ra 3y 3 0 y 1. Do vậy y 1 y 1. Kết hợp với phương trình (1) ta có: 3y 3 y 1 4 y 2. x 1 3 x 2 Suy ra: x 1 3.2 3 3 x 1 3 x 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là x; y 2;2 , 4;2 . 6 x y 5xy Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 12 y z 7yz 4 z x 3zx (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2007 – 2008). Giải • Nhận xét: x y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. • Xét xyz 0, hệ phương trình viết dưới dạng: x y 5 1 1 5 (1) xy 6 x y 6 y z 7 1 1 7 (2) yz 12 y z 12 z x 3 1 1 3 (3) zx 4 z x 4 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1 1 1 13 1 1 1 13 2 (4) x y z 6 x y z 12 5 1 13 Từ phương trình (1) và (4) ta có: z 4 6 z 12
3. 1 7 13 Từ phương trình (2) và (4) ta có: x 2 x 12 12 1 3 13 Từ phương trình (3) vầ (4) ta có: y 3 y 4 12 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y; z 0;0;0 ; 2;3;4 . Nhận xét: Ttrước khi chia hai vế cho ẩn số, chúng ta cần xét trường hợp x y z 0 trước. Tránh mất nghiệm của hệ phương trình. x y x z 8 (1) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: y x y z 16 (2) z x z y 32 (3) Giải Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được: x y . x z . y z 4096 x y . x z . y z 64 x y . x z . y z 64 Trường hợp 1: Xét x y . x z . y z 64 (4) 8. y z 64 y z 8 (5) Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có: 16. x z 64 x z 4 (6) x y 2 (7) 32. x y 64 Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2. x y z 14 x y z 7 x 1 Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: y 3 . z 5 Trường hợp 2. Xét x y . x z . y z 64 (8) Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có: 8. y z 64 y z 8 (5) 16. x z 64 x z 4 (6) x y 2 (7) 32. x y 64 Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2. x y z 14 x y z 7
4. x 1 Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: y 3. z 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x; y; z 1;3;5 , 1; 3; 5 . x y 3 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 2 2 x 6xy 8y 0 Giải Tìm cách giải. Quan sát kĩ, chúng ta nhìn thấy phương trình (2) có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó ta có thể sử dụng: A 0 A 0 A 0 hoặc B.C 0 B 0 C 0 Trình bày lời giải x y 3 x y 3 2 2 x 6xy 8y 0 x 2y x 4y 0 x y 3 x y 3 hoặc . x 2y 0 x 4y 0 x y 3 y 3 x 6 • Giải hệ x 2y 0 x y 3 y 3 x y 3 3y 3 x 4 • Giải hệ x 4y 0 x y 3 y 1 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y 6; 3 ; 4; 1  x y x y z 72 (1) Ví dụ 6. Giải hệ phương trình y z x y z 120 (2) x z x y z 96 (3) Giải Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 2 2 x y z 12 2 x y z 288 x y z 144 x y z 12 • Trường hợp 1: Xét x y z 12 (4). Kết hợp với hệ phương trình ta được: x y 12 72 x y 6 (5) y z 12 120 y z 10 (6) z x 8 (7) z x 12 96
5. Từ (4) và (5) ta có: z 6 12 z 6 Từ (4) và (6) ta có: x 10 12 x 2 Từ (4) và (7) ta có: y 8 12 y 4. Vậy x; y; z 2;4;6 là nghiệm của hệ phương trình. • Trường hợp 2. Xét x y z 12 (8). Kết hợp hệ phương trình ta được: x y 12 72 x y 6 (9) y z 12 120 y z 10 (10) z x 8 (11) z x 12 96 Từ phương trình (8) và (9) ta được: z 6 12 z 6 Từ phương trình (8) và (10) ta được: x 10 12 x 2 Từ phương trình (8) và (11) ta được: y 8 12 y 4. Suy ra x; y; z 2; 4; 6 . là nghiệm của hệ phương trình. Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y; z 2;4;6 , 2; 4; 6  B. Bài tập vận dụng 3xy 2. x y 14.1. Giải hệ phương trình: 5yz 6 y z 4zx 3. z x (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Quảng Ngãi, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải – đáp số • Nhận xét: x y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. • Xét xyz 0, hệ phương trình viết dưới dạng: x y 3 1 1 3 (1) xy 2 x y 2 y z 5 1 1 5 (2) yz 6 y z 6 z x 4 1 1 4 (3) zx 3 z x 3 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1 1 1 11 1 1 1 11 2 (4) x y z 3 x y z 6
6. 3 1 11 Từ phương trình (1) và (4) ta có: z 3 2 z 6 1 5 11 Từ phương trình (2) và (4) ta có: x 1 x 6 6 1 4 11 Từ phương trình (3) và (4) ta có: y 2 y 3 6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y; z là 0;0;0 ; 1;2;3 xy 12 x y 5 yz 18 14.2. Giải hệ phương trình: y z 5 zx 36 z x 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số Do x, y, z 0 nên hệ phương trình tương đương với: x y 5 1 1 5 (1) xy 12 x y 12 y z 5 1 1 5 (2) yz 18 y z 18 z x 13 1 1 13 (3) zx 36 x z 36 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1 1 1 19 1 1 1 19 2 (4) x y z 18 x y z 36 5 1 19 Từ phương trình (1) và (4) ta có: z 9; 12 z 36 1 5 19 Từ phương trình (2) và (4) ta có: x 4; x 18 36 1 13 19 Từ phương trình (3) và (4) ta có: y 6. y 36 36 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x; y; z 4;6;9 x3 3x 2 2 y 3 14.3. Tìm x; y; z thỏa mãn hệ sau: y 3y 2 4 2z 3 z 3z 2 6 3x
7. (Thi học sinh Toán lớp 9, Ninh Bình, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số 2 x3 3x 2 2 y x 2 x 1 2 y 3 2 Ta có: y 3y 2 4 2z y 2 y 1 2. 2 z 3 z 3z 2 6 3x z 2 z 2 2 3. 2 x Nhân từng vế của ba phương trình ta được: x 2 . y 2 . z 2 . x 1 2 . y 1 2 . z 1 2 6. x 2 . y 2 . z 2 x 2 . y 2 . z 2 . x 1 2 . y 1 2 . z 1 2 6 0 x 2 x 2 . y 2 . z 2 0 y 2 z 2 Với x 2 thế vào phương trình, ta được y 2, z 2. Tương tự với y 2 hoặc z 2, thay vào phương trình ta đều có x y z 2. Vậy hệ có nghiệm x; y; z 2;2;2 . x y x z 12 14.4. Giải hệ phương trình y x y z 15 (Với x, y, z là các số thực dương) z y z x 20 (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được: 2 2 2 x y . x z . y z 60 x y . x z . y z 3600 x y . x z . y z 60 Trường hợp 1. Xét x y . x z . y z 60 (4) Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có: 12. y z 60 y z 5 (5) 15. x z 60 x z 4 (6) x y 3 (7) 20. x y 60 Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2. x y z 12 x y z 6
8. x 1 Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: y 2 z 3 Trường hợp 2. Xét x y . x z . y z 60, không xảy ra vì x 0, y 0, z 0. Vậy hệ có nghiệm x; y; z 1;2;3 . x y 2 4. z 2 14.5. Giải hệ phương trình: y z 2 4. x 2 z x 2 4 y 2 Hướng dẫn giải – đáp số Cộng vế với vế ta được: 2x 2y 2z 6 4 z 2 4 x 2 4 y 2 x y z 3 2 z 2 2 x 2 2 y 2 2 2 2 x 2 1 y 2 1 z 2 1 0 x 2 1 0 x 3 y 2 1 0 y 3 z 3 z 2 1 0 Vậy nghiệm của phương trình là: x; y; z 3;3;3 . y 4x 5 14.6. Giải hệ phương trình: 2 y 2x x y 1 7 Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Trà Vinh, năm 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) ta có: y 4x 5 thế vào phương trình (2) ta được: 2 4x 5 2x x 4x 5 1 7 2. 2x 5 5x 4 7 (*) 5 • Trường hợp 1. Xét x 2 Phương trình (*) 2 2x 5 5x 4 7 7 4x 10 5x 4 7 x (thỏa mãn) 3 7 13 Từ (1), suy ra: y 4 5 3 3
9. 5 4 • Trường hợp 2. Xét x 2 5 Phương trình (*) 2 2x 5 5x 4 7 4x 10 5x 4 7 x 1 Từ (1), suy ra: y 4.( 1) 5 1. 4 • Trường hợp 3. Xét x 5 Phương trình (*) 2 2x 5 5x 4 7 7 4x 10 5x 4 7 x (thỏa mãn) 9 7 17 Từ (1) suy ra y 4 5 . 9 9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y là: 7 13 7 17 ; ; 1;1 ; ; . 3 3 9 9 x2 4y2 4xy 1 14.7. Giải hệ phương trình: x y 1 Hướng dẫn giải – đáp số 2 x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 Hệ phương trình hoặc x y 1 x y 1 x y 1 x 2y 1 y 0 x 1 • Giải hệ x y 1 x y 1 y 0 x 2y 1 y 2 x 3 • Giải hệ x y 1 x y 1 y 2 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y 1;0 ; 3;2 . 14.8. Giải hệ phương trình: x y y 8 (1) x 3y 4 0 (1) x 1 y 1 5 (1) a) b) c) x 4y 6 (2) 3x 2y 2y 4 (2) x 1 4y 4 (2) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (2) ta có: x 4y 6 thay vào phương trình (1) ta được 4y 6 y y 8 3y 6 y 8 • Trường hợp 1: Xét y 2, ta được phương trình 3y 6 y 8 2y 14 y 7 suy ra x 4. 7 6 22
10. • Trường hợp 2: Xét y 2, ta được phương trình 1 1 3y 6 y 8 4y 2 y suy ra x 4. 6 8. 2 2 1  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x; y 22; 7 ; 8; . 2  b) Từ phương trình (1) ta có: x 3y 4 thay vào phương trình (2) ta được 3. 3y 4 2y 2y 4 7y 12 2y 4 12 • Trường hợp 1: Xét y , ta được phương trình 7 8 8 4 12 7y 2y 4 5y 8 y suy ra x 3. 4 5 5 5 12 • Trường hợp 2: Xét y , ta được phương trình 7 16 16 4 7y 12 2y 4 9y 16 y suy ra x 3. 4 9 9 3 4 8 4 16  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y ; , ; . 5 5 3 9  c) Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được: 4y 4 y 1 5 • Trường hợp 1: Xét y 1, ta được phương trình 8 4y 4 1 y 5 3y 8 y (không thỏa mãn) 3 • Trường hợp 2: Xét y 1, ta được phương trình 4y 4 y 1 5 5y 5 y 2 (thỏa mãn) x 1 4 x 5 Suy ra x 1 4.2 4 4 x 1 4 x 3 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x; y 5;2 , 3;2 . x y y z 187 (1) 14.9. Giải hệ phương trình: y z z x 154 (2) z x x y 138 (3) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1), (2), (3) nhân vế với vế ta được:
11. 2 2 2 x y y z z x 2618 x y y z z x 6853924 x y y z z x 2618 Trường hợp 1. Xét x y y z z x 2618 (4) kết hợp với hệ phương trình ta được: z x 14 (5) x y 17 (6) y z 11 (7) Từ phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2 x y z 42 x y z 21 (8) Từ phương trình (8) và (5) ta có: y 14 21 y 7 Từ phương trình (8) và (6) ta có: z 17 21 z 4 Từ phương trình (8) và (7) ta có: x 11 21 x 10 Nên x; y; z 10;7;4 là nghiệm một của phương trình. Trường hợp 2. Xét x y y z z x 2618 kết hợp với hệ phương trình ta được: z x 14 (9) x y 17 (10) y z 11 (11) Từ phương trình (9), (10), (11) cộng vế với vế ta được: 2 x y z 42 x y z 21 (12) Từ phương trình (12) và (9) ta có: y 14 21 y 7 Từ phương trình (12) và (10) ta có: z 17 21 z 4 Từ phương trình (12) và (11) ta có: x 11 21 x 10 Nên x; y; z 10; 7; 4 là một nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x; y; z 10;7;4 ; 10; 7; 4 . xy x y 5 14.10. Giải hệ phương trình: yz y z 11 zx z x 7 Hướng dẫn giải – đáp số xy x y 1 6 x 1 y 1 6 (1) yz y z 1 12 y 1 z 1 12 (2) zx z x 1 8 z 1 x 1 8 (3) Từ phương trình (1); (2); (3) nhân vế với vế ta được:
12. 2 2 2 x 1 y 1 z 1 24 x 1 y 1 z 1 576 x 1 y 1 z 1 24 Trường hợp 1. Xét x 1 y 1 z 1 24 (4) Từ phương trình (1) và (4) ta có: 6 z 1 24 z 5 Từ phương trình (2) và (4) ta có: 12 x 1 24 x 3 Từ phương trình (3) và (4) ta có: 8 y 1 24 y 4 Suy ra x; y; z 3;4;5 là một nghiệm của hệ phương trình. Trường hợp 2. Xét x 1 y 1 z 1 24 (5) Từ phương trình (1) và (4) ta có: 6 z 1 24 z 3 Từ phương trình (2) và (4) ta có: 12 x 1 24 x 1 Từ phương trình (3) và (4) ta có: 8 y 1 24 y 2 Suy ra x; y; z 1; 2; 3 là một nghiệm của hệ phương trình. Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: x; y; z 3;4;5 ; 1; 2; 3 . xyz 2 x y xyz 1 14.11. Giải hệ phương trình: 1 y z 5 xyz 1 1 x z 2 Hướng dẫn giải – đáp số xyz xyz 2 2 x y x y xyz 1 xyz 5 1 y z 5 y z 5 xyz 1 xyz 3 1 x z 2 x z 2 • xyz 0 không phải là nghiệm của phương trình • Xét xyz 0 hệ phương trình viết dưới dạng:
13. x y 1 1 1 1 (1) xyz 2 yz xz 2 y z 5 1 1 5 (2) xyz 6 xz xy 6 x z 2 1 1 2 (3) xyz 3 yz xy 3 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1 1 1 1 1 1 2 2 1 (4) xy yz xz xy yz xz Kết hợp phương trình (4) với các phương trình (1), (2), (3) ta được: 1 1 1 1 1 xy 2 xy 2 xy 2 (5) 1 5 1 1 1 yz 6 (6) yz 6 yz 6 xz 3 (7) 1 2 1 1 1 xz 3 xz 3 2 2 2 xyz 6 Từ phương trình (5); (6); (7) nhân vế với vế ta được: x y z 36 xyz 6 Trường hợp 1. Xét xyz 6 (8) Kết hợp phương trình (8) với các phương trình (5), (6), (7) ta được: 2.z 6 z 3 6.x 6 x 1 3.y 6 y 2 Trường hợp 2. Xét xyz 6 (9) Kết hợp phương trình (9) với các phương trình (5), (6), (7) ta được: 2.z 6 z 3 6.x 6 x 1 3.y 6 y 2 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: x; y; z 1;2;3 ; 1; 2; 3 . x2 y2 2 x y 0 2 2 14.12. Giải hệ phương trình: y z 2 y z 0 2 2 z x 2 z x 0 Hướng dẫn giải – đáp số
14. 2 2 x2 y2 2 x y 0 x 1 y 1 2 (1) 2 2 2 2 y z 2 y z 0 y 1 z 1 2 (2) z2 x2 2 z x 0 z 1 2 x 1 2 2 (3) Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 2 x 1 2 y 1 2 z 1 2 6 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 (4) Từ phương trình (4) kết hợp với các phương trình (1), (2), (3) ta được: z 1 2 2 3 z 1 2 1 2 2 x 1 2 3 x 1 1 y 1 2 2 3 y 1 2 1 Vậy tập nghiệm x; y; z của hệ phương trình là: s 0;0;0 ; 0;0;2 ; 0;2;0 ; 2;0;0 ; 0;2;2 ; 2;0;2 ; 2;2;0 ; 2;2;2  x2 x y2 y 14.13. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 5. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học Vinh, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số x2 y2 x y 0 x y x y 1 0 Ta có: 2 2 2 2 x y 5 x y 5 x y 0 x y 10 x y . • Trường hợp 1. Xét 2 2 2 2 x y 5 x y 5 2 x y 1 0 (1) • Trường hợp 2. Xét 2 2 x y 5 (2) Từ phương trình (1) ta có y 1 x, thế vào phương trình (2), ta được: 2 2 2 x 1 x x 1 5 x x 2 0 x 1 x 2 0 . x 2 Với x 1 y 1 1 2. Với x 2 y 1 ( 2) 1. Vậy tập nghiệm x; y của hệ phương trình là: 10 10 10 10  S ; , ; , 1; 2 , 2;1 . 2 2 2 2 
15. 20 x y 9xy 14.14. Giải hệ phương trình: 20 y z 11yz 12 z x 5zx (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học Vinh, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số • Nhận xét x y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. • Xét xyz 0 hệ phương trình viết dưới dạng: x y 9 1 1 9 (1) xy 20 x y 20 y z 11 1 1 11 (2) yz 30 y z 30 z x 5 1 1 5 (3) zx 12 z x 12 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1 1 1 37 1 1 1 37 2 (4) x y z 30 x y z 60 9 1 37 Từ phương trình (1) và (4) ta có: z 6. 20 z 60 11 1 37 Từ phương trình (2) và (4) ta có: x 4. 30 x 60 5 1 37 Từ phương trình (3) và (4) ta có: y 5. 12 y 60 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y; z là 0;0;0 ; 4;5;6 .