Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 16: Phương trình bậc hai và công thức nghiệm

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 16: Phương trình bậc hai và công thức nghiệm

1. Chương 4. HÀM SỐ Y AX 2 A 0 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 trong đó x : ẩn số. a,b,c a 0 : là hệ số 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình ax2 bx c 0 a 0 và biệt thức b2 4ac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 2a 2 2a b  Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x 1 2 2a  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx c 0 a 0 có a và c trái dấu tức là ac 0 thì b2 4ac 0 . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình ax2 bx c 0 a 0 và b 2b , b 2 ac  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 a 2 a b  Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x 1 2 a  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực a;b không âm thỏa mãn 18a 4b. 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx 671 9a 0 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013)
2. Giải Tìm cách giải. Để chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luôn có nghiệm, nếu chưa có điều kiện gì của a . Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp 1. Xét a 0 , chứng tỏ phương trình bx c 0 có nghiệm Trường hợp 2. Xét a 0 , chứng tỏ 0 (hoặc 0 ) Trình bày lời giải  Xét a 0 , từ giả thuyết suy ra 4b 2013 b 0 nên phương trình 4bx 671 9a 0 luôn có nghiệm  Xét a 0 Ta có: 4b2 18a 671 9a 4b2 12078a 162a2 4b2 6a.2013 162a2 4b2 6a 18a 4b 162a2 4b2 24ab 54a2 2b 6a 2 18a2 0 Suy ra phương trình luôn có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x2 ax b 0 và x2 cx d 0 . Trong đó ac 2 b d . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Giải Tìm cách giải. Những bài toàn chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh ít nhất một trong hai không âm. Tức là chứng minh 1 2 0 Trình bày cách giải 2 2 Xét 1 a 4b; 2 c 4d 2 2 2 2 2 Suy ra 1 2 a 4b c 4d a c 2ac a c 0 1 2 0 . Vậy ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung: x2 mx 4 0 (1) và x2 4x m 0 (2) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải. Để giải dạng toán này, ta gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình, thì x0 thỏa mãn cả hai phương trình. Từ đó ta được hệ phương trình, sau đó: 2  Khử x0
3.  Tìm x0 hoặc tìm m (có bài biểu thị x0 theo m )  Thử lại với m tìm được, rồi kết luận Trình bày cách giải 2 x0 mx0 4 0 m Gọi là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: 2 x0 4x0 m 0 Suy ra m 4 x0 4 m 0 m 4 x0 1 0  Với m 4 . Hai phương trình có dạng x2 4x 4 0 x 2 Vậy hai phương trình có nghiệm chung là x 2  Với x0 1 thay vào phương trình (1) hoặc (2) ta được m 5 . Với m 5 thì phương trình (1) là x2 5x 4 0 có nghiệm x 1; x 4 , thì phương trình (2) là x2 4x 5 0 có nghiệm x 1; x 5 . Do đó hai phương trình có nghiệm chung là x 1. Vậy với m 4; 5 thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung Ví dụ 4: Giải phương trình x3 ax2 bx 1 0 , biết rằng a;b là các số hữu tỉ và 1 2 là một nghiệm của phương trình (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Giải Tìm cách giải. Những dạng toán trên ta cần xác định a và b trước. Khi thay x 1 2 vào phương trình, ta lưu ý rằng a,b là các số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x, y,p là các số hữu tỉ mà x p y 0 , trong đó p không phải là bình phương của số hữu tỉ thì x y 0 Trình bày cách giải Ta có: x 1 2 là một nghiệm của phương trình nên: 3 2 1 2 a 1 2 b 1 2 1 0 2a b 5 2 3a b 8 0 2a b 5 0 a 3 Vì a;b là số hữu tỉ nên 3a b 8 0 b 1 Thay vào phương trình, tra được: x 1 0 x3 3x2 x 1 0 x 1 x2 2x 1 0 2 x 2x 1 0 Giải ra, ta được tập nghiệm của phương trình là: S 1;1 2;1 2
4. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy trong đó x; y là các số thực thỏa mãn x2013 y2013 2 x1006 .y1006 (1) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu x 0 thì y 0 (hoặc ngược lại) suy ra P 1 Trường hợp 2: Xét x 0; y 0 1006 1006 1006 1006 x y Chia hai vế của (1) cho x .y ta được: x y 2 y x 1006 1006 x y 1 2 Đặt t x.t 2t y 0 y x t Đây là phương trình bậc hai đối với t . Xét 1 xy Để tồn tại x; y tức là tồn tại t thì 0 1 xy 0; P 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi t là nghiệm kép của phương trình 1006 1 1 x 1 2012 1 1 xy 0 x t x y x y x x x 1 y 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0. Khi x y 1 C. Bài tập vận dụng 16.1. Cho phương trình 4x2 2 a b x ab 0 (1) ( a;b là tham số) a) Giải phương trình (1) với a 1;b 2 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a;b Hướng dẫn giải – đáp số a) Với a 1;b 2 phương trình có dạng: 4x2 2x 1 2 x 2 0 2 2 Xét 1 2 4 2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x ; x 1 4 2 2 4 2 2 2 b) Xét a b 4ab a b 0 với mọi a;b Vậy phương trình luôn có nghiệm
5. 16.2. Cho a,b,c,d là các số thực a2 b2 1. Chứng minh rằng phương trình: a2 b2 1 x2 2 ac bd 1 x c2 d 2 1 0 luôn có hai nghiệm. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Xét ac bd 1 a2 b2 1 c2 d 2 1 (*) + Do a2 b2 1 a2 b2 1 0 Nếu c2 d 2 1 c2 d 2 1 0 0 Nếu c2 d 2 1. Đặt u 1 a2 b2 ;v 1 c2 d 2 (Điều kiện 0 u 1;0 v 1) 2 Xét 4 2 2ac 2bd 4uv 2 a2 b2 u p2 d 2 v 2ac 2bd 4uv 2 a c 2 b d 2 u v 4uv u v 2 4uv u v 2 0 0. Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm 5 3 16.3. Cho phương trình ax2 bx 1 0 với a;b là các số hữu tỉ. Tìm a;b biết x là 5 3 nghiệm của phương trình Hướng dẫn giải – đáp số 2 5 3 5 3 Ta có: x 4 15 là nghiệm của phương trình nên: 5 3 5 3 2 a 4 15 b 4 15 c 0 31a 4b 1 8a b 15 0 31a 4b 1 0 a 1 Do a và b là các số hữu tỷ nên: 8a b 0 b 8 16.4. Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2011x2 bx 1102 0 (1) và 1102x2 bx 2011 0 (2) có nghiệm chung. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có: 2 2 2011x0 bx0 1102 0 1102x0 bx0 2011 0 2 2 1102x0 bx0 2011 0 909x0 909
6. 2 1102x0 bx0 2011 0 1 x0 1 2 Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta được b 3113 Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta được b 3113 Thử lại: 1102  Với b 3113, thì phương trình (1) là 2011x2 3113x 1102 0 có nghiệm x 1; x và 2011 2011 phương trình (2) là 1102x2 3113x 2011 0 có nghiệm là x 1; x , nghiệm chung là x 1 1102 1102  Với b 3113 , thì phương trình (1) là 2011x2 3113x 1102 0 có nghiệm x 1; x và 2011 2011 phương trình (2) là 1102x2 3113x 2011 0 có nghiệm là x 1; x , nghiệm chung là 1102 x 1 Vậy với b 3113 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung 16.5. Tìm số nguyên a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung x2 ax 8 0 (1) và x2 x a 0 (2) Hướng dẫn giải – đáp số 2 x0 ax0 8 0 1 x Đặt 0 là nghiệm chung của ai phương trình, ta có: 2 , ta có: x0 x0 a 0 2 Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được: a 1 .x0 8 a 0 a 1 .x0 a 8 (*) Với a 1 0 a 1 thì từ (*) không tồn tại x0 nên điều kiện a 1 a 8 Từ phương trình (*) ta có: x thay vào phương trình (2) ta được: 0 a 1 2 a 8 a 8 a 0 a3 24a 72 0 a 1 2 a 1 a 6 a2 6a 12 0 ( ) 2 Ta có: a2 a 12 a 3 3 0 nên ( ) a 6 0 a 6 2 Với a 6 thì phương trình (1) là x 6x 8 0 có nghiệm x1 2; x2 4 2 Phương trình (2) là x x 6 0 có nghiệm x1 2; x2 3 nên hai phương trình có nghiệm chung x 2
7. Vậy với a 6 thì hai phương trình có nghiệm chung là x 2 16.6. Cho hai phương trình x2 mx n 0 và x2 2x n 0 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m và n , ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2  Phương trình x mx n 0 có 1 m 4n 2  Phương trình x 2x n 0 có 2 4n 4 2 Suy ra: 1 2 m 4 0 với mọi m,n . Do đó trong hai số 1 , 2 luôn có ít nhất một không âm. Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho luôn có ít nhất một phương trình có nghiệm c 0 16.7. Chứng minh rằng với điều kiện 2 a c ab bc 2ac thì phương trình: ax2 bx c 0 luôn có nghiệm (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Xét các trường hợp sau: c  Nếu a 0;b 0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất x b  Nếu a 0;b 0 thì c2 0 vô lí 2 2  Nếu a 0 từ a c ab bc 2ac 2ac a c b a c 2 2 2 Xét b2 4ac b2 2 a c 2b a c a c b a c 0 Vậy 0 , phương trình luôn có hai nghiệm Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm 16.8. Cho phương trình ẩn x tham số m : x2 2 m 1 x m2 2m 3 0 . Xác định m để phương trình có hai ngiệm x1; x2 sao cho: 2008 x2 x1 2013 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: m 1 m2 2m 3 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 m 3; x2 m 1
8. Phương trình có hai nghiệm: x1 m 3 2013 2008 x2 x1 2013 2009 m 2010 x2 m 1 2008 16.9. Chứng minh rằng phương trình: x2 ax b 1 x2 bx a 1 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b (Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số x2 ax b 1 0 1 x2 ax b 1 x2 bx a 1 0 2 x bx a 1 0 2 2 2 Ta có 1 a 4b 4; 2 b 4a 4 2 2 Suy ra 1 2 a 2 b 2 0 với mọi a;b do đó có ít nhất một trong hai giá trị 1; 2 không âm. Vậy phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b