Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình trùng phương • Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 bx2 c 0 a 0 1 • Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ. Đặt x2 t 0, đưa về phương trình at 2 bt c 0 2 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được; Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 3. Phương trình tích • Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0 • Giải phương trình tích 4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp - Phương trình bậc bốn dạng x a x b x c x d m với a b c d - Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: ax4 bx3 cx2 bx a 0 a 0 2 4 3 2 e d - Phương trình hồi quy có dạng ax bx cx dx e 0 a 0 trong đó a b 4 4 - Phương trình bậc bốn dạng x a x b c - Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau: mx nx • p ax2 bx d ax2 cx d ax2 mx c ax2 px c • d ax2 nx c ax2 qx c ax2 mx c px • d ax2 nx c ax2 qx c B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0
2. (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải. Đây là phương trình bậc 4. Suy luận rất tự nhiên là phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. Tuy nhiên quan sát các hệ số của vế trái: 1;3; 2; 6;4 , ta 2 4 6 4 3 2 phát hiện ra : do vậy bài toán có dạng ax bx cx dx e 0 a 0 trong đó 1 3 2 e d Cách giải của phương trình dạng này là: a b • Bước 1. Xét x 0 , hai vế không bằng nhau nên x 0 không phải là nghiệm của phương trình. • Bước 2. Xét x 0 chia cả hai vế của phương trình cho x2 . Sau đó đặt ẩn phụ. Bài toán có hai cách giải sau: Trình bày lời giải Cách 1 • x 0 không phải là nghiệm của phương trình. • Với x 0 chia hai vế cho x2 ta được: 2 6 4 2 4 2 x 3x 2 2 0 x 2 3 x 2 0 x x x x 2 4 4 Đặt y x y2 x2 4 x2 y2 4 x x2 x2 Phương trình có dạng y2 4 3y 2 0 y2 3y 2 0 Giải ra ta được y1 1; y2 2 2 - Với y 1 ta có x 1 x2 x 2 0 x Giải ra ta được x 1; x 2 2 - Với y 2 ta được x 2 x2 2x 2 0 x Giải ra ta được x 1 3; x 1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là s 1; 2; 1 3; 1 3 Cách 2:
3. x4 4x2 4 3x3 6x 2x2 0 2 x2 2 3x x2 2 2x2 0 2 x2 2 x x2 2 2x x2 2 2x2 0 x2 2 x2 2 x 2x x2 2 x 0 x2 x 2 x2 2x 2 0 x2 x 2 0 1 2 x 2x 2 0 2 2 • Giải phương trình (1): x x 2 0 ta được x1 1; x2 2 2 • Giải phương trình (2): x 2x 2 0 ta được x3 1 3; x4 1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là s 1; 2; 1 3; 1 3 Ví dụ 2: Giải phương trình x2 3x 2 x2 15x 56 8 0 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2008 - 2009) Giải Tìm cách giải. Khi khai triển, bài toán này có dạng phương trình bậc 4, nên cách giải chung là phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên vế trái có hai ngoặc chứa ẩn, có thể phân tích trực tiếp thành nhân tử. Sau khi phân tích xong ta thấy phương trình có dạng phương trình bậc bốn dạng: x a x b x c x d m với a b c d Vì vậy ta có lời giải thứ hai cho dạng toán này như sau: 2 2 • Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: x a b x ab x c d x cd m • Bước 2. Đặt x2 a b x ab y . Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giải Cách 1: x2 3x 2 x2 15x 56 8 0 x4 12x3 13x2 138x 120 0 x4 6x3 15x2 6x3 36x2 90x 8x2 48x 120 0 x2 x2 6x 15 6x x2 6x 15 8 x2 6x 15 0 x2 6x 15 x2 6x 8 0 2 • Giải phương trình x 6x 15 0 ta được x1 3 2 6; x2 3 2 6
4. 2 • Giải phương trình x 6x 8 0 ta được x3 3 17; x4 3 17 Vậy tập nghiệm của phương trình là: s 3 2 6; 3 2 6; 3 17; 3 17 Cách 2: Ta có thể viết: x 1 x 2 x 7 x 8 8 0 x 1 x 7 x 2 x 8 8 0 x2 6x 7 x2 6x 16 8 0 Đặt x2 6x 7 y phương trình có dạng y y 9 8 0 y2 9y 8 0 Giải ra ta được y1 1; y2 8 • Với y 1 ta được x2 6x 7 1 x2 6x 8 0 Giải ra ta được x3 3 17; x4 3 17 • Với y 8 ta được x2 6x 7 8 x2 6x 15 0 Giải ra ta được x1 3 2 6; x2 3 2 6 Vậy tập nghiệm của phương trình là: s 3 2 6; 3 2 6; 3 17; 3 17 2x 13x Ví dụ 3: Giải phương trình 6 32 5x 2 3x2 x 2 Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, bài toán có mx nx dạng p Nên bài toán có hai cách giải khác: ax2 bx d ax2 cx d - Cách 1. Đặt ax2 d t Ta được phương trình chứa cả x và t , rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Cách này gọi là đổi biến không hoàn toàn. - Cách 2. Vì x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả tử và mẫu mỗi phân thức m n ở vế trái cho x , ta được: p Sau đó đặt ẩn phụ rồi giải d d ax b ax c x x Trình bày lời giải 2x 13x Cách 1. Đặt t 3x2 2 phương trình có dạng 6 t 5x t x Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 2t 2 13t 11x2 0 t x 2t 11x 0
5. Trường hợp 1 Xét t x 0 3x2 2 x 0 vô nghiệm Trường hợp 2. Xét 2t 11x 0 2 3x2 2 11x 0 6x2 11x 4 0 1 4 Giải ra ta được x ; x 1 2 2 3 1 4 Vậy tập nghiệm của phương trinh là: s ;  2 3 Cách 2. Xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của 2 13 mỗi phân thức cho x ta được 6 2 2 3x 5 3x 1 x x 2 2 13 Đặt 3x 2 t phương trình có dạng 6 x t 3 t 3 7 Quy đồng, khử mẫu và thu gọn ta được: 6t 2 15t 21 0 Giải ra ta được t 1;t 1 2 2 2 * Trường hợp 1. Xét t 1 suy ra 3x 2 1 3x2 x 2 0 vô nghiệm x 7 2 7 * Trường hợp 2. Xét t suy ra 3x 2 6x2 11x 4 0 2 x 2 1 4 Giải ta ta được x ; x 1 2 2 3 1 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là: s ;  2 3 x2 3x 3 x2 6x 3 53 Ví dụ 4: Giải phương trình x2 4x 3 x2 5x 3 12 (Thi học sinh giỏi, Tinh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, Bài toán có ax2 mx c ax2 px c dạng d Cách giải thông thường cho dạng toán này là: ax2 nx c ax2 qx c - Bước 1. Xét x 0 hai vế không bằng nhau nên x 0 không phải là nghiệm của phương trình. - Bước 2. Xét x 0 chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x . Sau đó đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được.
6. Trình bày lời giải • Vì x 0 không phải là nghiệm của phương trình. • Điều kiện x 0 mỗi phân thức ở vế trái ta chia cả tử và mẫu cho x , ta được: 3 3 x 3 x 6 53 x x 2 3 3 x 4 x 5 12 x x 3 y y 3 53 Đặt y x 3 , phương trình (2) trở thành x y 7 y 2 12 Suy ra 12y y 2 12 y 3 y 7 53 y 2 y 7 29y2 241y 490 0 49 Giải ra ta được y 10; y 1 2 29 3 7 37 7 37 • Với y 10 ta được x 7 x2 7x 3 0 Giải ra ta được x ; x x 1 2 2 2 49 3 136 • Với y ta được x 29x2 87 136x 0 29 x 29 68 2101 68 2101 Giải ra ta được x ; x 1 29 2 29 7 37 7 37 68 2101 68 2101  Vậy tập nghiệm của phương trình là: s ; ; ;  2 2 29 29  Ví dụ 5: Giải phương trình x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 Giải Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu khai triển vế trái, ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, phương trình bậc 4 dạng x a x b x c x d mx2 với ab cd . Chúng ta có hai cách giải: 2 2 2 • Cách 1. Viết đa thức dưới dạng: x a b x ab x c d x cd mx 2 2 2 Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: x a b x ab x c d x cd mx Bước 2. Xét x 0 , hai vế không bằng nhau nên x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x2. Sau đó đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được.
7. • Cách 2. Đặt x2 a b x ab y , ta được phương trình hai ẩn. Phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa tìm được. Trình bày lời giải Cách 1 x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2 Nhận xét. x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương 2 8 8 trình cho x ta được: x 6 x 9 4 x x 8 Đặt x 6 y phương trình có dạng y y 3 4 y2 3y 4 0 x Giải ra ta được y 1; y 4 8 Trường hợp 1. Xét y 1 ta có x 6 1 x2 5x 8 0 x Phương trình vô nghiệm. 8 Trường hợp 2. Xét y 4 ta có x 6 4 x2 10x 8 0 x Giải ra ta được x1 5 17; x2 5 17 Vậy tập nghiệm của phương trình là s 5 17;5 17 Cách 2 x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2 Đặt x2 6x 8 y phương trình có dạng y y 3x 4x2 4x2 3xy y2 0 x y 4x y 0 - Trường hợp 1. x y 0 x x2 6x 8 0 x2 5x 8 0 Phương trình vô nghiệm. - Trường hợp 2. 4x y 0 4x x2 6x 8 0 x2 10x 8 0 Giải ra ta được x1 5 17; x2 5 17 Vậy tập nghiệm của phương trình là s 5 17;5 17 3 x 3 3 Ví dụ 6. Giải phương trình x 3 16 x 2
8. (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2011 - 2012) Giải 3 Áp dụng hằng đẳng thức a3 b3 a b 3ab a b Ta có 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 3 16 x 2 x 2 x 2 3 2 x 3 2 x 3 2 3 16 x 2 x 2 x 3 2 Đặt y phương trình có dạng y3 3y2 16 x 2 y3 3y2 16 0 y 4 y2 y 4 0 x 3 2 • Trường hợp 1. Xét y 4 0 4 0 x2 2x 1 0 x 1 x 2 • Trường hợp 2. Xét y2 y 4 0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là s 1 x2 x 1 x2 2x 2 x2 3x 3 x2 4x 4 Ví dụ 7. Giải phương trình: x 1 x 2 x 2 x 4 Giải Điều kiện : x 1; 2; 3; 4 Phương trình viết dưới dạng: 1 2 3 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1 4 2 3 0 x 1 x 4 x 2 x 3 3x x 0 x 1 x 4 x 2 x 3 3 1 x 0 x 1 x 4 x 2 x 3 • Trường hợp 1. Xét x 0 là nghiệm của phương trình. 3 1 • Trường hợp 2. Xét 0 x 1 x 4 x 2 x 3 Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được 4x2 20x 22 0
9. 5 3 5 3 Giải ra ta được x ; x thỏa mãn 1 2 2 2 5 3 5 3  Vậv tập nghiệm của phương trình là S 0; ;  2 2  C. Bài tập vận dụng x2 48 x 4 18.1. Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ 2 10 3 x 3 x (Thỉ học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 - 2010). Hướng dẫn giải – đáp số x 4 x2 8 16 Đặt t t 2 3 x 9 3 x2 x2 48 x2 48 3t 2 8 3t 2 8 3 x2 3 x2 Khi đó phương trình trở thành 3t 2 8 10t 3t 2 10t 8 0 4 Giải ra ta được t 2;t 1 2 3 x 4 • Với t 2 ta được 2 x2 6x 12 0 3 x Giải ra ta được x1 3 21; x2 3 21 4 x 4 4 • Với t ta được x2 4x 12 0 3 3 x 3 Giải ra ta được x3 2; x4 6 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 3 21;3 21; 2;6 2 18.2. Giải phương trình 2 8x 7 4x 3 x 1 7 Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2008 - 2009 Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: 2 8x 7 4x 3 x 1 7 2 64x2 112x 49 4x2 7x 3 7 Đặt y 4x2 7x 3 thì 64x2 112x 49 16y 1 Phương trình đã cho có dạng 2 16y 1 y 7 32y2 2y 7 0 7 1 Giải ra ta được y ; y 1 16 2 2 7 7 • Với y ta được 4x2 7x 3 64x2 112x 41 0 16 16
10. 7 2 2 7 2 2 Giải ra ta được x ; x 1 8 2 8 1 1 • Với y ta được 4x2 7x 3 8x2 14x 7 0 vô nghiệm 2 2 7 2 2 7 2 2  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ;  8 8  x2 18.3. Giải phương trình x2 3 x 1 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Bình Phước, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình tương đương với x2 x2 x2 x2 2 2 3 x 1 x 1 2 x 1 2 x x2 x 2. 3 x 1 x 1 2 x2 x2 2 3 0 x 1 x 1 x2 Đặt y phương trình có dạng y2 2y 3 0 x 1 Giải ra ta được y1 1; y2 3 x2 1 5 1 5 • Với y 1 ta được 1 x2 x 1 0 . Giải ra ta được x ; x x 1 1 2 2 2 x2 • Với y 3 ta được 3 x2 3x 3 0 vô nghiệm x 1 1 5 1 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là : S ;  2 2  18.4. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: x4 3m 1 x3 3m 2 x2 3m 1 x 1 0 (m là tham số) (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai vế của phương trình cho x2 ta được
11. 1 1 x2 3m 1 x 3m 2 3m 1 0 x x2 2 1 1 x 2 3m 1 x 3m 2 0 1 x x 1 Đặt x y điều kiện y 2 hoặc y 2 tức là y 2 x Khi đó phương trình có dạng y2 2 3m 1 y 3m 2 0 y2 3m 1 y 3m 0 2 Giải ra ta được y1 1; y2 3m Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn 2 2 y 2 3m 2 m hoặc m 3 3 2 Vậy với m thì phương trình đã cho vô nghiệm 3 4x2 16 3 5 7 18.5. Giải phương trình x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số 4x2 16 3 5 7 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 4x2 16 3 5 7 2 3 1 2 1 2 1 2 0 x 6 x 1 x 3 x 5 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 0 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 2 1 1 1 1 x 2 2 2 2 2 0 x 6 x 1 x 3 x 5 1 1 1 1 Vì 0 nên x2 2 0 x 2 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 2; 2 18.6. Giải phương trình x2 x 2 x2 2x 2 2x2 Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét. x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế cho x2 ta được: 2 2 x 1 x 2 2 x x 2 Đặt x 1 y phương trình có dạng y.( y 1) 2 x
12. y2 y 2 0 giải ra ta được y 1; y 2 2 Trường hợp 1. Với y 1 ta có x 1 1 x2 2 0 , phương trình vô nghiệm x 2 Trường hợp 1. Với y 2 ta có x 1 2 x2 3x 2 0 . Giải ra ta được x x 1; x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1; 2 18.7 Giải phương trình 3(x2 2x 1)2 2(x2 3x 1)2 5x2 0 Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét. x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của hai 2 2 2 1 1 phương trình cho x ta được: 3 x 2 2 x 3 5 0 x x 1 2 Đặt x 2 y phương trình có dạng 3y2 2 y 1 5 0 y2 4y 3 0 x Giải ra ta được y 1; y 3 1 Trường hợp 1. Với y 1 ta có x 2 1 x2 x 1 0 x 1 5 1 5 Giải ra ta được x ; x 1 2 2 2 1 Trường hợp 2. Với y 3 ta có x 2 3 x2 x 1 0 x 1 5 1 5 Giải ra ta được x ; x 3 2 4 2 1 5 1 5 1 5 1 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ; ; ;  2 2 2 2  18.8. Giải các phương trình: a)x4 24x 32 b)x4 4x 1 c)x4 2x2 12x 8 Hướng dẫn giải – đáp số a)x4 4x2 4 4x2 24x 36 2 2 x 2 2x 6 x2 2 2x 6 2 2 x 2 2x 6 • Giải phương trình x2 2 2x 6 x2 2x 4 0
13. Giải ra ta được x1 1 5; x2 1 5 Giải phương trình x2 2 2x 6 x2 2x 8 0 vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là: S 1 5;1 5 2 2 2 x 1 2.x 2 b)x4 2x2 1 2x2 4x 2 x2 1 2.x 2 2 x 1 2x 2 • Giải phương trình x2 1 2.x 2 x2 2x 1 2 0 2 4 2 2 2 4 2 2 Giải ra ta được x ; x 1 2 2 2 • Giải phương trình x2 1 2x 2 x2 2x 2 1 0 vô nghiệm 2 4 2 2 2 4 2 2  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ;  2 2  2 2 x 1 2x 3 c) x4 2x2 1 4x2 12x 9 x2 1 2x 3 2 2 x 1 2x 3 • Giải phương trình x2 1 2x 3 x2 2x 4 0 . Vô nghiệm • Giải phương trình x2 1 2x 3 x2 2x 2 0 Giải ra ta được x1 1 3; x2 1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1 3;1 3 x 3x 18.9 Giải phương trình 2 0 x2 x 2 x2 5x 2 (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số x 1 x2 x 2 0 x 2 ĐKXĐ: 2 x 5x 2 0 5 33 x 2 Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình 1 3 Khi x 0 thì phương trình đã cho 2 0 2 2 x 1 x 5 x x 2 1 3 Đặt t x ta được phương trình biểu thị theo t là 2 x t 1 t 5
14. t 2 5t 6 0 t 2;t 3 2 Với t 2 x 2 x2 2x 2 0 x 1 3 (thỏa mãn) x 2 3 17 Với t 3 x 3 x2 3x 2 0 x (thỏa mãn) x 2 3 17  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1 3;  2 