Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 2: Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 2: Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

1. Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Với A 0, B 0 thì: A.B A. B và ngược lại A. B A.B 2 Đặc biệt, khi A 0, ta có: A A2 A. A A A A 2. Với A 0, B 0 thì và ngược lại B B B B 3. Bổ sung • Với A1, A2 , , An 0 thì: A1 . A2 An A1.A2 An • Với a 0;b 0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra a 0 hoặc b 0 ). • Với a b 0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra a b hoặc b 0 ). B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực hiện phép tính a) 8 15. 8 15 ; 2 b) 6 11 6 11 . Giải a) 8 15. 8 15 64 15 49 7 . 2 b) 6 11 6 11 6 11 2 6 11 6 11 6 11 12 2 36 11 22 . Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P 2 2 2 . 4 8. 2 2 2 . Giải Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính. Trình bày lời giải P 2 2 2 . 4 8. 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 4 8 P 4 2 2. 4 2 2 2 2 . 2 2. 2 P 4 2. 2 2.
2. Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A 10 2 21 3 . Giải Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng a 2 b ta chú ý tới hằng đẳng thức 2 x 2 xy y x y 2 Ta cần biến đổi: a 2 b x y , do vậy ta xác định x và y thông qua x y a; xy b . Chẳng hạn: x y 10; x.y 21 x; y 3;7. Trình bày lời giải 2 A 3 2. 3.7 7 3 3 7 3 3 7 3 7 . Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B 4 7 8 3 5 2 Giải Tìm cách giải. Đề bài chưa xuất hiện dạng a 2 b . Ta cần biến đổi bài toán về dạng a 2 b và giải theo cách trên. Trình bày lời giải Ta có: B. 2 8 2 7 16 6 7 2 2 2 B. 2 7 1 3 7 2 B. 2 7 1 3 7 2 2 B 2 . Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A 2 3 4 2 3 21 12 3 Giải Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng a 2 b sau đó dùng hằng đẳng thức A2 A và giải như các ví dụ trên. Trình bày lời giải Ta có A 2 3 4 2 3 21 12 3 2 2 3 4 2 3 2 3 3 2 3 4 2 3 2 3 3
3. 2 2 3 4 4 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 . Suy ra A 2 . Ví dụ 6: Rút gọn: C 2 2 5 2 2 2 5 2 Giải Tìm cách giải. 2 Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng a 2 b x y . Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y x y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C. Trình bày lời giải Xét C 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 C 2 4 2 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5 1 2 C 2 6 2 5 5 1 . Vì C 0 nên C 1 5 . Ví dụ 7: Cho x, y thỏa mãn x 1 x2 y 1 y2 . Chứng minh rằng: x y . Giải Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x y , chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử x y . Dễ thấy x2 y2 có chứa nhân tử x y , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử x y chúng ta a b vận dụng a b a b a b từ đó suy ra: a b . Lưu ý rằng mẫu số khác 0. a b Từ đó chúng ra có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ đề bài ta có điều kiện: x 1; y 1. - Trường hợp 1: Xét x 1; y 1 x y . - Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có: x2 y2 x 1 y 1 0
4. x 1 y 1 x y x y 0 x 1 y 1 1 x y x y 0 x 1 y 1 1 Vì x y 0 x y 0 x y . x 1 y 1 1 2 Ví dụ 8: Cho a . Tính giá trị biểu thức 16a8 51a 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012) Giải 1 2 Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến 2 sai lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a2 ;a4 và a8 bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm. Trình bày lời giải 2a 1 2 2a 1 2 4a2 4a 1 2 4a2 1 4a 1 2 1 2 3 2 2 16a4 9 12 2 8 17 12 2 577 408 2 256a8 289 408 2 288 577 408 2 16a8 16 577 408 2 51 1 2 Xét 16a8 51a 16 2 577 408 2 408 408 2 169 16 16 169 13 Vậy 16a8 51a . 16 4 1 1 6 2 6 2 Ví dụ 9: Tính giá trị S với a ; b . a7 b7 2 2 Giải Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần. Trình bày lời giải
5. Từ đề bài suy ra: a b 6; ab 1 2 Ta có: a2 b2 a b 2ab 4 ; a3 b3 a b 3 3ab a b 6 6 3.1. 6 3 6 Xét a2 b2 a3 b3 a5 a2b3 a3b2 b5 a5 b5 a2b2 a b 4.3 6 a5 b5 1 6 Từ đó tính được: a5 b5 11 6 Xét a2 b2 a5 b5 a7 a2b5 a5b2 b7 a7 b7 a2b2 a3 b3 Suy ra: 4.11 6 a7 b7 1.3 6 a7 b7 41 6 1 1 S b7 a7 41 6 . a7 b7 Ví dụ 10: Cho b 0; a b . Chứng minh đẳng thức: a a2 b a a2 b a b 2 2 Giải a a2 b a a2 b Đặt vế phải là: B 2 2 Ta có B 0 2 2 a 2 a2 b a a b a a b a a2 b Xét B2 2. . 2 2 2 2 a2 a2 b B2 a 2. ; B2 a b 4 Vì B 0 nên B a b . Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 11: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x x2 2 y 1 y2 2y 3 2 Chứng minh rằng: x3 y3 3xy 1 Giải Đặt y 1 z từ giả thiết ta có: x x2 2 z z2 2 2 * Nhân hai vế với x2 2 x ta được
6. x2 2 x2 z z2 2 2 x2 2 x 2 z z2 2 2 x2 2 x z z2 2 x2 2 x 1 Nhân hai vế của đẳng thức (*) với z2 2 z ta được x x2 2 z2 2 z2 2 z2 2 z x x2 2 2 2 z2 2 z x x2 2 z2 2 z 2 Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được: x z 0 x y 1 0 x y 1 Xét x3 y3 3xy x y x2 xy y2 3xy x2 xy y2 3xy x2 2xy y2 x y 2 1 Vậy x3 y3 3xy 1. Điều phải chứng minh. C. Bài tập vận dụng 2.1. Tính: 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Ta có: A 2 3 5 5 2 3 2 6.2 6 24 . 2.2. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên. a) A 3 5. 3 5 10 2 ; b) B 2 3 1 2 3 . Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A 3 5. 3 5 . 2 5 1 6 2 5. 5 1 . 3 5 2 5 1 . 5 1 . 3 5 5 1 . 5 1 . 3 5 5 2 5 1 . 3 5 2 3 5 . 3 5 2. 9 5 8 . Vậy A là số tự nhiên. 2 b) Ta có B 3 1 . 4 2 3 3 1 . 3 1
7. B 3 1 . 3 1 3 1 2 . Vậy B là số tự nhiên. 2.3. Rút gọn biểu thức: 3 10 20 3 6 12 a) P ; 5 3 2 3 6 8 4 b) Q . 2 3 4 Hướng dẫn giải – đáp số 10 3 2 6 3 2 3 2 10 6 a) Ta có: P 5 3 5 3 3 2 . 2 5 3 P 3 2 2 . 5 3 2 3 2 2 6 8 2 3 4 1 2 b) Ta có Q 1 2 . 2 3 4 2 3 4 2.4. Rút gọn các biểu thức: 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 a) C ; 2 9 6 2 6 b) D . 3 Hướng dẫn giải – đáp số 1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6 a) C 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 2 2 2 2 C 2 . 2 3. 3 2 2 6 3. 2 2 2 1 6 b) D 3 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1. 3 3
8. 2.5. Cho x 3 2 . Tính giá trị B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2018 . (Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Từ x 2 3 , bình phương hai vế ta được: x2 4x 4 3 x2 4x 1 0 * Ta có B x3 x2 4x 1 x2 x2 4x 1 5 x2 4x 1 2013 Kết hợp với (*) ta có: B 2013. 2.6. Tính giá trị biểu thức A x2 2002x 2003 với 27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2 x 13 3 13 3 : 13 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: 27 10 2 5 2 5 2 . 2 27 10 2 5 2 5 2 2 2 Tử số là: 5 2 . 5 2 5 2 . 5 2 5 2 .23 5 2 .23 46 2 . Xét a 13 3 13 3; a 0 . a2 13 3 13 3 2 13 3 13 3 a2 2 13 4 a 2 13 2 . 46 2 Do đó x 46 . 2 13 2 : 13 2 Vậy giá trị biểu thức A 462 2002.46 2003 92205 . 2.7. So sánh: a) 6 20 và 1 6 ; b) 17 12 2 và 2 1;
9. c) 28 16 3 và 3 2 Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) Ta có 5 2 5 1 5 1 5 1 6 1 Vậy 6 20 1 6 . 2 b) Ta có 17 12 2 = 9 12 2 8 = 3 2 2 2 = 3 2 2 = 2 2 2 1= 2 1 2 1. 2 c) 16 16 3 12 = 4 2 3 = 4 2 3 2 = 3 2 3 1= 3 1 = 3 1 3 2 . Vậy 28 16 3 3 2 . 2.8. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn: a b 1 b2 1 a2 Chứng minh rằng a2 b2 1. b) Chứng minh rằng số 20092 20092.20102 20102 là số nguyên dương. (Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có a 1 a2 b 1 b2 . Bình phương hai vế không âm, ta được: a2 2a 1 a2 1 a2 b2 2b 1 b2 1 b2 a 1 a2 b 1 b2 . Bình phương hai vế không âm, ta được: a2 1 a2 b2 1 b2 a4 b4 a2 b2 0 a2 b2 a2 b2 1 0 Do a, b là hai số dương khác nhau nên a2 b2 0 a2 b2 1 0 hay a2 b2 1. Điều phải chứng minh. b) Đặt a 2009 , ta có: a2 a2 a 1 2 a 1 2 a2 a4 2a3 a2 a 1 2
10. 2 a4 2a2 a 1 a 1 2 a2 a 1 a2 a 1 20092 2009 1 là số nguyên dương. 2.9. Cho b 0; a b . Chứng minh đẳng thức: a b a b 2 a a2 b Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A a b a b ta có A 0. Xét A2 a b 2. a b a b a b A2 2a 2 a2 b A2 2. a a2 b Vì A 0 nên A 2 a a2 b . Suy ra điều phải chứng minh. 2 2 3 3 5 5 2.10. Cho x1 3 5 và x2 3 5 . Hãy tính: A x1.x2 ; B x1 x2 ; C x1 x2 ; D x1 x2 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A x1.x2 3 5. 3 5 9 5 2 . 2 2 Ta có: B x1 x2 3 5 3 5 6 . Ta có: C x x x2 x x x2 3 5 3 5 6 2 1 2 1 1 2 2 C 3 5 3 5 .4 C 6 2 5 6 2 5 .2. 2 C 5 1 5 1 .2 2 4 10 . 2 2 3 3 5 2 3 3 3 5 Xét x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x2 5 5 2 2 6.4 10 x1 x2 x1 x2 x1 x2 24 10 x5 x5 4 3 5 3 5 1 2 24 10 x5 x5 6 2 5 6 2 5 .2. 2 1 2 5 5 24 10 x1 x2 5 1 5 1 .2 2 5 5 D x1 x2 20 10 .
11. 7 5 7 5 2.11. Rút gọn biểu thức: A 3 2 2 . 7 2 11 (Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số Xét B 7 5 7 5 B2 7 5 2 7 5 7 5 7 5 B2 14 2 49 5 14 4 11 Mà B 0 nên B 14 4 11 . 14 4 11 2 Từ đó suy ra: A 2 1 A 2 2 1 1. 7 2 11 2.12. Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 1 y y y 1 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 3xy 2y2 8y 12 . Hướng dẫn giải – đáp số Tập xác định x 1; y 1. • Trường hợp 1: Xét x y 1 suy ra: P 12 3.1.1 2.12 8.1 12 6 1 • Trường hợp 2: Xét ít nhất x 1 hoặc y 1. Ta có: x x y y x 1 y 1 0 x 1 y 1 x y . x xy y 0 x 1 y 1 x y x y x y . x xy y 0 x 1 y 1 x y x y . x xy y 0 x 1 y 1 x y Mà x 1; y 1 nên x xy y 0 x 1 y 1 Suy ra x y 0 x y Ta có: S x2 3x2 2x2 8x 12 S 2x2 8x 12 S 2. x 2 2 4 0
12. Dấu bằng xảy ra khi x 2 . Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x 2 2 . Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x 2 . 2.13. Rút gọn các biểu thức sau: P 4 5 3 5 48 10 7 4 3 ; Q 3 1 6 2 2. 3 2 12 18 128 . Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P 4 5 3 5 48 10 4 4 3 3 2 P 4 5 3 5 48 10 2 3 P 4 5 3 5 48 10 2 3 P 4 5 3 5 28 10 3 P 4 5 3 5 25 10 3 3 2 P 4 5 3 5 5 3 P 4 5 3 5 5 3 P 4 5 3 25 5 3 4 25 9 3. b) Q 3 1 6 2 2. 3 2 12 16 8 2 2 2 Q 3 1 6 2 2. 3 2 12 4 2 Q 3 1 6 2 2. 3 2 2 3 4 2 Q 3 1 6 2 2 3 3 2 3 1 Q 3 1 6 2 2 3 3 1 3 1 6 2 2 2 3
13. Q 3 1 6 2 4 2 3 3 1 6 2 3 1 Q 3 1 4 2 3 3 1 3 1 2 . 2.14. Rút gọn biểu thức: 6 2 5 13 48 a) A 3 1 2 3 3 13 48 b) T 6 2 Hướng dẫn giải – đáp số 6 2 5 12 4 3 1 a) Ta có: A 3 1 2 6 2 5 2 3 1 6 2 5 2 3 1 A 3 1 3 1 2 6 2 3 2 3 1 6 2 3 1 A 3 1 3 1 6 2 3 1 3 2 3 1 A 3 1 3 1 2 3 1 3 1 A 1. 3 1 3 1 2 2 3 3 13 4 3 2 3 3 2 3 1 b) Ta có T 6 2 6 2 2 2 3 3 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 T 6 2 6 2 2 3 1 2. 2 3 4 2 3 3 1 T 1. 3 1 3 1 3 1 2 10 30 2 2 6 2 2.15. Rút gọn biểu thức: A : . 2 10 2 2 3 1 Hướng dẫn giải – đáp số
14. 10 2 3 2 2 3 3 1 Ta có: A . 2 10 2 2 10 2 . 2 3 3 1 A . 2 10 2 2 2 3 3 1 4 2 3 3 1 A . . 2 2 4 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 A . . . 4 2 2 2 4 2 2.16. Biết x 2 2 3 6 3 2 3 . Tính giá trị biểu thức: S x4 16x2 . Hướng dẫn giải – đáp số Xét x2 2 2 3 6 3 2 3 2 2 2 3 6 3 2 3 x2 8 2 2 3 2 3 4 2 3 x2 8 2 2 3 2 6 3 3 8 x2 2 2 3 6 3 3 . Bình phương hai vế ta được: 2 4 64 16x x 4 2 3 6 3 3 2 2 3 6 3 3 64 16x2 x4 32 x4 16x2 32 . 2 2 2.17. Cho x 2019 x 2019 2020 y 2019 y 2019 2020 2020 . Tính giá trị của A x y . Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x 2019 a; y 2019 b . Đẳng thức đã cho có dạng: a a2 2020 . b b2 2020 2020 * Nhân hai vế của đẳng thức (*) với a2 2020 a , ta được:
15. a2 2020 a2 b b2 2020 a2 2020 a .2020 b b2 2020 a2 2020 a 1 Nhân hai vế của đẳng thức (*) với b2 2020 b , ta được: a a2 2020 b2 2020 b2 2020. b2 2020 b a a2 2020 b2 2020 b 2 Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được: a b 0 x 2019 y 2019 0 Vậy A x y 4038. x2 5x 6 x 9 x2 2x 2.18. Rút gọn biểu thức: A : 2 1 3x x2 x 2 9 x2 3 x Hướng dẫn giải – đáp số x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2x Ta có: A : 2 x 3 x x 2 3 x 3 x 3 x Điều kiện xác định 3 x 3 , x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 x A : 2 3 x x 3 x x 2 x 3 3 x x 3 1 3 x 1 A . . 3 x 2 3 x 2 2.19. Cho biểu thức P a2013 8a2012 11a2011 b2013 8b2012 11b2011 . Tính giá trị biểu thức của P với a 4 5 và b 4 5 . (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Xét a 4 5 bình phương hai vế ta được: a2 8a 16 5 a2 8a 11 0 Xét b 4 5 bình phương hai vế ta được: b2 8b 16 5 b2 8b 11 0 . P a2011 a2 8a 11 b2011 b2 8b 11 P 0 .
16. 3 3 2.20. Cho x ; x 0 và 3 2x 3 2x a . 2 2 6 2 9 4x2 Tính giá trị của biểu thức P theo a. x (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số 3 2x 2 3 2x 3 2x 3 2x Ta có: P x 2 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x P x x 3 2x 3 2x 4x 4 P . x 3 2x 3 2x x 3 2x 3 2x a 2.21. Tính giá trị của biểu thức: A 2x3 3x2 4x 2 5 5 5 5 Với x 2 2 3 5 1. 2 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số 5 5 5 5 Đặt a 2 2 ,a 0 . 2 2 5 5 2 Xét a2 4 2 4 4 6 2 5 4 5 1 3 5 2 a 3 5 6 2 5 6 2 5 x 3 5 3 5 1 1 2 2 5 1 5 1 1 2 1 2 2 2 x 2 1 x 1 2 x 1 2 x2 2x 1 0 . Ta có: A 2x3 3x2 4x 2 A 2x x2 2x 1 x2 2x 1 1 1. 2.22. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 . Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
17. Hướng dẫn giải – đáp số Đặt số đó là ab . Theo đầu bài, ta có: ab a b ab a2 2a b b 10a a2 2a b a 2 b 10 a chẵn. Đặt a 2K K ¥ 2K 2 b 10 K b 5 . Do b 9 nên b 0;1;4;9 . • Nếu b 0 K 5 a 10 (loại) • Nếu b 1 K 4 a 8 Số đó là 81 • Nếu b 4 K 3 a 6 Số đó là 64 (đã cho) • Nếu b 9 K 2 a 4 Số đó là 49.