Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 20: Vị trí tương giao giữa parabol và đường thẳng

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 20: Vị trí tương giao giữa parabol và đường thẳng

1. Chương VỊ TRÍ TƯƠNG GIAOGIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 20 A.Kiến thức cần Cho Parabol (P): y ax2 a 0 và đường thẳng y bx c có đồ thị là (d) . Khi đó hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm của phương trình:ax2 bx c (*) • (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt • (P) không cắt (d) phương trình (*) vô nghiệm • (P) tiếp xúc với (d) phương trình (*) có nghiệm kép B. Một số ví dụ Ví dụ 1:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho Parabol (P) có phương trình y x2 và đường thẳng (d) có phương trình y kx 1 (k là tham số) . Tìm k để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho MN 2 10 (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải. Để giải quyết dạng toán này , chúng ta cần thực hiện qua các bước sau: • Bước 1. Tìm điều kiện để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tức là phương trình x2 kx 1 có hai nghiệm phân biệt. • Bước 2. Vận dụng hệ thức Vi-ét. Vì M x1; y1 , N x2 ; y2 thuộc (d), biểu diễn y1, y2 theo x1, x2 rồi theo k. • Bước 3. Vận dụng công thức : M x1; y1 , N x2 ; y2 thì: 2 2 MN x2 x1 y2 y1 .Sau đó tìm k Bước 4. Nhận xét, so sánh k tìm được với bước 1, rồi trả lời Trình bày lời giải (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M x1; y1 , N x2 ; y2 thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2 kx 1 0 Xét k 2 4 0 với mọi k, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1 x2 k Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 1 Vì M, N thuộc (d) nên y1 kx1 1; y2 kx2 1 y2 y1 k x2 x1
2. 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: MN x2 x1 y2 y1 2 10 x2 x1 k x2 x1 40 1 k 2 x x 2 1 k 2 x x 2 4x x 40 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 1 k k 4 40 k 5k 36 0 k 2 Vậy với k 2 thì đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN 2 10 Ví dụ 2:Cho Parabol (P) : y 2x2 . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ bằng 1, điểm B có hoành độ bằng 2. Tìm m và n để đường thẳng d : y mx n tiếp xúc với Parabol (P) và song song với đường thẳng AB. (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Vĩnh Long ,năm học 2011-2012) Giải Tìm cách giải . Qua dữ kiện và yêu cầu của bài toán . Chúng ta có thể giải bài toán theo bước sau : • Bước 1. Biết hoành độ của điểm A và B , đồng thời A và B cùng thuộc (P) nên tính được tung độ điểm A và B. Từ đó viết phương trình đường thẳng AB. • Bước 2. Vì (d) song song với AB nên a a . Tìm được m • Bước 3. Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P) nên vận dụng phương trình : ax2 bx c có nghiệm kép .Từ đó tìm được n Trình bày lời giải Tung độ của điểm A là y 2.12 2 A 1;2 Tung độ của điểm B là y 2.22 8 A 2;8 Gọi phương trình đường thẳng AB là y ax b a b 2 a 6 Suy ra : 2a b 8 b 4 Vậy phương trình đường thẳng AB là y 6x 4 (d) song song với AB nên m 6 (d) tiếp xúc với Parabol P 2x2 6x n có nghiệm kép 9 2x2 6x n 0 có nghiệm kép ' 9 2n 0 n 2 9 Vậy với m 6,n thì đường thẳng d : y mx n tiếp xúc với Parabol (P) và song song với 2 đường thẳng AB
3. Ví dụ 3:Trong cùng một hệ tọa độ , cho đường thẳng d : y x 2 và Parabol (P): y x2 . Gọi A và B là giao điểm của d và (P) a) Tính độ dài AB b) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD AB (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải a) Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình : 2 2 x x 2 x x 2 0 x1 1;x2 2 • Với x 1thì y 1 2 1 suy ra A 1; 1 • Với x 2 thì y 2 2 4 suy ra B 2; 4 2 2 Độ dài đoạn thẳng AB là : AB 1 2 1 4 3 2 (đvđd) b) Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D là : x2 x m có hai 1 nghiệm phân biệt 1 4m 0 m 4 2 Đặt C x1; y1 ;D x2 ; y2 thì x1;x2 là nghiệm của phương trình : x x m 0 x1 x2 1 Theo hệ thức Vi-et ta có : x1x2 m Vì C x1; y1 ;D x2 ; y2 thuộc (d) nên y1 x1 m; y2 x2 m 2 2 2 2 2 CD AB x2 x1 y2 y1 3 2 x2 x1 x2 x1 18 2 2 x2 x1 9 x2 x1 4x1x2 9 1 4m 9 m 2 Vậy với m 2 thì đường thẳng d : y x m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD AB 1 1 Ví dụ 4:Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2 4 2 a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng hệ trục Oxy b) Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) . Tìm điểm M trên cung A¼OB của (P) Sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất c) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho NA NB nhỏ nhất Giải Tìm cách giải • Để tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất , ta có hai hướng suy nghĩ:
4. Hướng 1 . Vì A, B đã biết nên phương trình đường thẳng AB là viết được và độ dài đoạn thẳng AB xác định được . Mặt khác vì tập hợp điểm M chỉ trên cung A¼OB của (P) nên để diện tich tam giác MAB lớn nhất chúng ta cần xác định khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất . Từ đó chúng ta nghĩ tới việc viết đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) là : y ax b . Khi đó cung A¼OB của (P) chỉ nằm giữa (d) và d nên khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất khi M trùng với tiếp điểm d và (P) Hướng 2 . Gọi C,D, N lần lượt là hình chiếu của B, A, M trên trục hoành . Khi đó ABCD, AMND , BCNM là hình thang và ABCD có diện tích xác định.Để diện tích tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi tổng diện tích AMND và BCMN có diện tích nhỏ nhất . Vậy ta tính tất cả cách diện tích hình thang trên theo tọa độ đã biết và m. • Tìm điểm N trên trục Ox sao cho NA NB nhỏ nhất , chúng ta dựa vào kiến thức hình học . Lấy B đối xứng với B qua Ox thì độ dài AB không đổi đồng thời OB OB nên NA NB NA NB AB Trình bày lời giải a) Tự vẽ hình b) Gọi phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) là : y ax b 1 1 Vì d / / d nên : a d : y x b 2 2 d tiếp xúc với P phương trình hoành độ giao điểm 1 1 x2 x b hay x2 2x 4b 0 có nghiệm kép 4 2 1 ' 1 4b 0 b 4
5. 1 1 Khi đó , phương trình d là y x . Tiếp điểm có hoành độ là nghiệm kép của 2 4 1 phương trình: x2 2x 1 0 x 1 y 4 1 Tọa độ tiếp điểm là T 1; 4 1 Kẻ MH  AB . Ta có : S AB.MH . Do đó AB không đổi nên S lớn nhất ABM 2 ABM 1 MH lớn nhất M trùng với T M 1; 4 c) Tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình : 1 1 x2 x 2 x2 2x 8 0 4 2 Suy ra x1 4;x2 2 y1 4; y2 1 Do đó A 4;4 ;B 2;1 . Lấy B đối xứng với B 2;1 qua Ox , ta có B 2; 1 khi đó NB NB NA NB NA NB AB Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, N,B thẳng hàng . Suy ra điểm N cần tìm chính là giao điểm của AB và trục Ox . Gọi phương trình của đường thẳng AB có dạng y mx n . Do A 4;4 và B 2; 1 thuộc đường thẳng nên :
6. 5 m 4m n 4 6 2m n 1 2 n 3 5 2 Phương trình của AB là : y x 6 3 5 3 4 y x x 4 Suy ra tọa độ của N là nghiệm của hệ : 6 2 5 vậy N ;0 5 y 0 y 0 Ví dụ 5:Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x m với m 0 .Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông tại O Giải Tìm cách giải. Những bài toán về tọa độ liên quan đến khoảng cách , góc vuông thông thường chúng ta nghĩ tới vận dụng hệ thức Vi-ét . Do vậy , để giải quyết bài toán này : • Bước 1.Tìm điều kiện m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt . Tức là phương trình : x2 x m có hai nghiệm phân biệt , trong đó nghiệm của phương trình là hoành độ của giao điểm • Bước 2. Sử dụng định lí đảo Py-ta-go : OAB là tam giác vuông tại O OA2 OB2 AB2 Từ đó chúng ta có lời giải sau: Trình bày lời giải 2 Gọi A x1; y1 ;B x2 ; y2 thì x1;x2 là nghiệm của phương trình : x x m x2 x m 0
7. 1 (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt 0 1 4m 0 m 4 x1 x2 1 Theo hệ thức Vi-et ta có : x1x2 m Vì A x1; y1 ;B x2 ; y2 thuộc (d) nên: y1 x1 m; y2 x2 m; y2 y1 x2 x1 ABCvuông tại O OA2 OB2 AB2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 y2 x2 x1 x2 y1 y2 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 m x2 m 0 2 2 m 0 2x1x2 m x1 x2 m 0 2 m m.1 m 0 m 1 Kết hợp với điều kiện thì m 1 thỏa mãn , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A,B phân biệt cho tam giác OAB là tam giác vuông tại O C. Bài tập vận dụng 20.1.Cho hàm số y x2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng phương trình y x m cắt đồ thị tại 4 4 hai điểm phân biệt A x1; y1 ;B x2 ; y2 thỏa mãn x2 x1 y2 y1 18 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Vì A x`1; y1 ;B x2 ; y2 thuộc (d) nên: y1 x1 m; y2 x2 m; y2 y1 x2 x1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d : x2 x m x2 x m 0
8. 1 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 0 1 4m 0 m 4 x1 x2 1 Theo hệ thức Vi-et: x1x2 m 4 4 4 4 x2 x1 y2 y1 18 x2 x1 x2 x1 18 4 2 2 x2 x1 9 x2 x` 3 x2 x1 4x1x2 3 1 Hay1 4m 3 m (thỏa mãn) 2 1 1 Vậy với m thì đường thẳng y x cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt 2 2 4 4 A x1; y1 ;B x2 ; y2 thỏa mãn x2 x1 y2 y1 18 1 20.2. Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng d : y mx 2m 1 (m là tham số) 4 a) Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm A cố dịnh thuộc Parabol (P) (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bình Phước năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số 1 a) Đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol P x2 mx 2m 1 có nghiệm kép 4 x2 4mx 8m 4 0 có nghiệm kép ' 4m2 8m 4 0 m 1 b) Gọi A x0 ; y0 mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m y0 mx0 2m 1 x0 2 0 x0 2 m x0 2 y0 1 đúng với mọi m y0 1 0 y0 1 1 Ta có x 2, y 1 thỏa mãn y x2 nên A 2; 1 thuộc Parabol (P) 0 0 4 20.3. Cho hàm số y f x m2 m 5 .x2 a) Chứng minh rằng y f x nghịch biến trong khoảng ;0 và đồng biến trong khoảng 0; b) Với m 0 . Tìm giá trị nguyên của x để f x 100 Hướng dẫn giải – đáp số
9. 2 2 1 3 a) Ta có: m m 5 m 4 0 2 4 Nên y f x nghịch biến trong khoảng ;0 và đồng biến trong khoảng 0; b) Với m 0 thì f x 5.x2 100 x2 20 với x nguyên nên : x 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 x2 20.4. Cho đường thẳng d : y mx m 2 (m là tham số) và Parabol P : y 2 a) Tìm m để đường thẳng (d) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x 4 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt c) Giả sử x1; y1 và x2 ; y2 là tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) . Chứng minh rằng : y1 y2 2 2 1 . x1 x2 Hướng dẫn giải – đáp số 42 a) Với x 4 thì y 8 I 4;8 2 Điểm I đó thuộc d 8 4m m 2 m 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 mx m 2 0 x2 2mx 2m 4 0 2 2 Có ' m2 2m 4 m 1 3 0 với mọi m, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt . Vì vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 2 c) x1;x2 là nghiệm của phương trình : x 2mx 2m 4 0 theo hệ thức Vi-et: x1 x2 2m 2 Do đó: y1 y2 m x1 x2 2m 4 2m 2m 4 Nhận thấy : y1 y2 2 2 1 . x1 x2 2 2m2 2m 4 2 2 1 .2m m2 2 2m 2 0 m 2 0 (luôn đúng với mọi m ) nên suy ra điều phải chứng minh 20.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng (d) có phương trình y mx 1(m là tham số)
10. a) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B lần lượt là x1 và x2 . Chứng minh rằng : x1 x2 2 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bình Định năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét phương trình x2 mx 1 x2 mx 1 0 có m2 4 0 với mọi m Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B x1 x2 m b) Theo hệ thức Vi-et ta có : x1x2 1 2 2 2 Xét x1 x2 x1 x2 4x1x2 m 4 4 x1 x2 2 20.6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol P : y x2 và hai điểm A 1;1 ;B 3;9 nằm trên (P) . Gọi M là điểm thay đổi trên (P) có hoành độ là m 1 m 3 Tìm m để diện tích tam giác AMB lớn nhất (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thái Bình năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số M P có hoành độ là m , suy ra tung độ là m 2 Gọi C, D, N là hình chiếu của B, A, M trên trục hoành thì : C 3;0 ,D 1;0 , N m;0 AD BC 1 9 Diện tích hình thang ABCD là : S gCD  4 20 (đv.dt) 2 2
11. AD MN 1 m2 Diện tích hình thang AMND là: S gDN  m 1 (đv.dt) 1 2 2 BC MN m2 9 Diện tích hình thang BCNM là : S gCN  3 m (đv.dt) 2 2 2 Suy ra diện tích tam giác AMB là: 1 m2 m 1 9 m2 3 m S S S S 20 AMB 1 2 2 2 2 2 SABM 6 2m 4m 8 2 m 1 8 Vậy diện tích tam giác AMB lớn nhất là 8 (đv.dt) khi m 1 2 · 20.7. Cho Parabol P : y x . Trên (P) lấy hai điểm A1;A2 sao cho A1OA2 90 (O là gốc tọa độ).Hình chiếu vuông góc của A1;A2 trên trục hoành lần lượt là B1;B2 Chứng minh rằng OB1.OB2 1 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A1 x1; y1 ;A2 x2 ; y2 thì B1 x1;0 ;B2 x2 ;0 2 2 Vì A1;A2 P nên y1 x1 ; y2 x2 · 2 2 2 A1OA2 90 A1A2 A1O A2O 2 2 2 2 2 2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 2 2 x1x2 0 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 x2 0 x1x2 1 x1x2 0 1 x1x2 0
12. Vì A1;A2 khác O nên x1x2 0 loại , do đó 1 x1x2 0 x1x2 1 Vậy OB1.OB2 x1 . x2 1 Điều phải chứng minh 1 20.8. Cho Parabol P : y x2 3 a) Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) , biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A 2;1 b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 2;1 và có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N . Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi c) Tìm quỹ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, vòng 1, năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải – đáp số a) Phương trình đường thẳng d1 đi qua A 2;1 có dạng y ax b 1 2a b b 1 2a .Do đó d1 : y ax 2a 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (P) là :
13. 1 x2 ax 2a 1 x2 3ax 6a 3 0 (1) 3 d1 là tiếp tuyến của P phương trình (1) có nghiệm kép 9a 2 4 6a 3 0 9a 2 24a 12 0 2 a 2 3a 2 0 a 2;a 1 2 3 2 1 Vậy từ A 2;1 có hai tiếp tuyến đến (P) là d : y 2x 3;d : y x 1 2 3 3 b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;1 có hệ số góc m là : y mx 1 2m Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) : 1 x2 mx 2m 1 x2 3mx 6m 3 0 (2) 3 d cắt (P) tại hai điểm phân biệt 9m2 4 6m 3 0 9m2 24m 12 0 3. m 2 3m 2 0 2 m hoặc m 2 (*) 3 Với điều kiện (*) , d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N có hoành độ là x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (2) , nên tọa độ trung điểm I của MN là 2x x x 3m m x 1 2 3 2 2 2 2 4 y mx 1 2m y x x 1 3 3 2 Với m hoặc m 2 x 1;x 3 . Vậy khi m thay đổi , quỹ tích của I là phần của Parabol 3 2 4 y x2 x 1 , giới hạn bởi x 1;x 3 3 3 c) Gọi M0 x0 ; y0 là điểm từ đó có thể vẽ hai tiếp tuyến vuông góc với (P) . Gọi phương trình đường thẳng d đi qua M0 và hệ số góc k là y kx b , đường thẳng này đi qua M0 nên y0 kx0 b b y0 kx0 , suy ra phương trình của d : y kx kx0 y0 Phương trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là : 1 x2 kx kx y x2 3kx 3kx 3y 0 3 0 0 0 0 Phương trình có nghiệm kép
14. 2 2 0 9k 4 3kx0 3y0 0 9k 12kx0 12y0 0( ) Để từ M0 có thể kẻ hai tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phương trình ( ) có hai nghiệm 12y 3 phân biệt k ;k và k k 1 0 1 y 1 2 1 2 9 0 4 Vậy quĩ tích các điểm M0 , từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến vuông góc với (P) 3 là đường thẳng y 4 x2 4x 20.9. Cho hàm số y 4 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số b) Viết phương trình các đường tiếp tuyến từ điểm A 2; 2 đến P c) Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , TP Hờ Chí Minh, năm học 1992-1993) Hướng dẫn giải – đáp số 1 a) P : y x2 x 4 TXĐ: R Bảng giá trị x -2 0 2 4 6 y 3 0 -1 0 3 Vẽ:
15. x2 4x Nhận xét : Đồ thị hàm số y là một đường cong Parabol có đỉnh 2; 1 4 Và đi qua các điểm 2;3 ; 0;0 ; 4;0 ; 6;3 b)Phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng y ax b A d 2 2a b b 2a 2 d : y ax 2a 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) x2 4x ax 2a 2 x2 4 a 1 x 8a 8 0 (*) 4 2 Xét ' 4. a 1 8a 8 4a 2 4 (d) tiếp xúc với P * có nghiệm kép ' 0 4a 2 4 0 a 1 a 1 thì b 2a 2 4 a 1 thì b 2a 2 0 Vậy qua A có hai tiếp tuyến với (P) và phương trình là: y x 4; y x c)Gọi M x0 ; y0 là điểm thuộc tập hợp điểm cần tìm . Phương trình đường thẳng (D) qua M có dạng y ax b M D y0 ax0 b b ax0 y0 D : y ax ax0 y0 . Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) :
16. x2 4x ax ax y x2 4 a 1 x 4ax 4y 0 4 0 0 0 0 2 2 ' 4 a 1 4ax0 4y0 4a 4 2 x0 a 4y0 4 (D) tiếp xúc với P có nghiệm kép 2 ' 0 a 2 x0 a y0 1 0 (1) Để có hai tiếp tuyến vuông góc thì phương trình (1) ẩn a có hai nghiệm phân biệt a1;a2 và a1.a 2 1 Do đó y0 1 1 y0 2 Vậy tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) là đường thẳng y 2 20.10. Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị y x2 P tại hai điểm phân biệt 2014 2014 A x1; y1 ,B x2 ; y2 sao cho : x2 x1 y2 y1 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt x2 x m có hai nghiệm phân biệt 1 x2 x m 0 (1) có 1 4m 0 m 4 Khi ấy x1;x2 là nghiệm của phương trình (1) x1 x2 1 Theo hệ thức Vi-et ta có : x1.x2 m Ta có : y1 x1 m, y2 x2 m y2 y1 x2 x1 2014 2014 2014 2014 x2 x1 y2 y1 2 x2 x1 x2 x1 2 2014 2 2 x2 x1 1 x2 x1 1 x2 x1 4x2 x1 1 1 4m 1 m 0 thỏa mãn Vậy với m 0 thì (P) cắt (d) thỏa mãn điều kiện đề bài 20.11. một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol . Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol ) tới mỗi chân cổng là 2 5m ( bỏ qua độ dầy của cổng) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol P y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua . Chứng minh a 1
17. b) Hỏi xe tải có thể qua cổng được không ? Tại sao ? (tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên , Đại học sư phạm Hà Nội , năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ , độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét . Do khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 4 m nên MA NA 2 Từ giả thiết ta có: OM ON 2 5 , do đó theo định lý Py-ta-go có OA 4 Vậy M 2; 4 , N 2; 4 Mặt khác , do M, N thuộc Parabol nên 4 a.22 a 1 và P : y x2 b) Để đáp ứng được chiều cao , trước hết xe tải phải chọn phương án đi vào chính giữa cổng 6 36 6 36 Trên Parabol (P) xét hai điểm H ; và T ; đối xứng nhau qua Oy và 5 25 5 25 HT 2,4 (ứng với chiều cao của xe tải ) 64 Gọi B là giao điểm của HT và trục tung . Khi đó AB 2,5 25 Do đó xe tải có thể đi qua cổng 20.12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol P : y x2 cắt đường thẳng d : y mx 2 tại hai điểm phân biệt A x1; y1 ,B x2 ; y2 thỏa mãn y1 y1 2 x1 x1 1 (Tuyển sinh vào lớp 10 , THPT chuyên , tỉnh Ninh Bình, năm học 2015-2016)
18. Hướng dẫn giải – đáp số (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt x2 mx 2 có hai nghiệm phân biệt x2 mx 2 0 (1) có m2 8 m 8 Khi ấy x1;x2 là nghiệm của phương trình (1) x1 x2 m Theo hệ thức Vi-et ta có : x1x2 2 Ta có : y1 mx1 2, y2 mx2 2 2 y1 y2 2 x1 x2 1 m x1 x2 4 2 x1 x2 1 m 4 2m 1 2 m 1 m 2m 3 0 m 3 Ta có m 3 thỏa mãn điều kiện Vậy với m 3 thì (P) cắt (d) tại điểm thỏa mãn điều kiện đề bài