Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 21: Hệ phương trình bậc cao

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 21: Hệ phương trình bậc cao

1. Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Chuyên đề 21 A. Một số ví dụ x2 xy y2 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 x xy 2y 4 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014-2015) Giải y2 1 • x 0 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm y 2 x2 1 • y 0 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm x 4 • Vậy x; y khác 0 đặt x ty;t 0 2 2 2 2 2 2 t y ty y 1 y t t 1 1 Ta có hệ (*) t2 y2 ty2 2y2 4 2 2 y t t 2 4 Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được : t2 t 1 1 4t2 4t 4 t2 t 2 3t2 5t 2 0 t2 t 2 4 t 1 t 1 3t 2 0 2 t 3 y2 1  t 1 x y x; y 1;1 ; 1; 1 Với thay vào hệ (*) ta được : 2 giải ra ta có nghiệm  4y 4 2 2  Với t x y thay vào hệ (*) ta được: 3 3 4 2 7 y2 y2 y2 1 y2 1 9 3 9 4 2 28 y2 y2 2y2 4 y2 4 9 3 9 2 7 7 2 7 7  Giải ra ta có nghiệm x; y ; ; ;  9 3 9 3  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : 2 7 7 2 7 7  x; y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ;  9 3 9 3 
2. Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai . Ngoài cách giải trên , chúng ta còn có thể đồng nhất hai phương trình , bằng cách nhân phương trình (1) với 4 rồi vế trừ vế . Ta được phương trình: 3x2 5xy 2y2 0 , sau đó phân tích đa thức thành nhân tử x2 y2 x y 8 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 2 2 x y xy 7 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh An Giang , năm học 2008-2009) Giải 2 u 2v u 8 1 x y u;xy v Đặt hệ phương trình có dạng : 2 u v 7 2 Từ phương trình (2) ta có : v u2 7 thay vào phương trình (1) ta được: 2 2 2 u 2 u 7 u 8 u u 6 0 . Giải ra ta được u1 2;u2 3 2 • Trường hợp 1. Xét u 2 suy ra v 2 7 3 x y 2 Ta được : . Suy ra x,y là nghiệm của phương trình xy 3 2 X 2X 3 0 . Giải ra ta được : X1 1;X2 3 x 1 x 3 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : ; y 3 y 1 2 x y 3 • Trường hợp 2 . u 3;v 3 7 2 , ta được xy 2 Suy ra x; y là nghiệm của phương trình : X2 3X 2 0 3 17 3 17 Giải ra ta được X ;X 1 2 2 2 3 17 3 17 x x 2 2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : ; 3 17 3 17 y y 2 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 3 17 3 17 3 17 3 17  x; y 1; 3 ; 3;1 ; ; ; ;  2 2 2 2  Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại một . Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì mỗi phương trình không thay đổi .
3. Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta thường đặt ẩn phụ x y u;xy v . Sau đó giải hệ phương trình này. 3 2 x 1 2 x x y 1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : 3 2 y 1 2 y y x 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Tiền Giang , năm học 2011-2012) Giải Từ phương trình (1) và (2) vế trừ vế ta được: x3 y3 2 x2 y2 4 x y x y x2 xy y2 2 x y 4 0 Ta có : x2 xy y2 2 x y 4 0 3 x y 2 x y 2 2 x y 4 0 4 3 x y 2 x y 2 8 x y 16 0 2 x y 2 8 x y 8 x y 2 x y 2 8 0 2 x y 2 2 x y 2 x y 2 8 0 Phương trình vô nghiệm , nên x y 0 , thay vào phương trình (1) ta được: x3 1 2x2 x3 2x2 1 0 x 1 x2 x 1 0 • Trường hợp 1: x 1 0 x 1 1 5 1 5 • Trường hợp 2: x 1 0 x 1 Giải ra ta được x ;x 1 2 2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : 1 5 1 5 1 5 1 5  x; y 1;1 ; ; ; ;  2 2 2 2  Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại hai . Hệ phương trình đối xứng loại hai là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì phương trình này thành phương trình kia và ngược lại . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta lấy vế trừ vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa nhận được . x2 xy 2y2 0 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2 xy 3y x 3 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tình Hải Dương , năm học 2011-2012) Giải
4. Tìm cách giải . Quan sát kỹ mỗi phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ nhất, vế trái phân tích đa thức thành nhân tử được . Từ đó chúng ta có thể đưa về A 0 A.B 0 C 0 hệ phương trình tích : C 0 B 0 C 0 Các nghiệm của hai hệ phương trình sau là nghiệm của hệ phương trình đã cho Trình bày lời giải x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 x y 0 2 2 2 xy 3y x 3 xy 3y x 3 xy 3y x 0 x 2y 0 hoặc 2 xy 3y x 3 x y 0 x y • Giải hệ 2 2 2 xy 3y x 3 x 3x x 3 3 x x y x 1 4 ; 4x2 x 3 0 y 1 3 y 4 x 2y 0 x 2y • Giải hệ 2 2 2 xy 3y x 3 2y 3y 2y 3 x 2y x 2 x 6 ; 2 y 2y 3 0 y 1 y 3 3 3  Vậy nghiệm của phương trình là : x; y 1; 1 ; ; ; 2; 1 ; 6;3  4 4  x2 y2 2x 2y 11 Ví dụ 5:Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x y 2x y 2xy 4xy 24 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Quảng Ngãi , năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải. Hệ phương trình này là hệ phương trình đối xứng loại một nên chúng ta có thể giải như ví dụ 2. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình hai phân tích thành nhân tử được mà tổng hai nhân tử chính là vế trái của phương trfinh thứu nhất . Nên chúng ta dùng cách đặt ẩn phụ khác cho lời giả ngắn gọn và hay hơn Trình bày lời giải
5. 2 2 2 2 x y 2x 2y 11 x 2x y 2y 11 x2 y2 2x2 y 2xy2 4xy 24 2 2 x 2x y 2y 24 2 2 u v 11 Đặt : x 2x u, y 2y v . Hệ phương trình có dạng : . Suy ra u,v là nghiệm của uv 24 phương trình: X2 11X 24 0 Giải phương trình , ta được : X1 3,X2 8 u 3 u 8 Suy ra : ; v 8 v 3 2 u 3 x2 2x 3 x 1 4 x 1 2 Trườn hợp 1. Xét v 8 2 2 y 1 3 y 2y 8 y 1 9 Suy ra nghiệm của phương trình : x; y 1;2 , 1; 4 , 3;2 , 3; 4  2 u 8 x2 2x 8 x 1 9 x 1 3 Trường hợp 2 . Xét v 3 2 2 y 1 2 y 2y 3 y 1 4 Suy ra nghiệm của phương trình : x; y 2;1 , 2; 3 , 4;1 , 4; 3  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : x; y 1;2 , 1; 4 , 3;2 , 3; 4 , 2;1 , 2; 3 , 4;1 , 4; 3  y2 3x x2 8y 5 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : x x 3 y y 8 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Nam Định , năm học 2011-2012) Giải 2 2 y2 3x x2 8y 5 y 3x x 8y 5 2 2 x x 3 y y 8 13 y 3x x 8y 13 Đặt y2 3x u; x2 8y v u 0;v 0 u v 5 v 5 u Hệ phương trình có dạng 2 2 2 2 u v 13 u 5 u 13 v 5 u u 2 u 3 ; 2 u 5u 6 0 v 3 v 2 2 2 u 2 y 3x 2 y 3x 4 1 • Trường hợp 1. Xét ta có v 3 2 x2 8y 9 2 x 8y 3
6. y2 4 Từ phương trình (1) ta có x thay vào phương trình (2) ta được : 3 2 2 y 4 4 2 8y 9 y 8y 72y 65 0 3 y 1 y 5 y 2 y 3 0 12 4 Với y 1 0 y 1 x 1 3 5 2 4 Với y 5 0 y 5 x 7 3 22 4 Với y 2 0 y 2 x 0 3 32 4 5 Với y 3 0 y 3 x 3 3 2 2 u 3 y 3x 3 y 3x 9 3 • Trường hợp 2 . Xét ta có v 2 2 x2 8y 4 4 x 8y 2 y2 9 Từ phương trình (3) suy ra : x , thay vào phườn trình (4) , ta được : 3 y4 18y2 81 8y 4 y4 18y2 72y 45 0 9 y2 6y 15 y2 6y 3 0 Xét y2 6y 15 0 , phương trình vô nghiệm 2 Xét y 6y 3 0 , giải ra ta được : y1 3 6; y1 3 6 từ đó tìm được : x1 2 6;x2 2 6 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : 5  x; y 1;1 , 7; 5 , 0;2 , ;3 , 2 6;3 6 , 2 6;3 6  3  1 1 x y 4 0 x y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : 1 x y xy 4 0 xy y x Giải 1 1 1 1 x y 4 0 x y 4 0 x y x y 1 x y 1 1 xy 4 0 x . y 4 0 xy y x x y
7. 1 1 u v 4 0 u v 4 Đặt u x ;v y hệ phương trình có dạng x y u.v 4 0 uv 4 Suy ra u, v là nghiệm của phương trình X2 4X 4 0 Giải ra ta được X1 X2 2 1 x 2 x x2 2x 1 0 x 1 Suy ra u v 2 . Do đó 1 2 y 1 y 2 y 2y 1 0 y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 B. Bài tập vận dụng x2 3xy y2 1 21.1. Giải hệ phương trình : 2 2 3x xy 3y 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Nghệ An , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số y2 1 • x 0 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm 3y 13 x2 1 • y 0 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm 3x 13 • Vậy x; y khác 0 đặt x ty;t 0 2 2 2 2 2 2 t y 3ty y 1 y t 3t 1 1 Ta có hệ (*) 3t2 y2 ty2 3y2 13 2 2 y 3t t 3 13 Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia vế hệ (*) cho nhau ta được : t2 3t 1 1 13t2 39t 13 3t2 t 3 2t2 5t 2 0 3t2 t 3 13 t 2 t 2 2t 1 0 1 t 2 y2 1 • t 2 x 2y Với thay vào hệ (*) ta được : 2 13y 13 Giải ra ta có nghiệm x; y 2;1 ; 2; 1  1 1 • Với t x y thay vào hệ (*) ta được : 2 2
8. 1 3 1 y2 y2 y2 1 y2 1 4 2 4 3 1 13 y2 y2 3y2 13 y2 13 4 2 4 Giải ra ta có nghiệm x; y 1;2 ; 1; 2  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : x; y 2;1 ; 2; 1 ; 1;2 ; 1; 2  3 x 2x y 1 21.2. Giải hệ phương trình : 3 y 2y x 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Hải Dương , năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) và (2) vế trừ vế ta được : x3 y3 x y x y x2 xy y2 1 0 • Trường hợp 1 . Xét x y 0 x y thế vào phương trình (1) ta có : x3 2x x x x2 3 0 suy ra x 0;x 3;x 3 • Trường hợp 2. Xét x2 xy y2 1 0 Từ phương trình (1), (2) cộng vế với vế ta được x3 y3 3 x y x y x2 xy y2 3 0 x y 0 y x y x x 1 ; Xét 2 2 2 2 2 2 x xy y 1 0 x x x 1 x 1 y 1 x2 xy y2 3 0 x2 xy y2 3 0 Xét 2 2 2 2 x xy y 1 0 3x 3xy 3y 3 0 Vế trừ vế ta được : 2 x2 2xy y2 0 x y x 1 x 1 Giải như trên ta được ; y 1 y 1 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : x; y 0;0 ; 3; 3 ; 3; 3 ; 1; 1 ; 1;1  x 2y 5 1 21.3. Giải hệ phương trình : 2 2 x 2y 2xy 5 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) suy ra x 5 2y , thế vào phương trình (2) ta được :
9. 5 2y 2 2y2 2y 5 2y 5 y2 3y 2 0 Giải ra ta được y1 1; y2 2 • Với y 1 ta được x 5 2.1 3 • Với y 2 ta được x 5 2.2 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 3;1 ; 1;2  x2 y2 2xy 1 21.4. Giải hệ phương trình 3 3 x y 2xy 3 Hướng dẫn giải – đáp số x2 y2 2xy 1 x y 1 x y 1 3 3 3 3 hoặc 3 3 x y 2xy 3 x y 1xy 3 x y 2xy 3 x y 1 1 • Trường hợp 1: Giải hệ phương trình 3 3 x y 2xy 3 2 Từ phương trình (1) ta có x y 1 thay vào phương trình (2) ta được : y 1 3 y3 2y y 1 3 y2 y 2 0 Giải ra ta được y1 1 x1 2; y2 2 x2 1 x y 1 3 • Trường hợp 2 : Giải hệ phương trình 3 3 x y 2xy 3 4 Từ phương trình (3) ta có x y 1 thay vào phương trình (4) ta được 3 y 1 y3 2y y 1 3 5y2 4 0 phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 1;2 ; 2; 1  3 85 4xy 4 x2 y2 2 x y 3 21.5. Giải hệ phương trình : 1 13 2x x y 3 (Thi học sinh giỏi , Tỉnh Thái Bình , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số 3 85 2 2 3 85 4xy 4 x2 y2 3 x y x y 2 2 x y 3 x y 3 1 13 1 13 2x x y x y x y 3 x y 3 Đặt x y u;x y v hệ phương trình có dạng
10. 2 3 85 1 103 3u2 v2 2 2 3 u v 1 u 3 u 3 1 13 1 13 u v u v 2 u 3 u 3 Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được 2 13 2 103 2 3 v v 2v 13v 11 0 3 3 11 Giải ra ta dược v 1;v 1 2 2 1 13 1 • Trường hợp 1 : Xét v 1 u 1 3u2 10u 3 0 . Giải ra ta được u 3;u u 3 1 2 3 u 3 x y 3 x 2 • Xét v 1 x y 1 y 1 2 1 1 x u x y 3 • Xét 3 3 1 v 1 x y 1 y 3 11 1 13 11 • Trường hợp 2: Xét v ta có u 2 u 3 2 6u2 7u 6 0 phương trình này vô nghiệm 2 1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 2;1 ; ;  3 3  2 2 x 1 y 1 10 21.6. Giải hệ phương trình : x y xy 1 3 (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Thanh Hóa , năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 10 x y xy 1 10 x y xy 1 3 x y xy 1 3 Đặt u x y;v xy 1 hệ phương trình có dạng : 2 u2 v2 10 u2 v2 2uv 16 u v 16 uv 3 uv 3 uv 3 u v 4 • Trường hợp 1. Xét uv 3 Suy ra u, v là nghiệm của phương trình X2 4X 3 0 1
11. u 1 u 3 Phương trình (1) có nghiệm X1 1;X2 3 . Suy ra ; v 3 v 1 u 1 x y 1 x y 1  Xét v 3 xy 1 3 xy 4 Suy ra x; y là nghiệm của phương trình X2 X 4 0 2 phương trình (2) vô nghiệm u 3 x y 3 x y 3  Xét v 1 xy 1 1 xy 2 Suy ra x; y là nghiệm của phương trình X2 3X 2 0 3 x 1 x 2 Phương trình (3) có nghiệm X1 1;X2 2 suy ra ; y 2 y 1 u v 4 • Trường hợp 2. Xét u.v 3 Suy ra u; v là nghiệm của phương trình X2 4X 3 0 4 phương trình (4) có nghiệm là : u 1 u 3 X1 1;X2 3 . Suy ra ; v 3 v 1 u 1 x y 1 x y 1  Xét v 3 xy 1 3 xy 2 Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 X 2 0 5 Giải phương trình (5) ta được X1 1;X2 2 x 1 x 2 Suy ra ; y 2 y 1 u 3 x y 3 x y 3  Xét v 1 xy 1 1 xy 0 x 0 x 3 Suy ra ; y 3 y 0 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y 2;1 ; 1;2 ; 1; 2 ; 2;1 ; 0; 3 ; 3;0  1 2 x y 5 x y 21.7. Giải hệ phương trình : 2 2 1 4 x y 2 2 7 x y (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Hà Tĩnh , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải – đáp số
12. 1 2 1 2 x y 5 x y 5 x y x y 2 2 1 4 1 4 x y 7 x2 y2 7 2 2 2 2 x y y y 1 2 Đặt u 1 ;v y x y u v 5 u v 5 1 Hệ phương trình có dạng 2 2 2 2 u 2 v 4 7 u v 13 2 Từ phương trình (1) ta có u 5 v thay vào phương trình (2) ta được v1 2;v2 3 1 x 2 2 x x 2x 1 0 • Với v 2 u 3 ta có y y2 3y 2 0 y 3 2 x 1 x 1 Giải hệ có nghiệm ; y 1 y 2 1 x 3 2 x x2 3x 1 0 x 3x 1 0 • Với v 3 thì u 2 ta có 2 2 2 y 2 y 2y 2 0 y 1 1 0 y vô nghiệm Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : x; y 1;1 ; 1;2  1 1 9 x y 1 x y 2 21.8. Giải hệ phương trình : 1 5 xy 2 xy 2 (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Quãng Ngãi , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (2) ta có : 2 1 2 xy 5xy 2 0 2xy 1 xy 2 0 xy ;xy 2 2 1 1 • Trường hợp 1. Xét xy y thay vào phương trình (1) ta được : 2 2x 1 1 9 x 2x 2x2 3x 1 0 2x x 2 1 1 Giải ra ta được : x 1 y ;x y 1 1 1 2 2 2 2
13. 2 • Trường hợp 2 . Xét xy 2 y x 2 1 x 9 Thay vào (1) ta có x x2 3x 2 0 x x 2 2 Giải ra ta được x3 1 y3 3;x4 2; y4 1 1 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 1; ; ;1 ; 1;2 ; 2;1  2 2  x y 4 xy 16 21.9. Giải hệ phương trình : x y 10 (Thi học sinh giỏi Toán 9 , tỉnh Hải Dương , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện x 0; y 0 Đặt u x y;v xy với u 0;v 0 u 4v 16 1 Hệ phương trình có dạng : 2 u 2v 10 2 16 u Từ phương trình (1) suy ra v thay vào phương trình (2) ta được: 4 2 16 u 2 u 2 10 2u u 36 0 4 9 Giải phương trình ta được : u (loại) 1 2 u2 4 (thỏa mãn) x y 4 Với u 4 v 3 . Suy ra xy 3 Suy ra x; y là nghiệm của phương trình X2 4X 3 0 Giải ra ta được : X1 1;X2 3 x 1 x 3 x 1 x 9 Suy ra : ; ; y 3 y 1 y 9 y 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 1;9 ; 9;1  2 2 2x y 1 1 21.10. Giải hệ phương trình : 2 xy x 2 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ , năm học 2011-2012)
14. Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2x y 1 1 4x2 2y2 2 2 2 xy x 2 2 xy x 2 Suy ra : 4x2 2y2 xy x2 3x2 xy 2y2 0 x y 0 x y 3x 2y 0 3x 2y 0 • Trường hợp 1. Xét x y 0 x y thay vào phương trình (1) ta được: 2x2 y2 1 x 1; y 1 3x • Trường hợp 2 . 3x 2y 0 y thay vào (1) 2 9x2 x2 2x2 1 1 vô nghiệm 4 4 Thử lại hệ phương trình Vậy tập nghiệm của phương trình là x; y 1;1 ; 1; 1  3 2 3 2 2 x y 3 x y xy 21.11. Giải hệ phương trình : 3 x 3 y 6 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Hải Dương , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt 3 x a; 3 y b , hệ phương trình trở thành : 3 3 2 2 2 2 2 a b 3 a b ab 2 a b a ab b 3ab a b 0 a b 6 a b 6 2 2 2 2 a b 5ab 0 2 a b 9ab 0 a b 6 a b 6 a b 6 ab 8 Suy ra a; b là nghiệm của hệ phương trình X2 6X 8 0 . Giải ra ta được a 2 a 4 X1 2;X2 4 do đó ; b 4 b 2 a 2 3 x 2 x 8 • Với b 4 3 y 4 y 64 a 4 3 x 4 x 64 • Với b 2 3 y 2 y 8 Vậy hệ phương trình đã có cho nghiệm x; y là 8;64 ; 64;8
15. 2 3x xy 4x 2y 2 21.12. Giải hệ phương trình : x x 1 y y 1 4 (Thi học sinh giỏi toán lớp 9 , tỉnh Hải Dương , năm hcoj 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 2 3x xy 4x 2y 2 3x2 xy 4x 2y 2 0 2 2 x x 1 y y 1 4 x y x y 4 0 2x2 xy y2 5x y 2 0 2 2 x y x y 4 0 Ta có : 2x2 xy y2 5x y 2 0 y x 2 y 2x 1 0 y 2 x hoặc y 2x 1 • Với y 2 x thay vào (2) ta được : x2 2x 1 0 suy ra x 1 Ta được nghiệm 1;1 4 • Với y 2x 1 thay vào (2) ta dược : 5x2 x 4 0 , suy ra x 1;x 5 4 13 Ta tính được nghiệm 1;1 và ; 5 5 4 13 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 và ; 5 5 2 2 2 2 x y 2x y 21.13. Giải hệ phương trình : 2 2 x y 1 xy 4x y (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Thanh Hóa , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số • Với x y 0 là nghiệm của hệ phương trình • Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại Xét x 0; y 0 hệ phương trình tương đương với 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 x y x y 1 1 1 1 1 2 1 4 2 8 2 x y xy x y xy 1 1 3 2 1 1 1 1 x y Thay (1) vào (2) ta được 8 2 x y 1 x y x y 1 1 xy
16. Vậy hệ có nghiệm x; y là 0;0 ; 1;1 4 1 x x 2 2 y y 21.14. Giải hệ phương trình : 1 2 x 2 3 y y (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số 4 1 4x 1 x x 2 x2 2 2 2 y y y y Ta có 1 2 x 2 x 2 3 2x 3 y y y y 2 2 1 2x 1 2x x 2 x 2 y y y y 1 x 1 2x 2 x 3 4 x 6 y y y y 2 1 1 1 Suy ra x 4 x 4 x 2 0 y y y 1 x x 2 1 x y y y 1 x 1 2 Từ đó ta có : x 2 x2 2x 1 0 x x 1 2 Với x 1 2 y 1 2 Với x 1 2 y 2 1 x 1 2 x 1 2 Thử lại ta thấy : ; là nghiệm của hệ phương trình y 1 2 y 2 1 x2 y2 5 21.15. Giải hệ phương trình : 3 3 x 2y 10x 10y (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , TP. Hà Nội , năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có : 2 2 x2 y2 5 x y 5 3 3 3 3 x 2y 10x 10y x 2y 5 2x 2y
17. 2 2 x y 5 x2 y2 5 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 x 2y x y 2x 2y x 2y 2x 2xy 2x y 2y 2 2 x y 5 2 2 x x 2xy 2y 0 x2 y2 5 x 0 Trường hợp 1 . Xét x 0 y 5 2 2 x2 y2 5 x y 5 Trường hợp 2. Xét vô nghiệm 2 2 2 2 x 2xy 2y 0 x y y 0 Vậy hệ có nghiệm x; y là 0; 5 ; 0; 5 2 2 x y 3xy 1 21.16. Giải hệ phương trình : 3 3 9x 2y x y 4xy 1 (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , tỉnh Gia Lai , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 x y 3xy 1 1 Ta có : 3 3 9x 2y x y 4xy 1 2 Thay (1) vào (2) ta được : 9x3 2y3 x y 4xy x2 y2 3xy x y x2 y2 xy 9x3 2y3 x3 y3 8x3 y3 y 2x Thay y 2x vào phương trình (1) ta được : x2 1 0 x 1 Với x 1 thì y 2 Với x 1 thì y 2 x 1 x 1 Vậy phương trình có hai nghiệm : ; y 2 y 2