Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 4: Căn bậc ba, căn bậc n

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 4: Căn bậc ba, căn bậc n

1. Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A. Kiến thức cần nhớ 1. Căn bậc ba a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3 a, là số x sao cho x3 a 3  Cho a ¡ , 3 a x x3 3 a a  Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.  Nếu a 0 thì 3 a 0  Nếu a 0 thì 3 a 0  Nếu a 0 thì 3 a 0 b) Tính chất  a 0 3 a 3 b  3 ab 3 a.3 b a 3 a  3 b 0 b 3 b c) Các phép biến đổi căn bậc ba  A 3 B 3 A3B  3 A3B A 3 B A 1  3 3 AB2 B 0 B B 1 3 A2  3 AB 3 B2  A  B 3 A 3 B A B 2. Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho a ¡ và n ¥ ;n 2. Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.  Trường hợp n lẻ n 2k 1; k ¥ Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2k 1 a x x2k 1 a Nếu a 0 thì 2k 1 a 0 Nếu a 0 thì 2k 1 a 0 Nếu a 0 thì 2k 1 a 0  Trường hợp 11 chẵn n 2k; k ¥
2. Mỗi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a 2k a x x 0 và x2k a 2k a x x 0 và x2k a Mọi số a 0 đều không có căn bậc chẵn. b) Tính chất của căn bậc n n ¥ ;n 2. n Am nk Amk 1 A 0,k,m ¥ * m n A mn A 2 A 0,m ¥ ,m 2 n AB n A.n B 3 A 0, B 0 A n A n 4 A 0, B 0 B n B m n A n Am 5 A 0,m ¥ * Ứng dụng: - Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức. - Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức. - Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn. - Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của biểu thức lấy căn. - Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: a) 3 54 : 3 2 b) 3 8 37.3 8 37 Giải Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính nhân căn bậc 3 ta sử dụng tính chất 3 A.3 B 3 A.B Trình bày lời giải a) 3 54 : 3 2 3 54 : 2 3 27 3 b) 3 8 37.3 8 37 3 8 37 8 37
3. 3 64 37 3 27 3 Ví dụ 2: Rút gọn A 3 26 15 3 3 26 15 3 Giải 3 Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng 3 a b c ta viết biểu thức dưới dạng: 3 x y , ta chú ý tới hằng đẳng thức: 3 x y x x 3xy 3y2 x y3 Do vậy ta xác định x và y thông qua 3xy y3 a; x 3y2 b, nhưng lưu ý x c chẳng hạn 3 26 15 3 ta chọn x và y theo 3xy y3 26; x 3y2 15 và x 3 suy ra: y 2. Trình bày lời giải: Ta có: A 3 8 12 3 18 3 3 3 8 12 3 18 3 3 3 3 A 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4 84 84 Ví dụ 3: Rút gọn B 3 1 3 1 9 9 Giải 3 Tìm cách giải. Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng 3 x y . Do đó, để tính giá trị biểu thức có dạng B 3 a b 3 a b chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và 3 sử dụng hằng đẳng thức x y x3 y3 3xy x y sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi tìm B. Trình bày lời giải 3 Áp dụng hằng đẳng thức a b a3 b3 3ab a b ta có: 3 84 84 84 84 B 1 1 3.3 1 1 .B 3 3 9 9 84 B3 2 3B.3 1 2 B 81 B3 B 2 0 B 1 B2 B 2 0 mà B2 B 2 0 Suy ra B 1. 2020 Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: Q 3x3 x2 1 , biết:
4. 3 26 15 3. 2 3 x 3 9 80 3 9 80 Giải Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là rút gọn x. Quan sát biếu thức x, chúng ta nhận thấy trước hết cần rút gọn căn bậc ba ở tử thức và mẫu thức trước. Bằng kỹ thuật của hai ví dụ trên, chúng ta biến đổi 3 26 15 3 bằng cách đưa về hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt a 3 9 80 3 9 80 và xác định a. Sau đó xác định x. Trình bày lời giải Xét a 3 9 80 3 9 80 a3 9 80 9 80 3.3 9 80 9 80 .a a3 18 3.3 81 80.a a3 18 3a a3 3a 18 0 a3 27 3a 9 0 a 3 a2 3a 6 0 2 2 3 15 Ta có a 3a 6 a 0 nên a 3 0 a 3 2 4 3 3 3 3 18 12 3 8. 2 3 3 3 2 2 3 Do đó x 3 3 3 2 2 3 4 3 1 x 3 3 3 2020 1 1 2020 Vậy Q 3. 1 1 1 27 9 1 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: Q 10 19 6 10 .5 3 2 2 5 2 Giải Tìm cách giải. Nhận thấy rằng đây là nhân hai căn thức không cùng bậc. Do vậy chúng ta cần phải đưa về cùng bậc. Dễ thấy 10 5.2, do vậy chúng ta có thể đưa căn bặc 10 về căn bậc 5 dựa 1 theo công thức: 10 A2 5 A . Với cách suy luận đó, chúng ta biến đổi 19 6 10 về dạng bình 2 phương của một biểu thức Trình bày lời giải
5. 1 Ta có Q 10 38 12 10 .5 3 2 2 5 4 1 2 Q 10 3 2 2 5 .5 3 2 2 5 4 1 1 Q 5 3 2 2 5 .5 3 2 2 5 5 3 2 2 5 3 2 2 5 2 2 1 Q 5 18 20 5 1 1 2 2 1 2 1 4 4 4 2 1 2 2 2 Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức: T 4 4 1 2 2 1 2 Giải Tìm cách giải. Bài toán này có nhiều yếu tố giống nhau, do vậy chúng ta có thể đặt biến mới nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn. Với cách suy luận ấy chúng ta đặt 4 2 a (căn nhỏ nhất) thì a4 2; 4 4 a2 2. Từ đó chúng ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Đặt 4 2 a thì a4 2; 4 4 a2 2. 2 1 2 1 a2 a 1 a2 a2 a4 Khi đó T 2 1 a a 1 a 2 1 a2 a2 1 1 1 T a 0 2 2 2 2 a a 1 a a a Vậy T 0 C. Bài tập vận dụng x 1 x 8 3 x 1 1 1 4.1. Cho biểu thức P : 3 x 1 10 x x 3 x 1 1 x 1 a) Rút gọn biếu thức P. 3 2 2 3 2 2 b) Tính giá trị của P khi x 4 4 3 2 2 3 2 2 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x 1 a biểu thức P có dạng:
6. a a2 9 3a 1 1 P 2 : 2 3 a 9 a a 3a a a 3 a a2 9 3a 1 (a 3) P : 3 a 3 a a a 3 3a a2 a2 9 3a 1 a 3 P : 3 a 3 a a a 3 3a 9 2a 4 P . 3 a 3 a a(a 3) 3(a 3) a(a 3) P . (3 a)(3 a) 2(a 2) 3a P 2 a 2 3 x 1 Vậy P 2 x 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 b) Ta có: x 4 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 x 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2 1 3 1 Vậy P 2 2 1 2 2.3 2 4.2. Tính giá trị của biểu thức 2020 a) B x3 12x 9 , biết x 3 4 5 1 3 4 5 1 b b2 a3 b b2 a3 b) C x3 ax b, biết x 3 2 4 27 2 4 27 Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét x3 4 5 1 4 5 1 3.3 4 5 1 .4 5 1 .x x3 8 12x x3 12x 9 1 Vậy B 12020 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 b b b b b b b b a b b a b) Xét x 3.3 .x 2 4 27 2 4 27 2 4 27 2 4 27
7. b2 b2 a3 x3 b 3 .x 4 4 27 x3 b ax x3 ax b 0 Vậy C 0 1 4.3. Hãy tính giá trị của biểu thức: P x3 3x 2 với x 3 2 1 3 2 1 Hướng dẫn giải – đáp số 1 Ta có x 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Xét x3 2 1 2 1 3.3 2 1 2 1 .x x3 2 3x x3 3x 2 0 Vậy P 0 2020 4.4. Hãy tính giá trị của biểu thức: T 3x3 8x 2 , biết 3 17 5 38 x . 5 2 5 14 6 5 Hướng dẫn giải – đáp số 3 5 5 30 12 5 8 Ta có x . 5 2 5 9 6 5 5 3 3 5 2 5 2 x . 5 2 . 5 2 2 5 3 5 5 3 5 5 4 1 x 3 3 2020 1 1 2020 Suy ra T 3. 8. 2 1 1 27 9 4.5. Cho x, y thỏa mãn x 3 y y2 1 3 y y2 1. Tính giá trị của biểu thức: A x4 x3 y 3x2 xy 2y2 1 Hướng dẫn giải – đáp số Xét x3 y y2 1 y y2 1 3.3 y y2 1 y y2 1 .x x3 2y 3.3 y2 y2 1.x x3 2y 3x x3 3x 2y 0 *
8. A x4 3x2 2xy x3 y 3xy 2y2 1 Ta có A x x3 3x 2y y x3 3x 2y 1 Kết hợp với (*) suy ra A 1 3 2013 3 1 10 6 3 4.6. Tính giá tri biểu thức P x2 4x 2 , với x 21 4 5 3 (Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số 3 3 1 3 3 3 9 3 3 1 3 1 .3 3 1 x 2 20 4 5 1 3 2 5 1 3 3 1 . 3 1 3 1 1 5 2 Ta có x 2 5 1 3 2 5 4 5 2 1 x 2 5 x2 4x 4 5 x2 4x 1 2013 Vậy P 1 2 1 4.7. Cho a 0;a 1. Rút gọn biểu thức: 3 3 a 1 S 6 4 2. 20 14 2 a 3 a 3a 1 : 1 2 a 2 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có 3 3 a 1 S 4 4 2 2. 8 12 2 12 2 2 a a 3a 3 a 1 : 1 2 2 3 3 a 1 2 S 2 2 .3 2 2 3 a 1 : 2 2 S 2 2 . 2 2 a 1 . a 1 S 4 2 2 4 a3 3a 2 4.8. Tính giá trị biểu thức: P biết: a3 4a2 5a 2 a 3 55 3024 3 55 3024. (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Xét a3 55 3024 55 3024 33 55 3024 55 3024 .a
9. a3 110 3.3 3025 3024.a a3 3a 110 0 a3 125 3a 15 0 a 5 a2 5a 25 3 a 5 0 a 5 a2 5a 22 0 2 2 5 63 Nhận xét: a 5a 22 a 0 nên a 5 0 a 5 2 4 53 3.5 2 112 7 Từ đó suy ra P 53 4.52 5.5 2 48 3 4.9. Rút gọn biểu thức: T 4 7 48 4 28 16 3 .4 7 48 5 2 6 Hướng dẫn giải – đáp số 4 4 Ta có T 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 . 4 4 3 3 3 2 6 2 2 2 2 2 T 4 2 3 4 4 2 3 .4 2 3 3 2 T 2 3 2 2 3 . 2 3 3 2 2 T 2 3 2 2 3 2 3 3 2 T 2 3 2 3 2 2 10 1 2 3 1 M . : 4.10. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 9 6 4 4 2 3 2 1 Hướng dẫn giải – đáp số 3 3 10 3 2 1 2 2 1 Ta có M . . 3 3 3 3 3 3 2 9 6 4 3 2 3 1 3 1 3 3 10 3 2 1 2 2 1 M . . 3 2 3 1 3 1 2 1 M 2 3 3 3 2 . 3 1 M 3 3 3 2 4.11. Trục căn thức ở mẫu: 1 15 a) b) 3 16 3 12 3 9 4 2 4 4 4 8 4 16 Hướng dẫn giải – đáp số
10. 3 4 3 3 3 4 3 3 a) 3 4 3 3 3 4 3 3 3 16 3 12 3 9 4 3 4 4 15 15. 8 1 2 b) 4 2(1 4 2 4 4 4 8 ) 4 2.4 8 1 4 2 1 4 2 4 4 4 8 15 4 8 2 15 2 4 8 2 1 2 2 4.12. Làm phép tính: a) 3 1 2.6 3 2 2 b) 6 9 4 5.3 2 5 c) 3 2 3 4 2.6 44 16 6 Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) 3 1 2.6 3 2 2 3 1 2.6 2 1 3 1 2.3 2 1 3 2 1 1 2 b) 6 9 4 5.3 2 5 6 5 2 .3 2 5 3 5 2.3 2 5 3 4 5 1 2 c) 3 2 3 4 2.6 44 16 6 3 2 3 4 2.6 2 3 4 2 3 2 3 4 2.3 2 3 4 2 3 4.3 16.2 3 20 3 20 4.13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến 1 1 a 1 3 3 Q 20 14 2. 6 4 2 a 3 a 3a 1 : 1 2 2 2 a 1 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 1 1 3 20 14 2. 6 4 2 3 2 2 12 12 2 8. 4 4 2 2 2 2 1 3 2 1 1 3 2 2 . 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 2 3 Ta có: 3 a 3 a 3a 1 3 a a 3a 3 a 1 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Ta có: 1 1 2 a 1 2 2
11. 1 a 1 Suy ra Q 1 a 1 : 2 2 a 1 a 1 Q : 1 2 2 1 1 1 4.14. Chứng minh rằng nếu ax3 by3 cz3 và 1 thì: x y z 3 ax2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c Hướng dẫn giải – đáp số k k k Đặt ax3 by2 cz3 k, suy ra a ;b ;c , x3 y3 z3 2 2 2 k 2 k 2 k 2 Xét 3 ax by cz 3 x y z x3 y3 z3 k k k 1 1 1 3 3 3 k k 1 x y z x y z 3 3 3 k k k Xét a b c 3 3 3 x3 y3 z3 3 3 3 k k k 3 1 1 1 3 k k 2 x y z x y z Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 4.15. Chứng minh rằng nếu: x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a thì: 3 x2 3 y2 3 a2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a , bình phương 2 vế, ta có: x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 x2 y2 3 x4 y8 3 x8 y4 x2 y2 a2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x8 y4 2x2 y2 3 x4 y8 a2 2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x4 y2 3 x2 y4 a2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x4 y2 3 x2 y4 a2 x2 33 x4 y2 33 x2 y4 y2 a2 3 3 x2 3 y2 a2 3 x2 3 y2 3 a2
12. Điều phải chứng minh 4.16. Tính giá trị của biểu thức: 2 1 2 1 4 20202 4 2020 1 2020 2020 2020 A 4 4 1 2020 2020 1 2020 Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 1 4 4 1 2020 2020 1 1 2020 2020 Ta có: A 1 4 2020 4 2020 1 2020 1 2 1 1 4 2020 A 4 2020 2020 4 2020 1 2020 2 2020 1 4 2020 2020 1 : 2020 A 4 2020 1 2020 2 1 1 1 1 A 0 4 2020 2020 2020 2020 4.17. Cho x 1 3 3 3 9. Tính giá trị biểu thức: 1945 P x3 3x2 6x 3 2020 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có x 3 3 1 3 3 1 3 9 3 3 1 3 1 2 x 3 3 x 2 3x3 x3 6x2 12x 8 x3 3x2 6x 4 Suy ra P 11915 2020 2021 4.18. Rút gọn biểu thức: 3 3 A 3 2 31 21 3 3 : 5 2 7 5 2 7 Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: 3 2 31 21 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 1
13. 3 3 Ta có: 3 5 2 7 3 5 2 7 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 Do đó A 2