Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức Cô-si

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức Cô-si

1. Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI A. Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. • Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có: x y x y xy hoặc xy 2 2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi x y. Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM- GM). B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có: 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi nào? (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai) Giải Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện ab 2 bc 3 ca, do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải. Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b 2 ab 1 2b 2c 4 bc 2 3a 3c 6 ca 3 Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi a b c. Ví dụ 2: Cho S 1.2019 3.2017 5.2015 2019.1. So sánh S với 10102
2. Giải Tìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S, thì 1 2019 3 2017 2019 1 và bằng 2.1010. Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc x y vận dụng bất đẳng thức Cô-si dạng xy 2 Trình bày lời giải x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: xy 2 1 2019 3 2017 5 2015 2019 1 Suy ra S 2 2 2 2 S 1010 1010 1010 1010 S 10102 a2 b2 c2 Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh: 12 b 1 c 1 a 1 Giải Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứa mẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn: a2 a2 b 1 2. . b 1 4a , và b 1 b 1 chọn 4 ! Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức cô-si; ta có: a2 a2 4 b 1 2. .4 b 1 4a 1 b 1 b 1 b2 b2 4 c 1 2. .4 c 1 4b 2 c 1 c 1 c2 c2 4 a 1 2. .4 a 1 4c 3 a 1 a 1 Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: a2 b2 c2 4 a b c 3 4 a b c b 1 c 1 a 1 a2 b2 c2 12 b 1 c 1 a 1 Điều phải chứng minh
3. a2 4 b 1 b 1 b2 Đằng thức xảy ra khi 4 c 1 a b 2 c 1 c2 4 a 1 a 1 Ví dụ 4: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn a2 b2 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a 3b a 2b b 3a b 2a . Giải Tìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có chứa căn. Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta x y x2 y2 cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng xy và xy 2 2 Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3b a 2b a 5b 3b a 2b 1 2 2 3a b 2a 5a b 3a b 2a 2 2 2 a(a 5b) b(5a b) Từ (1) và (2) suy ra: M 2 2 2 2 2 2 a2 b2 10ab a b 5 a b M 3 a2 b2 2 2 M 3 a2 b2 3.2 M 6. Đẳng thức xảy ra khi a b 1. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi a b 1. 4 5 Ví dụ 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y 6 7 B 8x 18y x y Giải
4. Tìm cách giải. Quan sát cả giả thiết và kết luận, hiển nhiên chúng ta cần tách phần biểu thức B có xuất hiện bộ phận của giả thiết để khai thác. Phần còn lại cứ cùng biến ta nhóm với nhau để vận dụng bất đẳng thức Cô-si. Trình bày lời giải 2 2 4 5 Ta có: B 8x 18y x y x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 2 2 8x 2 8x. 8 1 x x 2 2 18y 2 18y. 12 2 y y 4 5 Mặt khác từ giả thiết ta có 23 3 x y Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: B 8 12 23 43 2 8x x 2 1 1 Đẳng thức xảy ra khi 18y x ; y y 2 3 4 5 23 x y 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi x ; y 2 3 1 1 Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 21 a 3 b 80 với a 3;b 3. b a Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua, chúng ta nghĩ ngay tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Tuy nhiên sẽ là sai lầm nếu chúng ta nhóm và dùng bất đẳng thức Cô-si như sau: 21 3 3 21 3 21 21a 3b 21a 3b 2 21a. .3b 12 7 b a a b a b Sai lầm thứ nhất là 12 7 80, sai lầm thứ hai là không đúng với điều kiện a 3;b 3. Do vậy chúng ta cần tách và chọn các hạng tử thích hợp. Trước hết dự đoán dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức khi a 3 và b 3. Sau đó chọn điểm rơi để khử mẫu ở vế trái như sau:
5. Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI A. Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. • Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có: x y x y xy hoặc xy 2 2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi x y. Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM- GM). B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có: 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi nào? (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai) Giải Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện ab 2 bc 3 ca, do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải. Trình bày lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b 2 ab 1 2b 2c 4 bc 2 3a 3c 6 ca 3 Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca Đẳng thức xảy ra khi a b c. Ví dụ 2: Cho S 1.2019 3.2017 5.2015 2019.1. So sánh S với 10102