Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 6: Giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 6: Giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn

1. Chuyên đề 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN A. Kiến thức cần nhớ Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:  Nâng lên lũy thừa.  Đặt ẩn phụ.  Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.  Sử dụng bất đắng thức, đánh giá hai vế của phương trình. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) x 1 2 x 2 x 2 4 x 2 3 b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 c x 4 x 4 x 4 x 4 5 Giải Tìm cách giải. Ví dụ này bản thân trong câu đều có chứa hằng đẳng thức. Nên chúng ta có thể 2 đưa về dạng a b a b . Sau đó xét các khoảng để bỏ giá trị tuyệt đối để giải các phương trình. Trình bày lời giải a) x 2 2 x 2 1 x 2 4 x 2 4 0 x 2 2 2 x 2 1 x 2 2 3 x 2 1 x 2 2 3 x 2 1 1 x 2 Vì x 2 1 1 x 2 nên: x 2 1 0 x 2 1 0 x 2 1 2 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x / 2 x 3 5 b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 x 2
2. 2x 5 6 2x 5 9 2x 5 2 2x 5 1 4 ( 2x 5 3)2 ( 2x 5 1)2 4 2x 5 3 2x 5 1 4 2x 5 3 2x 5 1 4 2x 5 1 1 2x 5 5 Nên 2x 5 1 0 2x 5 1 0 2x 5 1 x 3 2 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x | x 3 2  c) x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 5 x 4 2 2 x 4 2 x 4 2 5 x 4 2 x 4 2 5 x 4 2 3 x 4 Trường hợp 1. Xét x 4 2 x 8. Phương trình có dạng: x 4 2 3 x 4 5 2 x 4 5 x 4 x 10,25 tm 2 Trường hợp 2. Xét x 4 2 4 x 8. Phương trình có dạng: 2 x 4 3 x 4 Không tồn tại x. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 10,25 Nhận xét. Câu b cũng có thể giải như câu c. Tuy nhiên ở đây chúng ta đã vận dụng bất đẳng thức A B A B , đẳng thức chỉ xảy ra khi A.B 0. Dựa vào đó câu a cũng có thể giải được như vậy. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x 1 2 x 3 1 . Giải Tìm cách giải. Trước khi giải, chúng ta nên đặt điều kiện. Các biểu thức trong căn chi có biến là bậc nhất, nên chúng ta nâng lên lũy thừa để giảm bớt số căn. Trình bày cách giải 1 Điều kiện: x 2 3
3. Với điều kiện trên phương trình (1) 3x 1 3 2 x 0 3x 1 9 6 2 x 2 x 3 2 x 5 2x 0 2 9 2 x 25 20x 4x x 1 2 4x 11x 7 0 7 tm x 4 7  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  4 Ví dụ 3: Giải phương trình 3 x 1 3 7 x 2 Giải 3 Áp dụng hằng đẳng thức: a b a3 b3 3ab a b , lập phương hai vế của phương trình, ta được: x 1 7 x 33 x 1 7 x .2 8 3 x 1 7 x 0 x 1 7 x 0 x 1 x 7 Vậy nghiệm của phương trình là S 1;7 Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3. Giải Tìm cách giải. Nhận thấy việc nâng lên lũy thừa để khử dấu căn, ta được phương trình bậc 4, có thể giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử, song phức tạp. Bắt đầu từ 2 2x 3, gợi ý cho chúng ta thêm phần thích hợp để tạo thành hằng đẳng thức, do đó rất tự nhiên ta thêm được 2x 3 2 2x 3 1. Từ đó ta có lời giải sau: Trình bảy lời giải 3 TXĐ: x 2 x2 4x 5 2 2x 3. x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0 2 x 1 2 2x 3 1 0
4. x 1 0 x 1(thỏa mãn TXD) 2x 3 1 0 Vậy nghiệm của phương trình S 1 Ví dụ 5: Tìm tất cả các số thực x1; x2 ; x3; x2005 thỏa mãn: 1 x 12 2 x 22 2005 x 20052 x x x 1 2 2005 2 1 2 2005 (Thi học sinh giói lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi) Giải Tìm cách giải. Bài toán chỉ có một phương trình, có 2005 ẩn số. nên không thể giải theo cách thông thường được. Do đó chúng ta nghĩ tới việc giải phương trình bằng cách đánh giá hai vế của phương trình. Trình bảy lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si, ta có: 1 1 K x K 2 K 2 x K 2 x. Đẳng thức xảy ra khi x K 2 K. Thay x lần lượt là 2 2 x1; x2 ; x3; x2005 và K lần lượt là 1, 2, 3, , 2005, ta có: 1 1 1 x 12 2 x 22 2005 x 20052 x x x 1 2 2005 2 1 2 2 2 2005 x 12 1 1 x1 2 2 Đẳng thức chỉ xảy ra khi x2 2 2 x2 6 2 x 4022030 x2005 2005 2005 2005 Ví dụ 6: giải phương trình: x2 2 2 x3 1 Giải Tìm cách giải Nhận thấy x3 1 x 1 x2 x 1 và x2 2 x 1 x2 x 1, mặt khác lại xuất hiện 2 x3 1 nên gợi cho chúng ta dùng hằng đẳng thức để giải. Trình bày lời giải TXĐ: x 1. x2 2 2 x3 1 x2 2 2 x 1 x2 x 1 0
5. x2 x 1 2 x 1 x2 x 1 x 1 0 2 x2 x 1 x 1 0 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 2x 0 x x 2 0 x 0; x 2 (thỏa mãn TXĐ). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2. Ví dụ 7: Giải phương trình x 6 x 2 1 x2 4x 12 8. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam định, năm học 2014-2015) Giải Tìm cách giải. Mới nhìn qua, bài toán này khá phức tạp. Nâng lên lũy thừa, dùng hằng đẳng thức hay đánh giá hai vế đều không khả thi. Quan sát và phân tích chúng nhận thấy x 6 x 2 x2 4x 12 và x 6 x 2 8, nên bài toán có thế giải bằng phương pháp đổi biến. Trình bày lời giải ĐKXĐ: x 2, đặt x 6 a 0; x 2 b 0 a2 b2 8 phương trình có dạng: 2 2 a b a b 1 ab a b a b 1 ab a b 0 1 ab a b 0 • Với a b, ta có: x 6 x 2. Phương trình vô nghiệm. a 1 • Với 1 ab a b 0 a 1 b 1 0 b 1 x 6 1 voâ nghieäm x 2 1 x 3 thoûa maõn Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3 Ví dụ 8: Giải các phương trình sau a) 2x 2 6x 9 16x2 48x 35; b) 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2. Giải Tìm cách giải. Bài toán rất phức tạp và khó tìm được đường lời giải. Bài toán không thể nâng lên lũy thừa được, bởi số mũ khá cao. Bài toán cũng không đổi biến được, bởi không có nhiều điểm
6. giống nhau. Bài toán cũng không thể đánh giá hai vế được. Quan sát câu a, bài toán ta thử cho mỗi vế đều bằng 0 tức là 7 2x 2 6x 9 0 và 16x2 48x 35 0, thì nhận được x . Do vậy chúng ta dùng biểu thức 4 liên hợp đối với vế trái để trục căn thức ở tử, khi đó bài toán sẽ giải được. Cũng với suy nghĩ như câu a, song với kinh nghiệm đã có, trước hết ta biến đổi phương trình về dạng 2x2 1 2x2 2x 3 x2 x 2 x2 3x 2. Nhằm khi dùng biểu thức liên hợp sẽ không còn bậc hai ở tử thức. Trình bày lời giải 3 a) 2x 2 6x 9 16x2 48x 35; TXĐ: x 2 2x 2 6x 9 4x 7 4x 5 2x 2 6x 9 7 4x 4x 7 4x 5 0 2x 2 6x 9 1 7 4x 4x 5 0 2x 2 6x 9 3 1 Nhận xét: Với x ta có 4x 5 0 nên 4x 5 0 2 2x 2 6x 9 7 Vậy phương trình tương đương với 7 4x 0 x 4 7  Do đó tập nghiệm của phương trình là: S  4 b) 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2 2x2 1 2x2 2x 3 x2 x 2 x2 3x 2 2x2 1 2x2 2x 3 x2 x 2 x2 3x 2 2x2 1 2x2 2x 3 x2 x 2 x2 3x 2 2x 4 2x 4 2x2 1 2x2 2x 3 x2 x 2 x2 3x 2 2x 4 2x 4 0 x2 x 2 x2 3x 2 2x2 1 2x2 2x 3 1 1 2x 4 0 * x2 x 2 x2 3x 2 2x2 1 2x2 2x 3 1 1 Nhận xét: Ta có 0 x2 x 2 x2 3x 2 2x2 1 2x2 2x 3 Với x thuộc tập xác định.
7. Do đó phương trình (*) 2x 4 0 x 2. Thử lại, ta thấy x 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 Ví dụ 9: Giải phương trình sau 17 1 13x2 6x 10 5x2 13x 17x2 48x 36 36x 8x2 21 2 2 Giải 17 Xét vế trái T 13x2 6x 10 5x2 13x 17x2 48x 36 2 2 2 2 2 5 3 2 2 3x 1 2x 3 2x x x 4x 6 2 2 2 2 5 2 3x 1 2x x 2 5 5 3 Suy ra vế trái T 3x 1 2x x 3x 1 2x x 6x 1 2 2 2 1 Vế phải P 12x 3 2 4x2 12x 9 2 1 2 1 3 12x 3 2 2x 3 12x 3 6x 2 2 2 2 3 Từ (1) và (2) suy ra vế trái 6x vế phải. 2 3 Đẳng thức chỉ xảy ra khi x 2 3 Vậy nghiệm của phương trình là x 2 C. Bài tập vận dụng 6.1. Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 x 2 0; b) x2 2x 1 x2 6x 9 1; c) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1; d) x 2 x 1 x 2 x 1 2; Hướng dẫn giải – đáp số
8. a) DKXD: x 2 ta có x2 x 2 x 2 0 x 2 x 1 x 2 0 x 2. x 1 1 0 Trường hợp 1. x 2 0 x 2 (thỏa mãn) Trường hợp 2. x 1 1 0 x 0, không thuộc tập xác định Vậy nghiệm của phương trình là x 2 b) Ta có: x2 2x 1 x2 6x 9 1 x 1 x 3 1 Vế trái: x 1 x 3 x 1 3 x 2 vế phái. Vậy phương trình vô nghiệm. c) ĐKXĐ: x 1 Ta có: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 1 2 2 x 1 2 x 1 3 1 x 1 2 x 1 3 1 Vế trái x 1 2 x 1 3 x 1 2 3 x 1 1 x 1 2 0 x 1 2 Dấu bằng xảv ra khi 5 x 10 x 1 3 0 x 1 3 Vậy nghiệm của phương trình là S x / 5 x 10 6.2. Giải các phương trình sau: x 1 4 y 1 3 y 1 4 a) 10 x 3 y 1 2 b) x2 x x x2 x 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x 0, y 1 phương trình viết dưới dạng:
9. x 1 4 y 1 3 y 1 4 2 8 0 x 3 y 1 2 2 2 2 x 1 4 3 y 1 1 0 2 x 4 y 1 x 1 0 x 1 x 1 ; 3 2 y 0 y 2 y 1 1 0 Vậy phương trình có nghiệm là: x; y 1;0 ; x; y 1;2 b) áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: x x2 1 x x2 1 x2 x x x2 x 1 2 2 Đẳng thức chỉ xảy ra khi: x x2 1 0 x2 x 1 x x2 1 0 2 2 2 1 3 (vô nghiệm) x x 1 x x 1 0 x 0 2 4 Vậy phương trình vô nghiệm 6.3. Giải các phương trình sau: a) 7 x x 1 x2 6x 13 ; b) x 94 96 x x2 190x 9027 Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện: 4 x 6 2 Ta có: 7 x x 1 8 2 7 x x 1 8 7 x x 1 16 7 x x 1 4 2 Mặt khác x2 6x 13 x 3 4 4 Suy ra 7 x x 1 x2 6x 13 x 3 (thỏa mãn) b) Điều kiện: 94 x 96 2 Ta có: x 94 96 x 2 2 x 94 96 x 2 x 94 96 x 4 x 94 96 x 4 2 Mặt khác x2 190x 9025 x 95 4 4 Suy ra x 94 96 x x2 190x 9027 x 95 (thỏa mãn)
10. Vậy nghiệm của phương trình là x 95 6.4. Giải các phương trình sau: a) 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3x 2 b) 3 x 2 3 7 x 3 c) 3 2x 1 3 3x 1 3 5x 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt 3 x 1 a, 3 x 2 b. Phương trình có dạng: a b ab 1 a 1 1 b 0 a 1 3 x 1 1 x 0 3 b 1 x 2 1 x 1 Vậy nghiệm của phương trình là S 0; 1 b) 3 x 2 3 7 x 3 x 2 7 x 33 x 2.3 7 x 3 x 2 3 7 x 27 9 9 3 x 2 7 x 27 3 x 2 7 x 2 2 x 1 x 5x 6 0 (thỏa mãn) x 6 Vậy nghiệm của phương trình là S 1;6 c) Lập phương cả hai vế của phương trình đã cho ta được: 5x 2 33 2x 1.3 3x 1 3 2x 1 3 3x 1 5x 1 3 2x 1.3 3x 1.3 5x 1 1 2 2x 1 15x 2x 1 1 19 30x3 19x2 0 x 0; x 30 Với x 0 thì hai vế bằng nhau 19 Với x thì hai vế của phương trình đã cho bằng nhau 30 19 Vậy phương trình có nghiệm x 30 6.5. Giải các phương trình sau: a) x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3; b) x 8 x 3 x2 11x 24 1 5.
11. Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x 2. Phương trình viết dưới dạng: x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 0 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 x 1 1 x 2 x 3 0 Trường hợp 1. x 1 1 0 x 2. (thỏa mãn) Trường hợp 2. x 2 x 3 0. Không tồn tại x Vậy nghiệm của phương trình là x 2 b) ĐKXĐ: x 3. Phương trình viết dưới dạng: x 8 x 3 x2 11x 24 1 5 x 8 x 3 x2 11x 24 1 x 8 x 3 x 8. x 3 1 x 8 x 3 x 8. x 3 x 8 x 3 1 0 x 8 1 x 3 1 0 Trường hợp 1. x 8 1 0 x 7. Không thuộc tập xác định Trường hợp 2. x 3 1 0 x 2. Thuộc tập xác định Vậy nghiệm của phương trình là x 2 6.6. Giải các phương trình: a) x2 9x 20 2 3x 10; b) x x2 x 1 2 3x 1 x2 x 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) x2 9x 20 2 3x 10 x2 6x 9 3x 10 2 3x 10 1 0 2 2 10 x 3 3x 10 1 0 ĐKXĐ : x 3 x 3 0 x 3(thỏa mãn ĐKXĐ) 3x 10 1 0 Vậy nghiệm của phương trình là S 3
12. b) x x2 x 1 2 3x 1 x2 x 3 2x x2 x 1 4 3x 1 2x2 2x 6 2x2 2x 6 2x x2 x 1 4 3x 1 0 x2 x 1 2x x2 x 1 x2 3x 1 4 3x 1 4 0 2 2 x2 x 1 x 3x 1 2 0 x2 x 1 x 0 x 1 3x 1 2 0 Thử lại thấy x 1 thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm của phương trình là S 1 6.7. Giải các phương trình: a) x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 b) x y z 35 2 2 x 1 3 y 2 4 z 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐK: x 2, y 3, z 5. Phương trình tương đương với: x 2 2 x 2 1 y 3 4 y 3 4 z 5 6 z 5 9 0 2 2 2 x 2 1 y 3 2 z 5 3 0 x 2 1 0 x 3 y 3 2 0 y 7 TM z 14 z 5 3 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x; y; z 3;7;14 b) ĐK: x 1, y 2, z 3. Phương trình tương đương với: x 1 4 x 1 4 y 2 6 y 2 9 z 3 8 z 3 16 0 2 2 2 x 1 2 y 2 3 z 3 4 0 x 1 2 0 x 3 y 2 3 0 y 7 TM z 13 z 3 4 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x; y; z 3;7;13 6.8. Giải các phương trình sau: a) 1 x 1 x 2 2 1 x2 8.
13. b) x 3 2 x 2 3x 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: 1 x 1 đặt 1 x 1 x a 0; ta có a2 2 2 1 x2 . Phương trình đã cho trở thành: a3 8 a 2 với a 2 thì 1 x 1 x 2 1 x2 1 x2 0 x 0 vậy phương trình có nghiệm x 0 (thỏa mãn) b) ĐKXĐ: x 0 bình phương hai vế của phương trình đã cho được: x 3 4x 4 x 3. x 4 3x 1 4 x2 3x 7x 1 16 x2 3x 49x2 14x 1 33x2 34x 1 0 x 1 1 x 33 1 Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là x 1, x 33 6.9. Giải các phương trình: a) 3 3x 1 3 5 x 3 2x 9 3 4x 3 0. 3 b) x3 x 1 x 1 2 2 x x 1 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt 3 3x 1 a; 3 5 x b; 3 2x 9 c; 3 Suy ra a b c 3 4x 3 0 a b c 3 4x 3 a b c 4x 3 1 Mặt khác a3 b3 c3 3x 1 5 x 2x 9 4x 3 2 3 Từ (1) và (2) suy ra a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 a b b c c a 0 3 3 a b 0 a b 0 3x 1 5 x 0 x 3 3 3 b c 0 b c 0 5 x 2x 9 0 x 4 c a 0 c3 a3 0 2x 9 3x 1 0 8 x 5
14. 8 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3;4;  5 b) ĐKXĐ: x 1 Đặt y x 1; z 2 3 Khi đó phương trình có dạng x3 y3 z3 x y z * Chứng minh được * x y y z x z 0 1 5 Với x y 0 x x 1 0 x 1 x x (thỏa mãn) 2 Với x z 0 x 2 0 x 2 (không thỏa mãn) Với y z 0 x 1 2 0 (vô nghiệm) 1 5 Vậy phương trình có nghiệm x 2 6.10. Giải các phương trình: a) 4x2 5x 1 2 x2 x 1 3 9x; b) x 2 4 x 2x 5 2x2 5x. Hướng dẫn giải – đáp số x 1 a) ĐKXĐ: 1 x 4 4x2 5x 1 4 x2 x 1 9x 3 0 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 9x 3 0 4x2 5x 1 2 x2 x 1 1 9x 3 1 0 4x2 5x 1 2 x2 x 1 1 Ta có 1 0 với x thuộc tập xác định, do đó phương trình 4x2 5x 1 2 x2 x 1 1 * 9x 3 0 x 3 1 1 Thử lại ta thấy x thỏa mãn phương trình. Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 3 5 b) ĐKXĐ: x 4 2
15. x 2 4 x 2x 5 2x2 5x. x 2 1 4 x 1 2x 5 1 2x2 5x 3 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 2x 1 x 3 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 x 3 x 3 2 x 3 2x 1 x 3 0 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 1 1 2 x 3 2x 1 0 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 Trường hợp 1. Xét x 3 0 x 3 1 1 2 Trường hợp 2. Xét 2x 1 0 x 2 1 4 x 1 2x 5 1 1 2 1 2x 1 0 x 2 1 2x 5 1 4 x 1 1 2 1 2x 1 x 2 1 2x 5 1 4 x 1 5 Với điều kiện x 4 ta có: 2 1 2 Vế trái 3 1 1 5 Vế phải 2. 1 6 2 Vế trái < Vế phải, do đó phương trình vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 6.11. Tìm x, y thỏa mãn phương trình: 4y x 2 2x y 1 y 3x 2 . (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Ninh Thuận, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x 2, y 1 1 3xy 2y 4y x 2 2x y 1 0 2y 4y x y 2xy 4y x 2x y 1 xy x 0 2 2 2 y xy 2y x xy x 0 y xy 2y 0 1 x 2 0 x 3 y 2 x xy x 0 1 y 1 0 6.12. Giải các phương trình:
16. a) x 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 1; b) x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: 1 x 7 x 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 1 x 1 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 Đặt 7 x a; x 1 b Phương trình có dạng: b2 2a 2b ab 2 b 2 b 2b ab 2a 0 b 2 b a 0 b a Trường hợp 1. b 2 7 x 2 7 x 4 x 3 (thỏa mãn) Trường hợp 2. b a x 1 7 x x 1 7 x x 4 (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là S 3;4 b) ĐKXĐ: x 1 Đặt a x 3;b x 1 (điều kiện a 0;b 0) Phương trình có dạng: a 2xb 2x ab a ab 2x 2xb 0 a 1 b 2x 1 b 0 1 b a 2x 0 1 b 0 hoặc a 2x 0 Trường hợp 1. Xét 1 b 0 b 1 x 1 1 x 0 tm Trường hợp 2. Xét a 2x 0 a 2x x 3 2x 4x2 x 3 0 x 1 4x 3 0 3 x 1; x (thỏa mãn) 4 3 Vậy nghiệm phương trình là S 0;1;  4  6.13. Giải phương trình: 6x 1 9x2 1 6x 9x2 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số
17. 1 Điều kiện xác định: x 3 Đặt a 6x 1;b 9x2 1 (điều kiện a 0;b 0) Suy ra a2 b2 6x 1 9x2 1 6x 9x2 Từ đó ta có: a2 b2 a b a b 0 a b a b 1 0 a b 1 0 Với a b 0 a b 0 6x 1 0 và 9x2 1 0 (loại) Với a b 1 0 6x 1 9x2 1 1 0 6x 1 9x2 1 2 9x2 1 1 3x 1 2 2 9x2 1 0 3x 1 0 1 x 2 (thỏa mãn) 9x 1 0 3 1 Vậy nghiệm phương trình là S  3 6.14. Giải các phương trình: a) x 2 6 x x2 8x 24 b) 3x 1 x 2 3x3 7x 2 4 4.x 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt A x 2 6 x; ĐKXĐ: 2 x 6 xét A2 x 2 6 x 2 x 2 6 x A2 4 2 x 2 6 x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 x 2 6 x x 2 6 x 4 A2 4 4 8 A 2 2 vì A 0 2 Mà x2 8x 24 x 4 8 8 2 2 Vậy VT 2 2 VP VT 2 2 x 2 6 x Bất đẳng thức xảy ra khi x 4 (thỏa mãn) VP 2 2 x 4
18. Vậy nghiệm phương trình là S 4 1 b) điều kiện x . Phương trình tương đương với 3 3x 1 x 2 3x3 7x 2 4 4x 2 3x 1 x 2 2x 1 3x3 7x 2 4 4x 2 3x 1 x 2 2x 1 (3x 1)(x 2) 4 4x 2 3x 1 x 2 0 2x 1 (3x 1)(x 2) 4 2 3x 1 2 x 2 0 2x 1 3x 1 2 x 2 2 0 1 x 2x 1 0 2 3x 1 2 x 1 tm x 2 x 2 2 1  Vậy nghiệm phương trình là S ;1;2 2  6.15. Giải phương trình: 4x2 3x 3 4 x3 3x2 2 2x 1 Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số 1 ĐKXĐ: x 2 4x2 3x 3 4 x3 3x2 2 2x 1 4x2 3x 3 4x x 3 2 2x 1 0 4x2 4x x 3 x 3 2x 1 2 2x 1 1 0 2 2 2x x 3 2x 1 1 0 2x x 3 0 2x x 3 x 1 (thỏa mãn) 2x 1 1 0 2x 1 1 Vậy nghiệm phương trình là S 1 6.16. Giải phương trình: 3x2 7x 9 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 13 (Thi Học sinh giỏi toán lớp 9, Yên Bái, năm học 2007- 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình đưa về dạng:
19. 3x2 5x 1 2 x 5 x2 2 3x2 5x 1 x2 2 3 x 5  x 5 là nghiệm của phương trình  Nếu x 5 2 x 5 3 x 5 vế trái của phương trình nhỏ hơn vế phải với x 5. Phương trình đã cho không có nghiệm  Nếu x 5 2 x 5 3 x 5 vế trái của phương trình lớn hơn vế phải với x 5. Phương trình đã cho không có nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất l;à x 5 3 6.17. Giải phương trình x3 x 1 x 1 2 2 x x 1 2 . (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x 1 Đặt y x 1; z 2 3 Khi đó (1) có dạng x3 y3 z3 x y z 2 Chứng minh được (2) x y x z z x 0 1 5  Với x y 0 x x 1 0 x 1 x x (thỏa mãn) 2  Với x z 0 x 2 0 x 2 (không thỏa mãn)  Với y z 0 x 1 2 0, vô nghiệm 1 5 Vậy phương trình có nghiệm x 2 6.18. Giải phương trình: x 3 2x 3x2 6x 4. (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 3 DKXD: x 2 Ta có: x 3 2x 3x2 6x 4 2x 3 2x 6x2 12x 8 5x2 10x 5 x2 2x 3 2x 3 2x 0 2 2 x 1 0 5 x 1 x 3 2x 0 x 3 2x 0 x 1 (thỏa mãn)
20. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 6.19. Giải phương trình: x 6 x 2 1 x2 4x 12 8. (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam Định, Năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x 2 Đặt x 6 a, x 2 b a 0,b 0 a2 b2 8 Phương trình có dạng 2 2 a b a b 1 ab a b a b 1 ab a b 0 1 ab a b 0 Trường hợp 1. Xét a b x 6 x 2 vô nghiệm Trường hợp 2. Xét 1 ab a b 0 a 1 b 1 0 a 1 x 6 1 x 5 khong thoa man DK b 1 x 2 1 x 3 TM Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3