Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 9: Ứng dụng của hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Đại số - Chuyên đề 9: Ứng dụng của hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức

1. Chuyên đề 9. ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số bậc nhất f x ax b , với x1 x2 . Ta có: f x1 0 1) f x 0,x : x1 x x2 f x2 0 x x1 x x2 Đẳng thức xảy ra khi hoặc f x1 0 f x2 0 f x1 0 2) f x 0,x : x1 x x2 f x2 0 x x1 x x2 Đẳng thức xảy ra khi hoặc . f x1 0 f x2 0 Ý nghĩa hình học: Một đoạn thẳng nằm phía trên trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía trên trục hoành. Một đoạn thẳng nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía dưới trục hoành. Nhận xét: Nếu hệ số a 0 thì f x b (hàm hằng). Khi đó các tính chất trên cũng đúng do đồ thị của hàm hằng cũng là một đường thẳng. Các tính chất khác của hàm hằng chúng tôi sẽ trình bày ở chương III của cuốn sách này. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho 0 x, y, z 2 .Chứng minh rằng 2 x y z xy yz zx 4 . Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương: 2 x y z xy yz zx 4 x 2 y z 2 y z yz 4 0 Coi x là biến số và y, z là tham số, đặt f x x 2 y z 2 y z yz 4 Xét hàm f x với 0 x 2 .Ta có: f 0 2 y z yz 4 2 y z 2 0
2. f 2 yz 0 Như vậy, ta có f x 0 với mọi x thõa mãn 0 x 2 . . x 0 x 2 Đẳng thức xảy ra khi hoặc f 0 2 y z 2 0 f x yz 0 x 0 x 0 x 2 x 2 hoặc hoặc hoặc y 2 z 2 y 0 z 0 Nhận xét: Để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hàm bậc nhất chúng ta chia thành các bước sau: Bước 1: Tạo ra một hàm số dạng f t at b Bước 2: Xác định t1,t2 sao cho: t1 t t2 . Bước 3: 1) Chứng minh f t1 0 và f t2 0. Từ đó suy ra f t 0 , với mọi t thỏa mãn t1 t t2 . 2) Chứng minh f t1 0 và f t2 0. Từ đó suy ra f t 0 , với mọi t thỏa mãn t1 t t2 . Ví dụ 2: Cho 3 số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x y z 1 7 Chứng minh rằng: xy yz xz 2xyz 27 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 7 yz 1 2x x 1 x 0 * 27 Đặt t yz , coi t là biến và x là tham số. 7 Ta được VT * f t t 1 2x x x2 27 y z 2 1 x 2 1 x 2 Theo bất đẳng thức Cô – si: t yz 0 t 4 4 4 2 2 7 1 1 Mà f 0 x x x 0 x ¡ ; 27 2 108 2 2 1 x 54x3 27x2 1 3x 1 6x 1 f 0 x 0 4 108 108 1 x 2 Suy ra f t 0 với mọi t thõa mãn 0 t 4
3. 1 x 2 yz 4 2 2 1 x 1 1 1 Dấu bằng xảy ra khi f x x 0 4 2 3 6 y z 1 x 1 3 x y z 3 y z Nhận xét: Với cách làm tương tự ta có thể giải được bài tổng quát sau: 9 Cho hằng số m và x, y, z là các số thực không âm thõa mãn: x y z 1 4 m 9 Khi đó ta luôn có 0 mxyz xy yz zx 27 Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 4a 4b 4c Chứng minh rằng 1 1 1 25 b c c a a b Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 3a 1 3b 1 3c 1 . . 25 1 a 1 b 1 c 27abc 9 ab bc ca 4 25 ab bc ca 25abc 52abc 16 ab bc ca 4 0 ab 52c 16 16c 1 c 4 0 * Do tính đối xứng với các biến a, b, c nên không mất tính tổng quát, giả sử a b c 1 Do a b c 1 nên c 3 a b 2 1 c 2 Với t ab,0 t ab 4 4 Đặt f t t 52c 16 16c 1 c 4 VT * . Ta lại có: f 0 16c2 16c 4 4 2c 1 2 0.
4. 1 c 2 f 13c3 14c2 5c c 13c2 14c 5 4 2 7 16 1 13c c 0 c 13 168 3 Từ đó suy ra 52abc 16 ab bc ca 4 0 ab 0 Đẳng thức xảy ra khi 2 (Vô lý vì ab dương) f 0 4 2c 1 0 Nhận xét: Bài toán trên là hệ số của bài toán gốc sau đây: 9 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 và hằng số m thỏa mãn 9 m 4 1 Chứng minh rằng: 0 xy yz zx mxyz 4 Ví dụ 5: Cho 0 a,b,c 1 . Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c a b c 1 Giải Coi a là biến và b, c là các tham số Xét hàm số f a 1 a 1 b 1 c a b c 1 với 0 a 1 f 0 1 b 1 c b c 1 bc 0 Lại có: f 1 b c 0 Suy ra f a 0 , với mọi 0 a 1 Đẳng thức sảy ra khi a,b 0,0 hoặc b,c 0,0 hoặc c,a 0,0 . Nhận xét: Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự: Cho 0 a,b,c,d 1 Chứng minh rằng 1 a 1 b 1 c 1 d a b c d 1 Ví dụ 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 . Chứng minh rằng: 4 x3 y3 z3 15xyz 1 Giải Xét biểu thức
5. P 4 x3 y3 z3 15xyz 1 4 x y 3 12xy x y 4z3 15xyz 1 4 1 z 3 12xy 1 z 4z3 15xyz 1 xy 27z 12 3 4z2 4z 1 Đặt t xy , coi z là biến ta được hàm số: P f t t 27z 12 3 4z2 4z 1 x y 2 1 z 2 Lại có 0 t xy 4 4 2 f 0 4 2z 1 0 với mọi z. 2 1 z 2 f 27z3 18z2 3z 3z 9z2 6z 1 3z 3z 1 0 với mọi số dương z. 4 Từ đó suy ra P 0 1 Đẳng thức xảy ra khi x y z 3 Nhận xét: P 4 x3 y3 z3 15xyz 1 4 x3 y3 z3 3xyz 27xyz 1 4 x y z x2 y2 z2 xy yz zx 27xyz 1 4 x2 y2 z2 xy yz zx 27xyz 1 4 x y z 2 3 xy yz zx 27xyz 1 27xyz 12 xy yz zx 3 Đến đây, ta thấy bài toán trên chỉ là hệ quả của bài toán sau: 9 Cho hằng số m và x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: x y z 1 . Khi đó ta có 4 m 9 0 mxyz xy yz zx 27 C. Bài tập vận dụng 9.1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 abc 4 Hướng dẫn giải – đáp số
6. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a2 b2 c2 abc 4 0 * Do a b c 3 a b 3 c .Từ đó ta có: VT * a2 b2 c2 abc 4 2 a b 2ab c2 abc 4 2 3 c 2ab c2 abc 4 ab c 2 2c2 6c 5 Do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c b a . Mà a b c 3 c 1 Xét hàm số bậc nhất biến t là: a b 2 3 c 2 f t t c 2 2c2 6c 5 ,với t ab và 0 t ab 4 4 2 2 2 9 1 3 1 Ta có: f 0 2c 6c 5 2 c 3c 2 c 0 với mọi c. 4 2 2 2 2 2 2 3 c 3 c c3 3c 2 c 1 c 2 f c 2 2c2 6c 5 0 với mọi c. 4 4 4 4 3 c 2 Từ đó ta có: f t 0 với mọi 0 t 4 3 c 2 Suy ra f t 0 với mọi 0 t . Tức là bất đẳng thức * đúng 4 a b 2 3 c Đẳng thức xảy ra khi ab a b c 1 4 c 1 2 c 2 0 4 9.2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 9 1 Chứng minh rằng xy yz zx xyz 4 4 Hướng dẫn giải – đáp số 9 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương xy yz zx xyz 0 * 4 4 Ta có: Do x y z 1 x y 1 z . Khi đó
7. 9 1 VT * xy yz zx xyz 4 4 9 1 xy 1 z z x y 4 4 9 1 xy 1 z z 1 z 4 4 Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 4 9 9 z y z z z z 1 0 hay 1 z 0 3 9 4 4 Xét hàm số bậc nhất biến t là : 2 2 9 2 1 x y 1 z f t t 1 z z z , với t xy và 0 t xy 4 4 4 4 2 2 1 1 1 Ta có: f 0 z z z 0 với mọi z 4 2 3 2 2 2 1 z 1 z 9 1 9z3 6z2 z z 3z 1 f 1 z z2 z 0 4 4 4 4 16 16 Từ hai điều trên ta có * đúng 1 Đẳng thức xảy ra khi x y z 3 9.3. Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 1 Chứng minh rằng: x3 y3 z3 6xyz 3 Hướng dẫn giải – đáp số Do vai trò x, y, z như nhau, ta giả sử x y z 1 z Mà x y z 1 3 x y 1 z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3x3 3y3 3z3 18xyz 1 0 * Xét biểu thức: VT * 3 x3 y3 z3 18xyz 1 3 3 x y 9xy x y 3x3 18xyz 1 3 3 1 z 9xy 1 z 3x3 18xyz 1
8. xy 27z 9 9z2 9z 2 Đặt t xy , coi t là biến và z là tham số ta được hàm số: x y 2 1 z 2 f t t 27z 9 9z2 9z 2 , với 0 t xy 4 4 1 Ta có: f 0 3z 2 3z 1 0 với mọi z 3 2 1 z 3 f 3z 1 0 với mọi số dương z 4 Từ hai điều trên ta có * đúng 1 Đẳng thức xảy ra khi x y z 3