Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao

1. CHƯƠNG I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.1.1). Khi đó ta có: 1) b2 ab ; c2 ac ; 2) h2 b c ; 3) bc ah ; 1 1 1 4) ; h2 b2 c2 5) a2 b2 c2 (định lí Py-ta-go). B. Một số ví dụ 1 2AB Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA 90), đường cao BH. Chứng minh rằng: CH BC 2 Giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AC . 1 Do đó BA AC AD CD . 2 Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD và 1 BA CD nên tam giác BCD vuông tại B. 2 Xét BCD vuông tại B, đường cao BH ta có: BC 2 CD.CH (hệ thức 1). 1 2AB Suy ra BC 2 2AB.CH (vì CD 2AB ). Do đó CH BC 2 Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy ta vẽ thêm hình phụ để tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi vận dụng hệ thức (1). Ta cũng có thể vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại D. Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao ứng với cạnh huyền.
2. Ví dụ 2. Hình thang ABCD có µA Dµ 90 và BD  BC . Biết AD 12cm,CD 25cm . Tính diện tích hình thang. Giải Vẽ BH  CD . Tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Suy ra BH AD 12cm và AB DH . Xét BDC vuông tại B, đường cao BH ta có: BH 2 HD.HC (hệ thức 2). Đặt HD x thì HC 25 x ta được: 122 x 25 x x2 25x 144 0 hay x 16 x 9 0 . Suy ra x 16 hoặc x 9 . Với x 16 thì AB 16 . 16 25 .12 Diện tích hình thang là: S 246 cm2 . 2 Với x 9 thì AB 9 . 9 25 .12 Diện tích hình thang là: S 204 cm2 . 2 Nhận xét: Để tính diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm độ dài AB. Ta vẽ BH  CD để "chuyển" AB thành DH. Có thể tính được DH vì trong tam giác vuông BDC đã biết hai yếu tố về độ dài. Ngoài ra, ta cũng dùng một công cụ trong đại số là giải phương trình để tính toán độ dài DH. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 2a. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHD. Giải * Tìm cách giải:
3. Để tính diện tích lớn nhất của tứ giác AEHD ta phải viết biểu thức tính diện tích của tứ giác AEHD theo độ dài đã biết, rồi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đó. * Trình bày lời giải: 1 Vẽ đường trung tuyến AM thì AM BC a . 2 Tứ giác AEHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Diện tích hình chữ nhật này là: S AD.AE . AH 2 Xét ABH vuông tại H ta có: AH 2 AB.AD (hệ thức 1), suy ra AD AB AH 2 AH 2 AH 2 AH 4 Tương tự ta có AE . Do đó S . . AC AB AC AB.AC AH 4 AH 3 Mặt khác AB.AC BC.AH (hệ thức 3) nên S . BC.AH BC AM 3 Suy ra S (vì AH AM ) BC a3 a2 Do đó S (dấu "=" xảy ra ABC vuông cân tại A). 2a 2 a2 Vậy max S khi ABC vuông cân tại A. 2 Nhận xét: Để tìm sự liên hệ giữa chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ 1 thêm đường trung tuyến AM. Do AH AM ; AM BC nên AH đã liên hệ được với BC qua vai 2 trò "bắc cầu" của AM. Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C, trong đó A, B cố định, AB BC a . Vẽ tam giác ADE vuông tại A 1 1 sao cho AC là đường cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng . AD2 AE 2 Giải * Tìm cách giải: 1 1 Hệ thức gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4). Vì vậy ta dùng hệ thức này để giải bài toán. AD2 AE 2
4. * Trình bày lời giải: Ta có AC là đường cao của tam giác ADE vuông tại A nên 1 1 1 (hệ thức 4) AD2 AE 2 AC 2 1 1 1 Tổng có giá trị nhỏ nhất có giá trị nhỏ AD2 AE 2 AC 2 nhất AC có giá trị lớn nhất. Xét ba điểm A, B,C ta có AC AB BC 2a (dấu “=” xảy ra khi B là trung điểm của AC). 1 1 1 1 Vậy min 2 2 2 2 khi B là trung điểm AC. AD AE 2a 4a Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD, µA Dµ 90, hai đường chéo vuông góc với nhau. Cho biết AB a,CD b . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABCD. b) Chứng minh rằng các độ dài AC, BD và AB CD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD. Có thể tính được AD nhờ phương pháp đồng dạng. * Trình bày lời giải: a) ADB và DCA có: µA Dµ 90; ·ADB D· CA (cùng phụ với góc BDC). Do đó DADB : DDCA (g.g). AB AD Suy ra AD2 AB.CD a.b DA DC Do đó AD ab . Diện tích hình thang ABCD là:
5. AB CD AD a b ab S 2 2 a b Vì ab (bất đẳng thức Cô-si) nên S ab. ab ab 2 (dấu “=” xảy ra khi a = b hay khi ABCD là hình vuông). Vậy min S ab khi ABCD là hình vuông. b) Xét ADB vuông tại A ta có: BD2 AB2 AD2 a2 ab a a b . Xét DCA vuông tại D ta có: AC 2 AD2 CD2 ab b2 b a b . 2 2 2 Xét tổng AC 2 BD2 b a b a a b a b mà AB CD a b . Vậy 2 AC 2 BD2 AB CD . Do đó theo định lí Py-ta-go đảo thì AC, BD và AB CD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. C. Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB c, AC b . Vẽ đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính theo b và c giá trị của các tỉ số: HB BE a) ; b) . HC CF 1.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC 20cm . Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 :16 . Tính diện tích tam giác ABC. 1.3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA 2 3cm , OB 2cm , tính độ dài AB. 1.4. Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn, trực tâm H. Biết HA 7cm , HB HC 15cm . Tính diện tích tam giác ABC. Vận dụng hệ thức (2) 1.5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2 . Tính độ dài BC.
6. CHƯƠNG I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.1.1). Khi đó ta có: 1) b2 ab ; c2 ac ; 2) h2 b c ; 3) bc ah ; 1 1 1 4) ; h2 b2 c2 5) a2 b2 c2 (định lí Py-ta-go). B. Một số ví dụ 1 2AB Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA 90), đường cao BH. Chứng minh rằng: CH BC 2 Giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AC . 1 Do đó BA AC AD CD . 2 Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD và 1 BA CD nên tam giác BCD vuông tại B. 2 Xét BCD vuông tại B, đường cao BH ta có: BC 2 CD.CH (hệ thức 1). 1 2AB Suy ra BC 2 2AB.CH (vì CD 2AB ). Do đó CH BC 2 Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy ta vẽ thêm hình phụ để tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi vận dụng hệ thức (1). Ta cũng có thể vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại D. Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao ứng với cạnh huyền.